特殊四边形的证明与计算.docx

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特殊四边形的证明与计算

特殊四边形的证明与计算

1．如图，△ABC是等边三角形，点E在线段AC上，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，将线段CE绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，连接AF、AD、ED.

（1）求证：

△BCE≌△ACD；

（2）求证：

四边形ADEF是平行四边形．

第1题图

证明：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC，∠BCE＝60°，

由题意得CE＝CD，∠ECD＝60°.

在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△BCE≌△ACD，

∴AD＝BE，∠DAE＝∠CBE，

∵△BEF是等边三角形，

∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，

∴AD＝EF，

∵△ABC与△BEF均是等边三角形，

∴∠BCE＝∠BEF＝60°，

∵∠BCE＋∠CBE＝∠BEF＋∠AEF，

∴∠CBE＝∠AEF，

∴∠DAE＝∠AEF，∴AD∥EF，

∴四边形ADEF是平行四边形．

2．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC.

（1）求证：

四边形BDEF是平行四边形；

（2）线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系？

证明你所得到的结论．

第2题图

（1）证明：

如解图，延长CE交AB于点G，

第2题解图

∵AE⊥CE，

∴∠AEG＝∠AEC＝90°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠GAE＝∠CAE，

在△AGE和△ACE中，

，

∴△AGE≌△ACE（ASA），

∴GE＝EC.

∵点D是边BC的中点，

∴BD＝CD，DE为△CGB的中位线，

∴DE∥BF.

又∵EF∥BC，

∴四边形BDEF是平行四边形；

（2）解：

BF＝

（AB－AC）．

理由如下：

由

（1）可知，△AGE≌△ACE，四边形BDEF是平行四边形，

∴AG＝AC，BF＝DE＝

BG，

∴BF＝

BG＝

（AB－AG）＝

（AB－AC）．

3．如图，已知边长为2

的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.

（1）求证：

矩形DEFG是正方形；

（2）设AE＝x，四边形DEFG的面积为S，当x为何值时，S的值最小，求出最小值．

第3题图

（1）证明：

如解图①，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，

第3题解图①

∴∠MEN＝90°，

∴∠MEF＋∠FEN＝90°，

∵点E是正方形ABCD对角线上的点，

∴EM＝EN，

∵∠DEF＝90°，

∴∠DEN＋∠FEN＝90°，

∴∠DEN＝∠MEF，

在△DEN和△FEM中，

，

∴△DEN≌△FEM（ASA），

∴DE＝EF，

∵四边形DEFG是矩形，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）解：

∵在正方形ABCD中，AB＝2

，

∴AC＝4，∠DAE＝45°，

如解图②，过点E作EH⊥AD于点H，

第3题解图②

∵AE＝x（0

∴AH＝EH＝

x，

在Rt△DHE中，

DH＝AD－AH＝2

－

x，EH＝

x，

根据勾股定理得，

DE2＝DH2＋EH2＝（2

－

x）2＋（

x）2＝x2－4x＋8，

∵四边形DEFG为正方形，

∴S＝DE2＝x2－4x＋8＝（x－2）2＋4，

∴当x＝2时，S有最小值，即为4.

4.如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC，连接AD、AF、DF、EF.延长DB交EF于点N.

（1）求证：

AD＝AF；

（2）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

第4题图

（1）证明：

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠ABF＝180°－∠ABC＝135°，

∵∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝90°＋∠ACB＝135°，

∴∠ABF＝∠ACD，

∵CB＝CD，CB＝BF，

∴BF＝CD，

在△ABF和△ACD中，

，

∴△ABF≌△ACD（SAS），

∴AD＝AF；

（2）解：

四边形ABNE是正方形．

理由如下：

∵CD＝CB，∠BCD＝90°，

∴∠CBD＝45°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠ABD＝90°，

∴∠ABN＝90°，

由

（1）知△ABF≌△ACD，

∴∠FAB＝∠CAD，

∴∠FAB＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD＝90°，

∵∠EAF＋∠FAB＝90°，

∴∠EAF＝∠BAD，

∵AB＝AC＝AE，AF＝AD，

∴△AEF≌△ABD（SAS）．

∴∠AEF＝∠ABD＝90°，

∵∠EAB＝90°，

∴四边形ABNE是矩形，

又∵AE＝AB，

∴四边形ABNE是正方形．

5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．

（1）若ED⊥EF，求证：

ED＝EF；

（2）在

（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？

并证明你的结论．（请先补全图形，再解答）

第5题图

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC.

∴AC＝BC，AC⊥BC，

如解图，连接CE，

第5题解图

∵E为AB的中点，

∴AE＝EC，CE⊥AB，

∴∠ACE＝∠CAE＝45°，

∴∠DAE＝∠ECF＝135°，

又∵∠AED＋∠CED＝∠CEF＋∠CED＝90°，

∴∠AED＝∠CEF，

∴△AED≌△CEF（ASA），

∴ED＝EF；

（2）解：

补全图形如解图，

四边形ACPE是平行四边形；

证明：

∵由

（1）得△AED≌△CEF，

∴AD＝CF，

∴AC＝CF，

又∵CP∥AE，

∴CP为△FAB的中位线，

∴CP＝

AB＝AE，

∵CP∥AE，

∴四边形ACPE是平行四边形．

6．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H.

（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；

（2）连接CG，求证：

四边形CBEG是正方形．

第6题图

（1）解：

FG⊥DE.理由如下：

∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，

∴∠DEB＝∠ACB，

∵把△ABC沿射线AB平移至△FEG，

∴∠GFE＝∠A，

∵∠ABC＝90°，

∴∠A＋∠ACB＝90°，

∴∠GFE＋∠DEB＝90°，

∴∠FHE＝90°，

∴FG⊥DE；

（2）证明：

根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，

∵CG∥EB，

∴∠BCG＋∠CBE＝180°，

∴∠BCG＝90°，

∴四边形BCGE是矩形，

∵CB＝BE，

∴四边形CBEG是正方形．

7．如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，AD＝1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′为BD中点，连接AB′，C′D，AD′，BC′.如图②.

（1）求证：

四边形AB′C′D是菱形；

（2）四边形ABC′D′的周长为________．

第7题图

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC.

由平移性质可知AD∥B′C′，AD＝B′C′，

∴四边形AB′C′D为平行四边形，

∵∠DAB＝90°，∠ABD＝30°，

∴AD＝

BD.

∵B′为BD中点，

∴AB′＝

BD，

∴AD＝AB′，

∴四边形AB′C′D是菱形；

（2）解：

4

.

【解法提示】如解图，连接AC′交B′D于点O，

第7题解图

∵四边形AB′C′D是菱形，

∴AC′⊥BD′，OA＝OC′，OD＝OB′，

又∵BD＝B′D′，

∴BB′＝DD′，

∴OB＝OD′，

∴四边形ABC′D′是菱形，

∴tan∠ABD＝tan30°＝

＝

＝

，得AB＝

，

∴四边形ABC′D′的周长是4

.

8.边长为2

的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合）．连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP的延长线与AD（或AD延长线）交于点F.

（1）连接CQ，证明：

CQ＝AP；

（2）设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝

BC；

（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．

第8题图

（1）证明：

由题意知BP＝BQ，∠PBQ＝90°，

在正方形ABCD中，AB＝CB，∠ABC＝90°，

∴∠ABC＝∠PBQ，

∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ，

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴CQ＝AP；

（2）解：

在正方形ABCD中，AC为对角线，

∴∠BAP＝∠PCE＝45°，

由旋转可知△PBQ为等腰直角三角形，

∴∠BPQ＝∠PQB＝45°，

在△ABP中，∠BPC＝∠BAP＋∠ABP＝45°＋∠ABP，

又∵∠BPC＝∠BPQ＋∠CPE＝45°＋∠CPE，

∴∠ABP＝∠CPE，

又∵∠BAP＝∠PCE，

∴△BAP∽△PCE，

∴

＝

，

在等腰直角△ABC中，AB＝2

，

∴AC＝4，

又∵AP＝x，CE＝y，∴CP＝4－x，

∴

＝

，即y＝－

x2＋

x，（0

当CE＝

BC时，即CE＝y＝

×2

＝

，

∴

＝－

x2＋

x，

解得x1＝1，x2＝3，

∴y＝－

x2＋

x（0

BC；

（3）解：

猜想：

PF＝EQ.

证明：

①当点F在线段AD上时，如解图①，在CE上取一点H，使HQ＝EQ，则∠QEH＝∠QHE，

第8题解图①

在正方形ABCD中，∵AD∥BC，

∴∠DFE＝∠QEH，

∴∠DFE＝∠QHE，

∴∠AFP＝∠CHQ，

由

（1）知△ABP≌△CBQ，AP＝CQ，∠BAP＝∠BCQ＝45°，

∴∠FAP＝∠BAP＝∠BCQ＝45°，

在△AFP和△CHQ中，

，

∴△AFP≌△CHQ（AAS），

∴PF＝HQ，

又∵HQ＝EQ，

∴PF＝EQ；

②当点F在线段AD延长线上时，如解图②，在BE上取一点H，使HQ＝EQ，

第8题解图②

同理可证△AFP≌△CHQ（AAS），得FP＝HQ＝EQ.

9．如图，在△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C.

（1）求证：

四边形ABCD是正方形；

（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．

第9题图

（1）证明：

∵△AEB由△AEG翻折得到，

∴∠ABE＝∠AGE＝90°，∠BAE＝∠EAG，AB＝AG，

∵△AFD由△AFG翻折得到，

∴∠ADF＝∠AGF＝90°，∠DAF＝∠FAG，AD＝AG，

∵∠EAG＋∠FAG＝∠EAF＝45°，

∴∠BAE＋∠DAF＝45°，

∴∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝∠ADC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

又∵AB＝AG＝AD，

∴四边形ABCD是正方形；

（2）解：

MN2＝ND2＋DH2，

理由：

如解图，连接NH，

第9