第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系.docx

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第8讲直线与圆锥曲线的位置关系

第8讲　直线与圆锥曲线的位置关系

[学生用书P166]

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定

（1）代数法：

把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.

方程ax2＋bx＋c＝0的解

l与C1的交点

a＝0

b＝0

无解（含l是双曲线的渐近线）

无公共点

b≠0

有一解（含l与抛物线的对称轴平行（重合）或与双曲线的渐近线平行）

一个交点

a≠0

Δ＞0

两个不相等的解

两个交点

Δ＝0

两个相等的解

一个交点

Δ＜0

无实数解

无交点

（2）几何法：

在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．

2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题

设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则

|AB|＝|x1－x2|

＝

＝|y1－y2|

＝.

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：

直线l与椭圆C只有一个公共点．（　　）

（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：

直线l与双曲线C只有一个公共点．（　　）

（3）直线l与抛物线C相切的充要条件是：

直线l与抛物线C只有一个公共点．（　　）

（4）如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A（x1，y1），

B（x2，y2）两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.（　　）

（5）若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）√　（5）×

直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（　　）

A．相交　　　　　　　　　B.相切

C．相离D．不确定

解析：

选A.直线y＝kx－k＋1＝k（x－1）＋1恒过定点（1，1），又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．

若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.∪

解析：

选C.双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.

过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有（　　）

A．1条B.2条

C．3条D．4条

解析：

选C.过（0，1）与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过（0，1）与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．

过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则·的值为（　　）

A．－B.－

C．－4D．无法确定

解析：

选B.设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l的方程为

y＝kx－，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，

由此得所以·＝

x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝

（k2＋1）·x1x2－k（x1＋x2）＋＝

－（k2＋1）－k·（－k）＋＝－.故选B.

过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线y2＝2x交于M、N两点，则|MN|＝________．

解析：

过A（1，0）且倾斜角为的直线方程为y＝x－1，

代入y2＝2x得x2－4x＋1＝0.设M（x1，y1），N（x2，y2），有x1＋x2＝4，x1x2＝1，

所以|MN|＝|x1－x2|＝

·＝·＝2.

答案：

2

　　　　　　直线与圆锥曲线的位置关系

[学生用书P167]

[典例引领]

已知直线l：

y＝2x＋m，椭圆C：

＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

（1）有两个不重合的公共点；

（2）有且只有一个公共点．

（3）没有公共点．

【解】　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③

方程③根的判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144.

（1）当Δ>0，即－3

（2）当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

（3）当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用

（1）判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.

（2）依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．　

[通关练习]

1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为（　　）

A．1　　　　　　　　B.1或3

C．0D．1或0

解析：

选D.由得k2x2＋（4k－8）x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意．

若k≠0，则Δ＝0，

即64－64k＝0，解得k＝1，

所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1.

2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围为（　　）

A.　　　　B.

C.D．

解析：

选D.由消去y，

得（1－k2）x2－4kx－10＝0，

因为直线与双曲线右支交于不同的两点，

所以

解得－

　　　　　　弦长问题[学生用书P167]

[典例引领]

（2018·贵阳检测）设椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点均为原点O，C1，C2的焦点均在x轴上，在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：

x

3

－2

4

y

－2

0

－4

－

（1）求C1，C2的标准方程；

（2）过C2的焦点F作斜率为k的直线l，与C2交于A，B两点，与C1交于C，D两点，若＝，求直线l的方程．

【解】　

（1）由题意知（－2，0），（，－）在椭圆上，

（3，－2），（4，－4）在抛物线上，

设C1：

＋＝1（a>b>0），

则＝1，＋＝1，

解得a＝2，b＝，

所以C1的标准方程为＋＝1.

设抛物线C2的方程为y2＝2px（p>0），

则（－4）2＝2p×4，

解得p＝2，

所以C2的标准方程为y2＝4x.

（2）由

（1）知F（1，0）是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，设l：

y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

D（x4，y4），将l：

y＝k（x－1）代入抛物线方程y2＝4x，

整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，

当k≠0时，Δ＝[－（2k2＋4）]2－4k2·k2>0恒成立，

所以x1＋x2＝，x1·x2＝1.

所以|AB|＝＝，

将l：

y＝k（x－1）代入椭圆方程＋＝1，

整理得（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0

Δ＝（－8k2）2－4（3＋4k2）（4k2－12）>0恒成立，

所以x3＋x4＝，x3·x4＝，

所以|CD|＝＝，

因为＝，

所以＝＝＋＝，

所以k2＝3，

即k＝±，

所以直线l的方程为y＝±（x－1）．

有关圆锥曲线弦长问题的求解方法

（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；

（2）涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；

（3）涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．　

[通关练习]

设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

（1）求|AB|；

（2）若直线l的斜率为1，求b的值．

解：

（1）由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.

（2）设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

A（x1，y1），B（x2，y2），

则A，B两点坐标满足方程组

化简得（1＋b2）x2＋2cx＋1－2b2＝0.

则x1＋x2＝，

x1x2＝.

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，

即＝|x2－x1|.

则＝（x1＋x2）2－4x1x2＝－＝，因为0＜b＜1.所以b＝.

　　　　　　中点弦问题（高频考点）

[学生用书P168]

中点弦问题是每年高考的重点，既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等及以上．主要命题角度有：

（1）利用中点弦确定直线或曲线方程；

（2）由中点弦解决对称问题．

[典例引领]

角度一　利用中点弦确定直线或曲线方程

（1）已知椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（　　）

A.＋＝1　　　　　　B.＋＝1

C.＋＝1D．＋＝1

（2）已知（4，2）是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．

【解析】　

（1）因为直线AB过点F（3，0）和点（1，－1），所以直线AB的方程为y＝（x－3），代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，选D.

（2）设直线l与椭圆相交于A（x1，y1），

B（x2，y2），则＋＝1，且＋＝1，

两式相减得＝－.

又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，

所以＝－，

故直线l的方程为y－2＝－（x－4），

即x＋2y－8＝0.

【答案】　

（1）D　

（2）x＋2y－8＝0

角度二　由中点弦解决对称问题

如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

【解】　由题易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x＋1）（k≠0），代入＋y2＝1，

整理得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0.

因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），则

x1＋x2＝－，x0＝（x1＋x2）＝－，

y0＝k（x0＋1）＝，

所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－（x－x0）．

令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.

因为k≠0，所以－

处理中点弦问题常用的求解方法

（1）点差法：

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

（2）根与系数的关系：

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．

（3）解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：

如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．　

[通关练习]

如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

解：

（1）由题意知m≠0，

可设直线AB的方程为y＝－x＋b.

由消去y，得

x2－x＋b2－1＝0.

因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交