离散数学习题五精品文档.docx
《离散数学习题五精品文档.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学习题五精品文档.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
离散数学习题五精品文档
习题五
1.设个体域D={a,b,c}，在D中消去公式的量词。
甲乙用了不同的演算过程：
甲的演算过程如下：
乙的演算过程如下：
显然，乙的演算过程简单，试指出乙在演算过程中的关键步骤。
解：
乙在演算中的关键步骤是，在演算开始就利用量词辖域收缩与扩张等值式，将量词的辖域缩小，因而演算简单。
2.设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
在
（1）
（2）（4）中均将量词的辖域缩小，所以演算结果都比较简单
3.设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释和，使得下面公式在下都是真命题，而在下都是假命题。
（1）
（2）
解：
解释I1为：
个体为实数集合R，F（x）：
x为自然数，G（x）：
x为整数。
在I1下，
（1）为自然数都是整数，
（2）为存在整数为自然数。
他们都是真命题
解释I2为：
个体域仍为实数集R，F（x）：
x是无理数，G（x）：
x能表示成分数，在I2下，
（1）为无理数都能表示成分数，
（2）为存在能表示成分数的无理数，他们都是假命题
4.给定公式
（1）在解释中，个体域={a}，证明公式A在下的真值为1.
（2）在解释中，个体域={}，,A在下的真值还一定是1吗？
为什么？
解：
（1）在I1下，
（2）在I2下
为可满足式，设F（x）：
x为奇数，，此时，蕴涵式前件为真，后件为假，故蕴含式为假，若令F（x）；x为整数，则蕴含式前后件均为真，所以
（2）中公式在I2下为可满足式
5.给定解释如下：
（a）个体域D={3,4}；
（b）为
（c）为
试求下列公式在下的真值。
解：
（1）
（2）
（3）
6.甲使用量词辖域收缩与扩张等值式进行如下演算
乙说甲错了，乙说的对吗？
为什么？
解：
乙说的对，甲错了，全称量词的指导变元x，辖域为，其中F（x）与G（x,y）都是x的约束变元，因而不能讲量词的辖域变小
7.请指出下面等值运算的两处错误
解：
演算的第一步，应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定连接词，演算的第二步，在原错的基础上又用错了等值式
和不等值
8.在一阶逻辑中将下列命题符号化，要求用两种不同的等值形式
（1）没有小于负数的正数
（2）相等的两个角未必都是对顶角
解：
（1）其中F（x）：
x小于负数，G（x）：
x是正数
（2）其中F（x）：
x是角，H（x,y）：
x=y，L（x,y）：
x和y是对顶角
9.设个体域D为实数集合，命题“有的实数既是有理数又是无理数”，这显然是个假命题。
可是某人却说这是真命题，其理由如下
设F（x）：
x是有理数，G（x）：
x是无理数。
都是真命题，于是，
由于是真命题，故也是真命题，即有的实数是有理数，也是无理数这个人的结论对吗？
为什么？
解：
存在量词对无分配律
10.在求前束范式时有人说已是前束范式，理由是量词已在公式的前面，他说的对吗？
为什么？
解：
在前束范式中，否定联结词不能在量词前面出现
11.有人说无法求公式
的前束范式，因为公式中的两个量词的指导变元相同。
他的理由对吗？
为什么？
换名规则可以使两个指导变元不相同
12.求下列各式的前束范式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
13.将下列命题符号化，要求符号化的公式权威前束范式：
（1）有点火车比有的汽车跑的快
（2）有的火车比所有的汽车跑的快
（3）说有的火车比所有汽车跑得快是不对的
（4）说有的飞机比有的汽车慢也是不对的
解：
（1）其中F（x）：
x是汽车G（y）:
y是火车H（x,y）：
x比y跑得快
（2）其中F（x）：
x是火车G（y）:
y是汽车H（x,y）：
x比y跑得快
（3）其中F（x）：
x是火车G（y）:
y是汽车H（x,y）：
x比y跑得快
（4）其中F（x）：
x是飞机G（y）:
y是汽车H（x,y）：
x比y跑得慢
14.在自然推理系统F中，指出下面各证明序列中的错误：
（1）①前提引入
②①EI规则
（2）①前提引入
②①EI规则
（3）①前提引入
②①EG规则
（4）①前提引入
②①EG规则
（5）①前提引入
②①UG规则
解：
（1）对不能使用EI规则，它不是前束范式，首先化成前束范式，因为量词辖域中，除了x还有自由出现的y所以不能用EI规则
（2）对也应该先化成前束范式才能消去量词，其前束范式为，要消去量词，既要用UI规则，又要用EI规则
（3）这里A（y）=F（y）G（y）满足要求
（4）这里，使F（a）为真的a不一定使G（a）为真，同样的，使G（b）为真的b不一定使F（b）为真
（5）这里，c为个体常项，不能对F（c）G（c）引入全称量词
15.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：
（1）前提：
结论：
（2）前提：
结论：
（3）前提：
结论：
（4）前提：
结论：
（1）证明：
1前提引入
2前提引入
312假言推理
41EI
53UI
64附加
756假言推理
87EG
（2）证明：
1前提引入
2前提引入
31EI
42UI
534假言推理
65化简
736合取
87EG
（3）证明：
1前提引入
21置换
32UI
4前提引入
54UI
635析取三段论
76EG
（4）证明：
1前提引入
21UI
3前提引入
43UI
5前提引入
65UI
746析取三段论
827析取三段论
9UG
16.找一个解释I，在I下，使得为真，而使得为假，从而说明。
解：
取个体域为自然数集合N，F（x）:
x为奇数，G（x）:
x为偶数。
显然在以上解释下为真而为假。
17.给定推理如下：
前提：
结论：
。
有些人给出的证明如下：
证明：
附加前提引入
UI
前提引入
UI
假言推理
前提引入
UI
拒取式
UG
并且说，由附加前提证明法可知，推理正确，请指出以上证明的错误。
解：
根据16题可知两公式并不等价。
18.给出上题（17）推理的正确证明（注意，不能使用附加前提证明法）。
证明：
1前提引入
2前提引入
31UI
42UI
53置换
645假言三段论
76UG
19.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明：
前提：
结论：
证明：
1前提引入
2换名规则
3化简
43EI
20.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明（可以使用附加前提证明法）：
（1）前提：
结论：
（2）前提：
结论：
证明：
（1）.1附加前提引入
21UI
3前提引入
43UI
523假言推理
6
（2）1附加前提引入
2置换原则
32EI
4前提引入
5UI
635析取三段论
7EG
21.在自然推理系统中，构造下面推理的证明：
没有白色的乌鸦，北京鸭都是白色的。
因此，北京鸭都不是乌鸦。
设F（x）:
x是乌鸦，G（x）：
x是北京鸭，H（x）:
x是白色的。
前提
结论
证明：
1前提引入
2置换原则
3置换原则
4
54UI
6前提引入
75UI
857假言三段论
98UG
22.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：
（1）偶数都能被2整除。
6是偶数。
所以6能被2整除。
（2）凡大学生都是勤奋的。
王晓山不勤奋，所以王晓山不是大学生。
（1）设F（x）:
x为偶数，G（x）：
x能被2整除
前提
结论G（6）
证明：
1前提引入
21UI
3前提引入
423假言推理
（2）设F（x）:
x是大学生，G（x）：
x是勤奋的，a王晓山
前提，
结论
证明：
1前提引入
21UI
3前提引入
423据取式
23.在自然推理系统F中，证明下面推理：
（1）每个有理数都是实数。
有的有理数是整数。
因此，有的实数是整数9
（2）有理数，无理数都是实数。
虚数不是实数。
因此，虚数既不是有理数也不是无理数。
（1）设F（x）:
x是有理数，G（x）：
x实数，H（x）:
x是整数
前提，
结论
（2）设F（x）:
x是有理数，G（x）：
x是无理数，H（x）:
x是实数，I（x）:
x是虚数
前提
结论
证明：
1前提引入
21UI
3前提引入
43UI
5置换
625假言三段论
7UG
24.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：
每个喜欢不行的人都不喜欢骑自行车。
每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。
有的人不喜欢乘汽车，所以有的人不喜欢步行。
（个体域为人类集合）
设F（x）:
x喜欢步行，G（x）：
x喜欢骑自行车，H（x）:
x喜欢乘汽车
前提，
结论
证明：
1前提引入
21UI
3前提引入
43UI
524析取三段论
6前提引入
76UI
857拒取式
98UG
25.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明（个体域为人类集合）：
每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。
王大海是科学工作者，并且是聪明的，所以王大海在他的事业中将获得成功。
设F（x）:
x是科学工作者，G（x）：
x是刻苦钻研的，H（x）:
x是聪明的，I（x）:
x在事业中获得成功
前提，，a:
王大海，F（a）,H（a）
结论I（a）
证明：
1前提引入
2前提引入
32UI
413假言推论
5前提引入
6前提引入
76UI
845合取
978假言推论
升级会员 