5．等腰三角形的三角关系：
设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠
B=∠C=
180A2
．
典例精析
典例1等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为
A．40°，100°
C．60°，80°
B．70°，70°
D．40°，100°或70°，70°
【答案】D
【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°；
②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°．所以另外两个内角的度数分别为：
40°、100°或70°、70°．故选D．
【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．
典例2（2019·延安市实验中学初二期末）如图，在下列结论不正确的是
ABC
中，AB=AC，D是BC的中点，
A．ADBC
C．AB=2BD
B．∠B=∠C
D．AD平分∠BAC
【答案】C
【解析】因
ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；
B．∠B=∠C，故B选项正确；
C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；
D．AD平分∠BAC，故D选项正确．
故选C．
【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.
拓展
1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.等腰三角形的判定
1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
1．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．
典例精析
典例3如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．
求证：
△AEF是等腰三角形．
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，
∴∠FEA=∠F，
∴△AEF是等腰三角形．
拓展
2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC的形状．
等边三角形的性质
1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．
2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
2．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
典例精析
典例4如图，
ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为__________．
【答案】4
【解析】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，
∴∠BDE=30°，∴BD=2BE=2，
∵点D为AB边的中点，∴AB=2BD=4，
∵∠B=∠C=60°，∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4，故答案为：
4．
【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB=2BD是解题的关键.
拓展
3．如图，
ABC
是等边三角形，点D在
AC
上，以BD
为一边作等边BDE，连接
CE
．
（1）说明ABDCBE
的理由；
（2）若BEC800，求DBC的度数．
等边三角形的判定
在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
典例精析
典例5下列推理中，错误的是
A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形
B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形
D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形
【答案】B
【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；
B，条件重复且条件不足，故不正确；
C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；
D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．
拓展
4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时
AOP为等边三角形．
直角三角形
在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的
边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题
目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．
典例精析
22
典例6如图，在
ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．
【答案】3
【解析】∵在
ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=
1
2
AD=3，故答案为：
3．
拓展
5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．勾股定理
1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c
2
时，斜边只能是c．若b
为斜边，则关系式是a2+c
2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c
2=a2．
2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
典例精析
典例7直角三角形的两条直角边长分别为2__________.
【答案】32+6cm
cm和6cm，则这个直角三角形的周长为
【解析】∵直角边长为:
2cm和6cm，∴斜边=
26=2
2（cm），
∴周长=
2+6+22=32+6（cm）.
故答案为:
32+6cm
【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键
拓展
6．如图所示，在
ABC中，B90
，AB3，AC5，D为
BC
边上的中点.
（1）求BD
、AD的长度；
（2）将
ABC
折叠，使A与D重合，得折痕EF；求AE、BE的长度.
同步测试
1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是
A．3B．4C．7D．5
2．如图，△ABC是等边三角形，
BCBD,BAD200
，则BCD
的度数为
A．50°B．55°C．60°D．65°
3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB=AC，顶角∠BAC=120°，跨度BC=10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于
A．10m
C．2.5m
B．5m
D．9.5m
4．如图，
ABC
是边长为1的等边三角形，BDC为顶角
BDC120
的等腰三角形，
点M、N分别在AB、AC上，且MDN60，则AMN的周长为
A．2B．3C．1.5D．2.5
5．如图
ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：
∠DBC=3：
4，则∠BDE=
A．24°B．25°
C．30°D．35°
6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为
A．22
C．17或22
B．17
D．26
7．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为
A．6
C．4
B．5
D．3
8．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有
A．8个
B．9个
C．10个
D．11个
9．如图，
ABC中，∠B=90〬，AB=9，BC=6，，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于
A．5B．6C．4D．3
10．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A
在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为
A．6B．3
2
C．4
2
D．6
2
11．三角形的三边a，b，c满足a-b+（b﹣c）2=0；则三角形是_____三角形.
12．如图，等
ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，△ABC的面积=________．
13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________.
14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．
15．如图，在△ABC中，ABAC则BAD__________．
，D、E分别是BC、AC上一点，且ADAE，EDC12
，
1
1
16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形
内部折叠，当点A的对应点A恰好落在∠BCD的平分线上时，CA的长为__________．
18．如图，在
ABC中，点E在AB上，
ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D重合.
（1）求证
ACE为等腰三角形；
（2）若AB=6，求AE的长.
19．如图，一架2.5m长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7m．
（1）求OA的长度；
（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？
20．
ABC
与
DCE
有公共顶点
C
（顶点均按逆时针排列），
ABAC
，
DCDE
，
BACCDE180
，DE//BC，点
G
是BE的中点，连接DG并延长交直线BC
于点F，连接AF,AD.
（1）如图，当
BAC90
时，
求证：
①BFCD
；
②AFD是等腰直角三角形.
（2）当BAC60时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD是何种特殊三角形.
升级会员 