二次函数经典例题及答案.docx

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二次函数经典例题及答案

二次函数经典例题及答案

1.抛物线的顶点为P〔－4，－

〕，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为〔1，0〕。

〔1〕求这条抛物线的函数关系式；

〔2〕假设抛物线的对称轴交x轴于点D，那么在线段AC上是否存在这样的点Q，使得△ADQ为等腰三角形？

假设存在，请求出符合条件的点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．

y=

x2+4x-

；存在点Q1〔-1，-4〕，Q2〔2

-9，-

〕，Q3〔-

，-

〕．

试题分析：

〔1〕根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a〔x+4〕2-

，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；

〔2〕先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA、OC、AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出∠OAC的正弦值与余弦值，再分①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ1，再利用∠OAC的正弦求出Q1E1的长度，根据∠OAC的余弦求出AE1的长度，然后求出OE1，从而得到点Q1的坐标；②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，利用∠OAC的正弦求出Q2E2的长度，根据∠OAC的余弦求出AE2的长度，然后求出OE2，从而得到点Q2的坐标；③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE3的长度，然后求出OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3E3的长度，从而得到点Q3的坐标．

试题解析：

〔1〕∵抛物线顶点坐标为〔-4，-

〕，

∴设抛物线解析式为y=a〔x+4〕2-

∵抛物线过点B〔1，0〕，∴a〔1+4〕2-

=0，解得a=

，

所以，抛物线解析式为y=

〔x+4〕2-

，即y=

x2+4x-

；

〔2〕存在点Q1〔-1，-4〕，Q2〔2

-9，-

〕，Q3〔-

，-

〕．

理由如下：

∵抛物线顶点坐标为〔-4，-

〕，

∴点D的坐标为〔-4，0〕，

令x=0，那么y=-

，

令y=0，那么

x2+4x-

=0，

整理得，x2+8x-9=0，

解得x1=1，x2=-9，

∴点A〔-9，0〕，C〔0，-

〕，

∴OA=9，OC=

，AD=-4-〔-9〕=-4+9=5，

在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC=

∴sin∠OAC=

cos∠OAC=

，

①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，

根据等腰三角形三线合一的性质，AQ1=2•ADcos∠OAC=2×5×

，

Q1E1=AQ1•sin∠OAC=

×

=4，

AE1=AQ1•cos∠OAC=

×

=8，

所以，OE1=OA-AE1=9-8=1，

所以，点Q1的坐标为〔-1，-4〕；

②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，

Q2E2=AQ2•sin∠OAC=5×

=

，

AE2=AQ2•cos∠OAC=5×

=2

，

所以，OE2=OA-AE2=9-2

，

所以，点Q2的坐标为〔2

-9，-

〕；

③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，

那么AE3=

AD=

×5=

，

所以，OE3=9-

=

，

∵Q3E3⊥x轴，OC⊥OA，

∴△AQ3E3∽△ACO，

∴

，

即

，

解得Q3E3=

，

所以，点Q3的坐标为〔-

，-

〕，

综上所述，在线段AC上存在点Q1〔-1，-4〕，Q2〔2

-9，-

〕，Q3〔-

，-

〕，使得△ADQ为等腰三角形．

2.如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．

〔1〕求B、C两点坐标；

〔2〕求此抛物线的函数解析式；

〔3〕在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=S△CAB，假设存在，求出P点坐标，假设不存在，请说明理由．

1〕B〔3，0〕C〔0，3〕〔2〕此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．〔3〕存在这样的P点，其坐标为P〔0，3〕，〔2，3〕〔1+

，﹣3〕或〔1﹣

，﹣3〕．

试题分析：

〔1〕了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标．

〔2〕由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．

〔3〕根据〔2〕的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求出AB的长，由于S△PAB=S△CAB，而AB边为定值．由此可求出P点的纵坐标，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．

试题解析：

〔1〕∵直线y=﹣x+3经过B、C

∴当x=0时y=3

当y=0时x=3

∴B〔3，0〕C〔0，3〕

〔2〕∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C

∴

．

∴b=2，c=3．

∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

〔3〕当y=0时，﹣x2+2x+3=0；x1=﹣1，x2=3．

∴A〔﹣1，0〕

设P〔x，y〕

∵S△PAB=S△CAB∴

×4×|y|=

×4×3

∴y=3或y=﹣3

①当y=3时，3=﹣x2+2x+3

∴x1=0，x2=2

P〔0，3〕或〔2，3〕

②当y=﹣3时，﹣3=﹣x2+2x+3

∴x1=1+

，x2=1﹣

∴P〔1+

，﹣3〕或〔1﹣

，﹣3〕．

因此存在这样的P点，其坐标为P〔0，3〕，〔2，3〕〔1+

，﹣3〕或〔1﹣

，﹣3〕．

3．：

如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A〔3，0〕、B〔6，0〕，与y轴的交点是C．

〔1〕求抛物线的函数表达式；

〔2〕设P〔x，y〕〔0＜x＜6〕是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．

①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？

②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？

假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．

（1）所求抛物线的函数表达式是y=

x2﹣x+2．〔2〕当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．〔3〕P〔3，0〕或P〔

，

〕或P〔

，

〕．

试题分析：

〔1〕了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．

〔2〕①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在〔1〕中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．

〔3〕分三种情况进展讨论：

当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；

当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；

当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．

试题解析：

〔1〕∵抛物线过A〔3，0〕，B〔6，0〕，

∴

，

解得：

，

∴所求抛物线的函数表达式是y=

x2﹣x+2．

〔2〕①∵当x=0时，y=2，

∴点C的坐标为〔0，2〕．

设直线BC的函数表达式是y=kx+b．

那么有

，

解得：

．

∴直线BC的函数表达式是y=﹣

x+2．

∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标一样，

∴PQ=yQ﹣yP=〔﹣

x+2〕﹣〔

x2﹣x+2〕

=﹣

x2+

x

=﹣

〔x﹣3〕2+1

∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．

②解：

当∠OAQ=90°时，点P与点A重合，

∴P〔3，0〕

当∠QOA=90°时，点P与点C重合，

∴x=0〔不合题意〕

当∠OQA=90°时，

设PQ与x轴交于点D．

∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，

∴∠OQD=∠QAD．

又∵∠ODQ=∠QDA=90°，

∴△ODQ∽△QDA．

∴

，即DQ2=OD•DA．

∴〔﹣

x+2〕2=x〔3﹣x〕，

10x2﹣39x+36=0，

∴x1=

，x2=

，

∴y1=

×〔

〕2﹣

+2=

；

y2=

×〔

〕2﹣

+2=

；

∴P〔

，

〕或P〔

，

〕．

∴所求的点P的坐标是P〔3，0〕或P〔

，

〕或P〔

，

〕．

4.如以下图，在平面直角坐标系中，抛物线

〔

〕经过A〔-1，0〕、B〔3，0〕两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点〔不与B，D重合〕，过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．

〔1〕求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

〔2〕如果P点的坐标为〔

，

〕，△PBE的面积为

，求

与

的函数关系式，写出自变量

的取值围.

〔1〕

，D〔1，4〕；〔2〕

〔

〕．

试题分析：

〔1〕此题需先根据抛物线

经过A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线

即可求出它的解析式．

〔2〕此题首先设出BD解析式

，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值．

试题解析：

〔1〕∵抛物线

〔

〕经过A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕两点∴把〔﹣1，0〕B〔3，0〕代入抛物线得：

，

，∴抛物线解析式为：

，∵

=

，∴顶点D的坐标为〔1，4〕；

〔2〕设直线BD解析式为：

〔

〕，把B、D两点坐标代入，得：

，解得

5.如图，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，点P〔

，

〕〔a是任意实数〕在抛物线上，直线

经过A，B两点．

〔1〕求直线AB的解析式；

〔2〕平行于y轴的直线

交直线AB于点D，交抛物线于点E．

①直线

〔0≤t≤4〕与直线AB相交F，与抛物线相交于点G．假设FG∶DE＝3∶4，求t的值；

②将抛物线向上平移m〔m＞0〕个单位，当EO平分∠AED时，求m的值．

1）

；〔2〕①1或3；②

．

试题分析：

〔1〕根据点P的坐标，可得出抛物线解析式，然后求出A、B、C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；

〔2〕①根据点E〔2，5〕，D〔2，1〕，G〔

，

〕，F〔

，

〕，表示出DE、FG，再由FG：

DE=3：

4，可得出t的值；

②设点A〔0，2+m〕，那么点E〔2，5+m〕，作AH⊥DE，垂足为H，在Rt△AEH中利用勾股定理求出AE，根据EO平分∠AED及平行线的性质可推出∠AEO=∠AOE，AO=AE，继而可得出m的值．

试题解析：

〔1〕∵P〔

，

〕〔a是实数〕在抛物线上，

∴抛物线的解析式为

=

﹣

，当

时，即

，解得

，

，当x=0时，y=2．∴A〔0，2〕，B〔4，0〕，C〔

，0〕，将点A、B的坐标代入

，得：

∴

，解得：

，故直线AB的解析式为

；

〔2〕①∵点E〔2，5〕，D〔2，1〕，G〔

，

〕，F〔

，

〕，∴DE=4，FG=

=

，∵FG：

DE=3：

4，∴

，解得

，

．

②设点A〔0，2+m〕，那么点E〔2，5+m〕，作AH⊥DE，垂足为H，

∴

=

，即AE=

，∵EO平分∠AED，∴∠AEO=∠DEO，∵AO∥ED，∴∠DEO=∠AOE，∴∠AEO=∠AOE，∴AO=AE，即

，解得m=

．

6.如图，二次函数y=

x2+bx+c的图象与x轴交于A〔3，0〕，B〔–1，0〕，与y轴交于点C．假设点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运