浙江专版高中数学第一章导数及其应用13导数的几何意义学案新人教A版选修22.docx
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浙江专版高中数学第一章导数及其应用13导数的几何意义学案新人教A版选修22
1．1.3 导数的几何意义
预习课本P6～8，思考并完成下列问题
（1）导数的几何意义是什么？
（2）导函数的概念是什么？
怎样求导函数？
（3）怎么求过一点的曲线的切线方程？
1．导数的几何意义
（1）切线的概念：
如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
（2）导数的几何意义：
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝
＝f′（x0）．
2．导函数的概念
（1）定义：
当x变化时，f′（x）便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数（简称导数）．
（2）记法：
f′（x）或y′，即f′（x）＝y′＝
.
[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）导函数f′（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同．（ ）
（2）直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．（ ）
（3）函数f（x）＝0没有导函数．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）×
2．设f′（x0）＝0，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线（ ）
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直D．与x轴斜交
答案：
B
3．已知曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′
（1）＝（ ）
A．4 B．－4
C．－2 D．2
答案：
D
4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．
答案：
y轴 x轴
求曲线的切线方程
[典例] 已知曲线C：
y＝
x3＋
，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．
[解] 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P（2,4）．
y′|x＝2＝
＝
＝
[4＋2·Δx＋
（Δx）2]＝4.
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y－4＝4（x－2），
即4x－y－4＝0.
1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤
2．求过曲线y＝f（x）外一点P（x1，y1）的切线方程的六个步骤
（1）设切点（x0，f（x0））．
（2）利用所设切点求斜率k＝f′（x0）＝
.
（3）用（x0，f（x0）），P（x1，y1）表示斜率．
（4）根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.
（5）根据点斜式写出切线方程．
（6）将切线方程化为一般式．
[活学活用]
过点（1，－1）且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为（ ）
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
D．x－y＋2＝0
解析：
选A 显然点（1，－1）在曲线y＝x3－2x上，
若切点为（1，－1），则由f′
（1）＝
＝
＝
[（Δx）2＋3Δx＋1]＝1，
∴切线方程为y－（－1）＝1×（x－1），
即x－y－2＝0.
若切点不是（1，－1），设切点为（x0，y0），
则k＝
＝
＝
＝x
＋x0－1，
又由导数的几何意义知
k＝f′（x0）＝
＝
＝3x
－2，
∴x
＋x0－1＝3x
－2，
∴2x
－x0－1＝0，
∵x0≠1，∴x0＝－
.
∴k＝x
＋x0－1＝－
，
∴切线方程为y－（－1）＝－
（x－1），
即5x＋4y－1＝0，故选A.
求切点坐标
[典例] 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
（1）切线的倾斜角为45°.
（2）切线平行于直线4x－y－2＝0.
（3）切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
[解] 设切点坐标为（x0，y0），则
Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－2x
－1＝4x0·Δx＋2（Δx）2，
∴
＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时，
→4x0，即f′（x0）＝4x0.
（1）∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan45°＝1.
即f′（x0）＝4x0＝1，得x0＝
，
∴切点的坐标为
.
（2）∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′（x0）＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为（1,3）．
（3）∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
则k·
＝－1，即k＝8，
故f′（x0）＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为（2,9）．
求切点坐标可以按以下步骤进行
（1）设出切点坐标；
（2）利用导数或斜率公式求出斜率；
（3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
（4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[活学活用]
直线l：
y＝x＋a（a≠0）和曲线C：
y＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．
解析：
设直线l与曲线C的切点为（x0，y0），
因为y′＝
＝3x2－2x，
则y′|x＝x0＝3x
－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－
，
当x0＝1时，y0＝x
－x
＋1＝1，
又（x0，y0）在直线y＝x＋a上，
将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾舍去．
当x0＝－
时，y0＝
3－
2＋1＝
，
则切点坐标为
，将
代入直线y＝x＋a中得a＝
.
答案：
层级一 学业水平达标
1．下面说法正确的是（ ）
A．若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线
B．若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f′（x0）必存在
C．若f′（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f′（x0）有可能存在
解析：
选C f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．
2．曲线y＝
在点
的切线的斜率为（ ）
A．2 B．－2
C．4D．－4
解析：
选D 因为y′＝
＝
＝
＝－
.
所以曲线在点
的切线斜率为k＝y′|x＝
＝－4.
3．曲线y＝
x3－2在点
处切线的倾斜角为（ ）
A．1 B.
C.
D．－
解析：
选B ∵y′＝
＝
＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为
，故应选B.
4．曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于（ ）
A．1B.
C．－
D．－1
解析：
选A ∵y′|x＝1＝
＝
li
＝
（2a＋aΔx）＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
5．过正弦曲线y＝sinx上的点
的切线与y＝sinx的图象的交点个数为（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．无数个
解析：
选D 由题意，y＝f（x）＝sinx，
则f′
＝
＝
.
当Δx→0时，cosΔx→1，
∴f′
＝0.
∴曲线y＝sinx的切线方程为y＝1，且与y＝sinx的图象有无数个交点．
6．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f
（1））处的切线方程是y＝
x＋2，则f
（1）＋f′
（1）＝________.
解析：
由导数的几何意义得f′
（1）＝
，由点M在切线上得f
（1）＝
×1＋2＝
，所以f
（1）＋f′
（1）＝3.
答案：
3
7．已知曲线f（x）＝
，g（x）＝
过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f（x）在交点处的切线方程为____________________．
解析：
由
，得
∴两曲线的交点坐标为（1,1）．
由f（x）＝
，
得f′（x）＝
＝
＝
，
∴y＝f（x）在点（1,1）处的切线方程为y－1＝
（x－1）．
即x－2y＋1＝0，
答案：
x－2y＋1＝0
8．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
解析：
设f（x）＝y＝x2－3x，切点坐标为（x0，y0），
f′（x0）＝
＝
＝2x0－3＝1，故x0＝2，
y0＝x
－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为（2，－2）．
答案：
（2，－2）
9．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：
根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为（x0，x
），则y′|x＝x0＝
＝2x0＝1，所以x0＝
，所以切点坐标为
，
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝
＝
，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为
.
10．已知直线l：
y＝4x＋a和曲线C：
y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
解：
设直线l与曲线C相切于点P（x0，y0），
∵
＝
＝（Δx）2＋（3x0－2）Δx＋3x
－4x0.
∴当Δx→0时，
→3x
－4x0，
即f′（x0）＝3x
－4x0，
由导数的几何意义，得3x
－4x0＝4，
解得x0＝－
或x0＝2.
∴切点的坐标为
或（2,3），
当切点为
时，
有
＝4×
＋a，
∴a＝
，
当切点为（2,3）时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
当a＝
时，切点为
；
a＝－5时，切点为（2,3）．
层级二 应试能力达标
1.已知y＝f（x）的图象如图，则f′（xA）与f′（xB）的大小关系是（ ）
A．f′（xA）>f′（xB）
B．f′（xA）C．f′（xA）＝f′（xB）
D．不能确定
解析：
选B 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′（xA）2．已知曲线y＝2x3上一点A（1,2），则点A处的切线斜率等于（ ）
A．0 B．2
C．4D．6
解析：
选D Δy＝2（1＋Δx）3－2×13＝6Δx＋6（Δx）2＋2（Δx）3，
＝
[2（Δx）2＋6Δx＋6]＝6，故选D.
3．设f（x）存在导函数，且满足
＝－1，则曲线y＝f（x）上点（1，f
（1））处的切线斜率为（ ）
A．2B．－1
C．1D．－2
解析：
选B l
＝
＝f′（x）＝－1.
4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P（1,1）处的切线互相垂直，则
为（ ）
A.
B.
C．－
D．－
解析：
选D 由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P（1,1）处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×
＝－1，∴
＝－
.
5.如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0,4），（2,0），（6,4），则
＝______.
解析：
由导数的概念和几何意义知，
＝f′
（1）＝kAB＝
＝－2.
答案：
－2
6．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f（x）≥
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