拔河比赛数学建模论文.doc

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拔河比赛

摘要

本文从拔河比赛中的物理分析出发，根据获得最大摩擦力和保持绳子稳定的条件，得出能发挥最大能量的队员排序，再根据能量模型和运动员体能数学模型来判断获胜规定的科学性，然后为了使拔河比赛更加公平，设计了一个解决这问题的规则，最后根据前面的分析，写了一个提案。

问题一：

我们研究了拔河比赛中出现的各种情况，针对“如何安排队员的位置使该队发挥最大能量”的问题，首先建立理想简化模型，运用力学分析方法，得出发挥最大能量关键在于获得最大静摩擦力；其次对拔河比赛中获得最大压力进行分析和对绳子进行受力分析，得到队列按身高从高到低，且当身高一样的时候，质量大的队员应安排在后面时，能发挥最大能量。

问题二：

为了判断绳子拉过4米为获胜者这一规定是否科学，我们建立了能量模型和运动员体能数学模型，得出当绳子拉过的距离符合公式时科学。

从而得出这一规定在320公斤级、360公斤级、400公斤级、440公斤级、480公斤级、520公斤级、560公斤级、600公斤级的拔河比赛中是科学的；而在640公斤级、680公斤级和720公斤级的拔河比赛中是不科学的。

问题四：

为了使拔河比赛既能保证大部分同学都乐于参加，又能体现比赛竞争性，我们设计出解决这一问题的规则：

建设两边粗糙程度不同比例的拔河道，比赛双方场地的选择由双方队员的总体重比例决定。

再定量用最大摩擦力相等的关系得出各个场地的比例系数和需要建立11道拔河道，最后根据公式来选择场地。

问题三：

运用了问题二的判断和问题三的规则，再根据了现代大学生的的体质状况和学习物理的兴趣现状向全国大学生体育运动组委会提出一个提案。

关键词：

摩擦力力学分析能量模型

一、问题重述

1.1背景资料与条件

拔河比赛是一项历史悠久，具有广泛群众基础且深受人们喜欢的多人体育运动。

参加拔河既可以锻炼个人的臂力、腿力、腰力和耐力，又可以培养团队的合作精神。

拔河比赛是按照参赛双方每方8人的总体重来分级的，从320公斤到720公斤，每隔40公斤一级。

而拔河比赛的用时相对较少，若参赛的某一方将绳子标记拉过自己一侧4米则该方获胜，一般几分钟或十几分钟便分出胜负，现场气氛甚是热烈。

1.2需要解决的问题：

利用相关知识解答以下四个问题：

1.建立相关数学模型来安排某种分级比赛中的拔河队员位置，使该队在拔河比赛中发挥出最大能量；

2.利用数学建模的方式，来说明在比赛中拉过绳索4米便获胜的规定是否科学；

3.设计一个既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛规则，以此来吸引更多的学生参加运动，并要对规则进行定量说明。

4.向全国大学生体育运动组委会写一个将所设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。

二、问题分析

2.1问题的重要性分析（社会背景）

拔河比赛始于我国春秋时期，是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。

拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。

1900～1920年的奥运会上曾被列为比赛项目。

拔河是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。

拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。

通过对本题的研究，给我们分析了拔河比赛中的主要决定胜负的因素，从而给大家知道如何在拔河比赛中取胜。

找到拔河比赛中的理论原理，为我们赢得比赛找到了一个方法。

所以说，研究本课题是非常重要的现实意义的。

2.2问题的思路分析

问题一：

对队员位置的安排问题，队员的区别主要在队员的身高和队员的体重，所以说主要是分析身高和体重对整体发挥的最大能量的影响。

首先建立物理模型要对拔河比赛中总体情况的分析，再根据身高影响最大正压力和体重影响绳子的稳定性，从而求出队员的排列顺序。

问题二：

对于绳子被拉动的距离，应用能量模型对双方在拔河比赛中的能量进行分析就得关系，再由一般人的最大能量和一般场地与鞋子的摩擦系数，求得一方一次发力时，绳子被拉动的最大距离。

根据最大距离和规定的4米进行比较，从而得出是否科学。

问题三：

根据拔河比赛中的力学分析，其主要的决定胜负的因素是比赛双方的总质量。

这样拔河比赛就成了大质量人的游戏了。

为了去掉这一弊端，让比赛更具有公平性和竞争性，就设计一个规定：

建设两边粗糙程度不同比例的场地，比赛双方场地的选择由双方队员的总体重比例决定。

让比赛双方在静止的最大摩擦力相等。

再根据这一规定，定量求出各个场地的比例。

问题四：

针对大学生的体质问题和学习物理的兴趣状况，提出将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目，并根据问题三设立一个比赛规定。

三、模型假设

3.1忽略自然条件如风向，光照，地球离心力对两方队员水平正常发挥的影响。

3.2绳要直：

不能忽左忽右，且绳子的弹性伸长量不计。

同时最靠近中间标志的两方的两名队员间的绳子始终水平。

3.3假设每名队员的手对绳子的力主要沿着绳子的方向，忽略如垂直于绳方向的其他力。

3.4假设每个队员的鞋子与地面的摩擦系数都相等。

3.5队员的重心位置与身高成比例。

四、符号说明

以下符号下标1,2分别表示拔河比赛的甲方和乙方

mx：

任意某队员的质量；

m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8甲方队员的质量（从绳子中间向两边数）；

ma,mb,mc,md,me,mf,mg,mh：

乙方队员的质量；

Tx:

队员对绳子的作用力；

µ：

地面对队员的摩擦系数为；

N：

地面对人的正压力；

：

人与地面的夹角；

g：

万有引力常数；

Hx：

队员身高；

S（t）：

绳子中心偏移量；

：

一方把另一方拉过的距离；

：

队员在整个比赛过程中消耗的总能量；

：

初始时刻每名队员体内贮存的能量；

：

呼吸和循环系统在氧的代谢作用下单位时间提供的能量；

:

运动员的速度；

：

拔河道两边的摩擦系数的比值。

五、模型的建立与求解

5.1模型分析：

拔河比赛属于团体竞赛，虽然没有特别好的视觉效果，看似与扳腕子一样，哪方的牛劲大哪方就会获胜。

实则不然，其中包含了深刻的数学思想奥秘，如果能够洞悉其中的哪怕部分数学奥秘精髓，并据此由队员的身高、身体与地面的倾斜角度、体重、能量损耗，发力节奏等等合理安排队员等等，必定能够最大可能的提高获胜概率。

5.2模型建立与求解：

如果某方想在拔河比赛中发挥该队最大能量，他应该怎样安排他的队员位置？

请对比赛建立一个数学模型的方式来说明你的结果。

5.2.1:

身高安排模型建立与求解

当队员对地的摩擦力增大时，就可以增加己方的承受力，因此要增大正压力，而合理安排队员身高排序可以最大可能的增加摩擦力。

图a图b图c

a:

身高从高到低时：

N-mg-Fsinβ=ma得：

N=m（g+a）+Fsinβ；

b:

身高从低到高时：

N-mg＋Fsinβ=ma　得：

N=m（g+a）－Fsinβ；

c:

身高排列无明显变化趋势时：

N-mg=ma得：

N=m（g+a）。

由上式子可见：

身高从高到低可以增加队员的对地压力从而增加对地摩擦力。

如下图所示：

.假设上图甲方的绳子与地面所成的锐角为α

且（T1+T2+T3+T4+T5+T6+T7+T8）/8=

（Ta+Tb+Tc+Td+Te+Tf+Tg+Th）/8=T平均①

则队员增加的对地压力依次为：

ΔN1=（T2+T3+T4+T5+T6+T7+T8）sinα

ΔN2=（T3+T4+T5+T6+T7+T8）sinα

ΔN3=（T4+T5+T6+T7+T8）sinα

ΔN4=（T5+T6+T7+T8）sinα

ΔN5=（T6+T7+T8）sinα

ΔN6=（T7+T8）sinα

ΔN7=（T8）sinα

则ΔN总=ΔN1+ΔN2+ΔN3+ΔN4+ΔN5+ΔN6+ΔN7②

但由于每个人发出来的T没有全部用在水平方向上，建立方程：

（T1+T2+T3+T4+T5+T6+T7+T8）cosα+µΔN总sinα

－（Ta+Tb+Tc+Td+Te+Tf+Tg+Th）=ma

假设函数f（α）=ma③

由①、②、③得：

f（a）的导函数为：

f（α）’=－8*T平均sinα+µ*28*T平均cosα

令上式的导函数值为0，即：

令f（α）’=0得

α=arctan（3.5µ）

假设每两名运动员间距是0.5m,则最高与最低的差

ΔH=0.5*7*tanα=12.25µ

ΔH∝µ

由上式此可得出如下结论：

当地面比较相对光的时候，首尾队员身高的差ΔH不适宜太大。

当地面很粗糙摩擦力很大时，首尾队员身高的差ΔH可以适当增大。

5.2.2身体倾斜角度、体重模型的建立及求解

若身体与地面的倾斜角>=90度，即直立或前倾状态时，重力矩将不起作用（=90度）或起反作用（>90度），它将导致身体进一步前倾，同时还会产生不利于自己的摩擦力f，这样会更迅速的被对方拉动。

因此，拔河时应采取后倾姿势。

下面对在对身体在后倾状态（<90度）时的情况作进一步的讨论。

设人的身高为h，身体与地面的倾角为θ（θ>90）。

T与mg分别作用在人体的肩部和重心处。

假设肩部在身高的0.8h处，重心在人的0.6h处，则据力矩平衡，如图5.1.3

（1）可知：

0.8THsin=0.6mgHcos

可见，在对方拉力一定时，力矩的大小取决于mg和，下面分别讨论。

先看一下重力矩与倾斜角的关系。

由正弦、余弦变化规律可知，在的范围，增函数，为减函数，即越小，越大，越小。

要发挥重力矩的有利作用，应保持在45度以下，因为此时>，当然若角过小，人也会向后翻倒，所以不应太小。

此外，根据：

f=µmg

0.8THsin=0.6mgHcos

可见，u越大，θ越小。

因此，在u较小，即比较光滑的地面上，θ应该大一些，即人的身体应该更直一些。

所以，拔河时，理论倾角应在35度左右为宜，还要根据地面情况进行调整。

在上述模型中f=µmg

0.8THsin=0.6mgHcos

令H、一定，m越大，重力矩就越大，所以将重量较大的队员安排到队尾可以尽可能使队伍更为稳重，绳子不易左右摆动，绳要直：

不能忽左忽右。

如果有一人向左，一个人向右，那么就等于他二人没拔，那么队伍就等于少了两个人。

由其是最后控绳的，如果左右晃，那么大家的力再大也白拉。

5.2.4：

建立能量模型说明一方拉过绳索4米比赛获胜规定是否科学

在拔河比赛中，绳子的移动都是由某方队员的身体的平动产生的，所以假设在拔河比赛中，不考虑转动效果，只考虑平动效果，获得胜利的一方，就要使对方的身体向前平动4米。

在拔河各级比赛双方中，对地的摩擦系数都是一样的，假设双方各队的总质量基本上相等，即

根据以上的