高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第一章4第2课时单位圆与正弦函数余弦函数.docx
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高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第一章4第2课时单位圆与正弦函数余弦函数
第2课时 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
单位圆的对称性与诱导公式
[核心必知]
正弦函数、余弦函数的诱导公式
公式
（一）
sin（2kπ＋α）＝sin_α，cos（2kπ＋α）＝cos_α（k∈Z）
公式
（二）
sin（－α）＝－sin_α，cos（－α）＝cos_α
公式（三）
sin（2π－α）＝－sin_α，cos（2π－α）＝cos_α
公式（四）
sin（π－α）＝sin_α，cos（π－α）＝－cos_α
公式（五）
sin（π＋α）＝－sin_α，cos（π＋α）＝－cos_α
公式（六）
sin
＝cos_α，cos
＝－sin_α
公式（七）
sin
＝cos_α，cos
＝sin_α
[问题思考]
1．比较公式两边的函数名称，有什么规律？
提示：
公式
（一）～（五）中，左、右两边的函数名称相同；公式（六）、（七）中，左、右两边的函数名称不同，规律为正、余弦互换．
2．公式右边的正、负号有规律吗？
提示：
有，把α看作锐角时，公式左边函数值的符号与右边的正、负号相同．
3．公式
（二）反映了三角函数的什么性质？
提示：
由sin（－α）＝－sinα知y＝sinx是奇函数；
由cos（－α）＝cosα知y＝cosx是偶函数．
讲一讲
1．求下列三角函数值．
（1）cos945°；
（2）sin
；
（3）cos
；（4）sin
.
[尝试解答]
（1）cos945°＝cos（2×360°＋225°）
＝cos225°＝cos（180°＋45°）＝－cos45°＝－
.
（2）sin
＝sin
＝sin
＝sin
＝－sin
＝－
.
（3）cos
＝cos
＝－cos
＝－
＝
.
（4）sin
＝－sin
＝sin
＝
.
1．诱导公式都是角α的正弦、余弦函数与k×
±α（k∈Z）的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的口诀是：
奇变偶不变，符号看象限．
“奇变偶不变”解释如下：
α前面加的是k×
，当k是奇数时，得α的异名三角函数值；当k是偶数时，得α的同名三角函数值．
“符号看象限”解释如下：
由于对于任意角α，公式都成立，不妨将角α看作一个锐角，考查k×
±α（k∈Z）所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．
2．利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，步骤如下：
记忆口诀：
负化正，大化小，化到锐角再查表（特殊角的三角函数值表）．
练一练
1．求下列各式的值：
（1）sin495°cos（－675°）；
（2）sin
cos
解：
（1）sin495°cos（－675°）
＝sin（135°＋360°）cos675°
＝sin135°cos315°
＝sin（180°－45°）cos（360°－45°）
＝sin45°cos45°
＝
×
＝
.
（2）sin
cos
＝－sin
cos
＝－sin
cos
＝－sin
cos
＝－sin
cos
＝－sin
sin
＝－
×
＝－
.
讲一讲
2．
（1）已知cos
＝m（|m|≤1），
求cos
，sin
的值．
（2）已知sin
＝－
，求cos（5π＋α）的值．
[尝试解答]
（1）cos
＝cos
＝－cos
＝－m.
sin
＝sin
＝cos
＝m.
（2）∵sin
＝－
∴cosα＝－
∴cos（5π＋α）
＝cos[4π＋（π＋α）]
＝cos（π＋α）
＝－cosα
＝－
＝
.
解决条件求值问题的常见思路是：
寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角之间的互余、互补关系．
常见的互余关系有：
－α与
＋α；
＋α与
－α；
＋α与
－α等．
常见的互补关系有：
＋θ与
－θ；
＋θ与
－θ，
－θ与
＋θ等．
练一练
2.已知sin
＝
，求cos
的值．
解：
∵
π－α＝3π＋
∴cos
＝cos
＝－cos
又∵
＋
＝
.
∴cos
＝－cos
＝－sin
＝－
.
讲一讲
3．化简下列各式：
（1）
.
（2）cos
＋cos
.
[尝试解答]
（1）原式＝
＝－1.
（2）∵
＋
＝2nπ，
∴原式＝cos
＋cos
＝2cos
＝2cos
.
①当n为奇数，即n＝2k＋1（k∈Z）时，
原式＝2cos
＝－2cos
；
②当n为偶数，即n＝2k（k∈Z）时，
原式＝2cos
＝2cos
.
故原式＝
1．所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．
2．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，
π±α时，要注意对k的奇偶性进行讨论．
练一练
3．设k为整数，化简：
.
解：
法一：
当k为偶数时，不妨设k＝2m（m∈Z），
则原式＝
＝
＝
＝－1；
当k为奇数时，可设k＝2m＋1（m∈Z），
同理，可得原式＝－1.
法二：
由（kπ＋α）＋（kπ－α）＝2kπ，
[（k－1）π－α]＋[（k＋1）π＋α]＝2kπ，
得sin（kπ－α）＝－sin（kπ＋α）＝sin[（k＋1）π＋α]，
cos[（k－1）π－α]＝cos[（k＋1）π＋α]
＝－cos（kπ＋α），
所以原式＝－1.
若cosθ＝
，则
＋
的值为________．
[错解] 原式＝
＋
＝0.
[错因] 混淆了诱导公式，应有sin
＝sin
）
＝－sin
－cosθ，sin
＝cosθ.
cos（π－θ）＝－cosθ，cos（π＋θ）＝－cosθ.
[正解] 原式＝
＋
＝
＋
＝
.
因为cosθ＝
，
所以原式＝
＝3.
[答案] 3
1．当α∈R时，下列各式恒成立的是（ ）
A．sin
＝－cosα B．sin（π－α）＝－sinα
C．cos（π＋α）＝cosαD．cos（－α）＝cosα
答案：
D
2．cos
的值是（ ）
A．－
B.
C.
D．－
解析：
选D cos
＝cos（π－
）＝－cos
＝－
.
3．（广东高考）已知sin（
＋α）＝
，那么cosα＝（ ）
A．－
B．－
C.
D.
解析：
选C sin（
＋α）＝sin[2π＋（
＋α）]＝sin（
＋α）＝cosα＝
.
4．已知cos（π＋α）＝－
，则sin
＝________．
解析：
∵cos（π＋α）＝－
，∴cosα＝
.
∴sin
＝cosα＝
.
答案：
5．已知cos（508°－α）＝
，则cos（212°＋α）＝________．
解析：
∵508°＋212°＝720°
∴cos（212°＋α）＝cos[2×360°－（508°－α）]
＝cos（508°－α）＝
.
答案：
6．求sin
cos
sin
的值．
解：
原式＝sin
cos（2π＋
）sin（4π＋
）
＝
cos
sin
＝
cos（π＋
）sin
＝
×
＝
×
×
＝
.
一、选择题
1．cos150°的值是（ ）
A．－
B．－
C.
D.
解析：
选A cos150°＝cos（180°－30°）＝－cos30°＝－
.
2．已知600°角的终边上有一点P（a，－3），则a的值为（ ）
A.
B．－
C.
D．－
解析：
选B ∵sin600°＝sin（360°＋240°）＝sin240°
＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－
，
∴
＝－
，∴a＝±
.
又∵600°角的终边在第三象限∴a＝－
.
3．在△ABC中，下列4个等式恒成立的是（ ）
①sin（A＋B）＋sinC＝0，②cos（A＋B）＋cosC＝0，
③sin（2A＋2B）＋sin2C＝0，④cos（2A＋2B）＋cos2C＝0
A．①②B．②③C．③④D．①②
解析：
选B 对于②，cos（A＋B）＋cosC＝cos（180°－C）＋cosC＝－cosC＋cosC＝0，成立．对于③，sin（2A＋2B）＋sin2C＝sin[2（180°－C）]＋sin2C＝sin（360°－2C）＋sin2C＝－sin2C＋sin2C＝0，成立．
4．下列三角函数中，与sin
数值相同的是（ ）
①sin
②cos
③sin
④cos
⑤sin
，（n∈Z）
A．①②B．①②③C．②③⑤D．①③④
解析：
选C ①中n为偶数时，sin
＝－sin
；
②中cos（2nπ＋
）＝cos
＝sin
；
③中sin
＝sin
；
④中cos
＝－cos
＝－sin
；
⑤中sin[（2n＋1）π－
]＝sin（π－
）＝sin
.
故②③⑤正确．
二、填空题
5．sin
＝________．
解析：
sin
＝－sin
＝－sin
＝－sin
＝sin
＝
.
答案：
6．化简
＝________．
解析：
原式＝
＝－cosα.
答案：
－cosα
7．已知sin
＝
，则cos
的值等于________．
解析：
∵sin
＝
，∴sin（
－α）＝－
，
又∵
＋
＝
，∴cos（
＋α）＝cos
＝sin
＝－
.
答案：
－
.
8．若函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f（2011）＝2，则f（2012）＝________.
解析：
∵f（2011）＝asin（2011π＋α）＋bcos（2011π＋β）＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）＝－（asinα＋bcosβ）＝2，
∴f（2012）＝asin（2012π＋α）＋bcos（2012π＋β）
＝asinα＋bcosβ＝－2.
答案：
－2
三、解答题
9．求值：
.
解：
原式＝
＝
＝
＝
＝－
＝－
.
10．已知f（α）＝
，
（1）化简f（α）；
（2）若α＝－
，求f（α）的值．
解：
（1）f（α）＝
＝－cosα；
（2）f
＝－cos
＝－cos
＝－cos
＝－cos
＝－
.
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