高中数学第二册上直线方程的点斜式斜截式两点式和截距式.docx

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高中数学第二册上直线方程的点斜式斜截式两点式和截距式

2019-2020年高中数学第二册（上）直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

一、教学目标

（一）知识教学点

在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．

（二）能力训练点

通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．

（三）学科渗透点

通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．

二、教材分析

1．重点：

由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．

2．难点：

在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．

的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k（x-x1）后，点P1的坐标满足方程．

三、活动设计

分析、启发、诱导、讲练结合．

四、教学过程

（一）点斜式

已知直线l的斜率是k，并且经过点P1（x1，y1），直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程（图1-24）？

设点P（x，y）是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

注意方程

（1）与方程

（2）的差异：

点P1的坐标不满足方程

（1）而满足方程

（2），因此，点P1不在方程

（1）表示的图形上而在方程

（2）表示的图形上，方程

（1）不能称作直线l的方程．

重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．

这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．

当直线的斜率为0°时（图1-25），k=0，直线的方程是y=y1．

当直线的斜率为90°时（图1-26），直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

（二）斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．

这个问题，相当于给出了直线上一点（0，b）及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：

y-b=k（x-0）

也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？

因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．

当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．

（三）两点式

已知直线l上的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），（x1≠x2），直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．

当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成

请同学们给这个方程命名：

这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．

对两点式方程要注意下面两点：

（1）方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行（x1=x2或y1=y2）时，可直接写出方程；

（2）要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．

（四）截距式

例1　已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a≠0，b≠0），求直线l的方程．

此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．

解：

因为直线l过A（a，0）和B（0，b）两点，将这两点的坐标代入两点式，得

就是

学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．

引导学生给方程命名：

这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．

对截距式方程要注意下面三点：

（1）如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；

（2）将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；（3）与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．

（五）例题

例2　三角形的顶点是A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2）（图1-27），求这个三角形三边所在直线的方程．

本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．

解：

直线AB的方程可由两点式得：

即　3x+8y+15=0

这就是直线AB的方程．

BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：

由斜截式得：

即　5x+3y-6=0．

这就是直线BC的方程．

由截距式方程得AC的方程是

即　2x+5y+10=0．

这就是直线AC的方程．

（六）课后小结

（1）直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．

（2）四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．

（3）要注意四种形式方程的不适用范围．

五、布置作业

1．（1.5练习第1题）写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：

（1）经过点A（2，5），斜率是4；

（4）经过点D（0，3），倾斜角是0°；

（5）经过点E（4，-2），倾斜角是120°．

解：

2．（1.5练习第2题）已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：

解：

（1）（1，2），k=1，α=45°；

（3）（1，-3），k=-1，α=135°；

3．（1.5练习第3题）写出下列直线的斜截式方程：

（2）倾斜角是135°，y轴上的截距是3．

4．（1.5练习第4题）求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．

（1）P1（2，1）、P2（0，-3）；

（2）A（0，5）、B（5，0）；

（3）C（-4，-3）、D（-2，-1）．

解：

（图略）

六、板书设计

2019-2020年高中数学第二册（上）直线的倾斜角和斜率

（1）

教学目的：

1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念

2.理解直线的倾斜角和斜率的定义

3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率

4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角

5.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题

教学重点：

直线的倾斜角和斜率概念

教学难点：

斜率概念理解与斜率公式

授课类型：

新授课

课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪

内容分析：

  本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程与方程的直线概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.

引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要.

在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口

教学过程：

一、复习引入：

在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：

1．一次函数的图象特点：

一次函数形如，它的图象是一条直线.

2．对于一给定函数，作出它的图象的方法：

由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.

3．这两点与函数式的关系：

这两点就是满足函数式的两对值.

因此，我们可以得到这样一个结论：

一般地，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对的值为坐标的点构成的.

由于函数式也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.

有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念

二、讲解新课：

1.直线方程的概念：

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线

在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率

2.直线的倾斜角与斜率：

在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.

当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示.倾斜角是的直线没有斜率

3．概念辨析：

为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题.

关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

C.平行于轴的直线的倾斜角是0或π；

D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.

E.直线斜率的范围是（－∞，＋∞）.

辨析：

上述说法中，E正确，其余均错误，原因是：

A.与x轴垂直的直线倾斜角为，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但＝－＜；C.平行于轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是，但斜率不存在，也就谈不上相等.

说明：

①当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是；③倾斜角是90°的直线没有斜率.

4.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：

（1）

作出在区间内的函数图象；由图象观察可知：

当∈，＞0，并且随着的增大，不断增大，也不断增大.

所以，当∈时，随着倾斜角的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.

（2）

作出在区间内的函数图象，由图象观察可知：

当∈，＜0，并且随着的增大，不断增大，不断减小.

所以当∈时，随着倾斜角的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.

针对以上结论，虽然有当∈，随着增大直线斜率不断增大；当∈，随着增大直线斜率不断增大.但是当∈∪时，随着的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数在区间内为单调增函数，在区间内也是单调增函数，但在∪区间内，却不具有单调性

三、讲解范例：

例1如图，直线的倾斜角＝30°，直线⊥，求、的斜率.

分析：

对于直线的斜率，可通过计算直接获得，而直线的斜率则需要先求出倾斜角，而根据平面几何知识，，然后再求即可.

解：

的斜率＝tan＝tan30°＝，

∵的倾斜角＝90°＋30°＝120°，

∴的斜率＝tan120°＝tan（180°－60°）＝－tan60°＝.

评述：

此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.

例2已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

（1）＝0°；

（2）＝60°；（3）＝90°；（４）＝

分析：

通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.

解：

（1）∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；

（2）∵tan60°＝∴倾斜角为60°的直线斜率为；

（3）∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；

（4）∵＝＝－tan＝－1，

∴倾斜角为π的直线斜率为－1.

四、课堂练习：

1.直线经过原点和点（－1,－1）,则它的倾斜角是（）

A.B.C.或D.－

2.过点P（－2,m）和Q（m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）

A.1B.4C.1或3D.1或4

3.已知A（2，3）、B（－1，4），则直线AB的斜率是.

4.已知M（a,b）、N（a,c）（b≠c）,则直线MN的倾斜角是.

5.已知O（0，0）、P（a,b）（a≠0），直线OP的斜率是.

6.已知，当时，直线的斜率=；当且时，直线的斜率为,倾斜角为.

参考答案：

1.A2.A3.－4.90°5.6.；0；0°

五、小结：

通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础

六、课后作业：

（一）课本习题7.1

1.在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：

;;

;

2.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

（1）＝30°；

（2）＝45°；（3）＝；

（４）＝；（5）＝89°；（6）＝2.

解：

（1）∵tan30°＝，∴直线斜率为；

（2）∵tan45°＝1，∴直线的斜率为1；

（3）∴tan＝－tan＝，∴直线斜率为；

（4）∵tan＝－tan＝，∴直线斜率为；

（5）∵tan89°＝57.29，∴直线的斜率为57.29.

（6）∵tan2＝－22.184，∴直线的斜率为－2.184

七、板书设计（略）