99年全国高考数学理作文类.docx

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99年全国高考数学理作文类

 年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）

数学

本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。

第卷至页。

第卷至。

共分。

考试时间分钟。

第卷（选择题共分）

注意事项：

．答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（或）用铅笔涂写在答题卡上。

．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

．考试结束。

监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的积化和差公式

αβ[（αβ）（αβ）]

αβ[（αβ）（αβ）]

αβ[（αβ）（αβ）]

αβ[（αβ）（αβ）]

正棱台、圆台的侧面积公式：

台侧（'）其中'和表示圆台的上下底面的周长，表示斜高或母线长。

台体的体积公式：

其中'分别表示上下底面积，表示高。

一、选择题：

本大题共小题。

第—题每小题分，第—题每小题分，共分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，是全集，、、是的个子集，则阴影部分所表示的集合是

．（∩）∩   ．（∩）∪

．（∩）∩

       ．（∩）∪

．已知映射：

，其中，集合{，，，，，，，}，集合中的元素都是中元素在映射下的象，且对任意的∈，在中和它对应的元素是{}，则集合中元素的个数是

．   ．   ．   ．

．若函数＝（）的反函数是＝（），（），≠，则（）等于

．   ．   ．   ．

．函数（）＝（ωρ）（ω>）在区间[，]上是增函数，且（），（），则函数（）（ωρ）在[，]上

．是增函数            ．是减函数

．可以取得最大值    ．可以取得最小值

．若（）是周期为∏的奇函数，则（）可以是

．   ．   ．   ．

．在极坐标系中，曲线ρ＝（θπ）关于

．直线θπ轴对称      ．直线θπ轴对称

．点（，π）中心对称  ．极点中心对称

．若于毫升水倒人底面半径为的圆杜形器皿中，量得水面的高度为，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是

．若（

），则（）（）的值为

．   ．    ．    ．

．直线

截圆得的劣弧所对的圆心角为

．π   ．π   ．π   ．π  

．如图，在多面体中，已知面是边长为的正方形，，，与面的距离为，则该多面体的体积为

．   ．    ．    ．

．若>>（π<<π），则∈

．（ππ）    ．（π，）

．（，π）     ．（π，π）

．如果圆台的上底面半径为．下底面半径为，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为：

，那么

．   ．   ．   ．

．已知两点（，）、（，），给出下列曲线方程：

①＋②③④

在曲线上存在点满足的所有曲线方程是

．①③ ．②④   ．①②③   ．②③④

．某电脑用户计划使用不超过元的资金购买单价分别为元、元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买片，磁盘至少买盒，则不同的选购方式共有

．种   ．种   ．种   ．种

第Ⅱ卷（非选择题共分）

注意事项：

．第卷共页。

用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：

本大题共小题。

每小图分，共分把答案填在题中横线

．设椭圆＝（>>）的右焦点为，右准线为。

若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是。

．在一块并排垄的田地中，选择垄分别种植、两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求、两种作物的间隔不小于垄，则不同的选垄方法共有种（用数字作答）。

．若正数、满足＝，则的取值范围是。

．α、β是两个不同的平面，、是平面及之外的两条不同直线。

给出四个论断：

①⊥②α⊥β③⊥β④⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

。

三、解答题：

本大题共小题：

共分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

．（本小题满分分）

解不等式

．（本小题满分分）

设复数＝θ＋·θ，θ（<θ<π）求函数的最大值以及对应的θ值

．本小题满分分

如图，已知正四棱柱—，点在棱上，截面，且面与底面所成的角为°，＝

（Ⅰ）求截而的面积：

（Ⅱ）求异面直线与之间的距离。

（Ⅲ）求三棱锥—的体积

．（本小题满分分）

上图为一台冷轧机的示意图。

冷轧机由若干对轧辊组成。

带钢从一端输人，经过各对轧辊逐步减薄后输出。

（）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

（一对辊减薄率＝输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度）

输入该对的带钢厚度

 （）已知一台冷轧机共有对减薄率为的轧辊，所有轧辊周长均为。

若第对轧辊有缺

陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为。

为了便于检

修，请计算、、并填人下表（轧钢过程中，带钢宽度不变沮不考虑损耗）

（）（本小题满分分）

　　已知函数（）的图象是自原点出发的一条折线。

当≤≤（...）时，该图象是

斜率为的线段（其中正常数≠），设数列{}由（）（，，...）定义

　　（）求、和的表达式。

　　（）求（）的表达式，并写出其定义域：

　　（）证明：

（）的图象与的图象没有横坐标大于的交点。

（）（本小题满分分）

如图，给出定点（，）（〉）和直线：

，是直线上的动点，∠的角平分线交于点求点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。

年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）

数学参考答案

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现不对时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半。

如果后继部分的解答有较严重的不对，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：

本题考查基本知识和基本运算。

第（）－第（）题每小题分，第（）－（）题每小题分，满分分。

（）（〕（〕（）（）

（）（）（）（）（）

（）（）（）（） 

二、填空题：

本题考查基本知识和基本运算，每小题分，满分分

（）

（）

（）[∞]

（）⊥,⊥β,⊥β>⊥或⊥,⊥,⊥β>⊥β

三、解答题

（）本小题主要考查对数函数的性质，对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类论的思想，满分分

解：

原不等式等价于

————一一一一

由①得≥

由②得<,或>,

由③得>.

由此得≤<,或>.——一一一一分

当>时得所求的解是

{

≤<

}{>};

当<<时得所求的解集是：

{

<≤

}{<<}.——一一一一分

（）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力，满分分。

解：

由＜θ＜π得θ＞。

由θ·θ,

得＜＜π及（）θθθ.

故（θ）（θθ）（θ）

（θθ）

∵θθ≥

∴（θθ）≤

.

当且仅当θθ（<θ<π时，

即θ

时，上式取等号。

所以当θ

时，函数取最大值

。

由θ得∈（π,π）.由于在（π,π）内因正切函数是递增函数，函数也

取最大值

.分

（）本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念

思维能力、空间想象能力及运算能力。

满分分。

（）解：

如图，连结交于，连结。

∵底面是正方形

∴⊥。

又∵⊥底面，

∴⊥。

∴∠是面与底面所成二面角的平面角，－－－－分

∴∠＝°。

＝（）,（）,[（）·°].

故△（）×分

（）解：

由题设－是正四棱柱，得⊥底面，⊥。

又⊥，

∴是异面直线与间的公垂线。

－－－－分

∵∥面，且面与面交线为，

∴∥。

又是的中点，

∴是的中点，＝＝。

异面直线与间的距离为（）。

－－－－分

（）解法一：

如图，连结。

∵＝＝（），

∴是正方形。

连结交于，交于。

∵⊥。

∥，

∴⊥

又⊥，⊥，

∴⊥面

∴⊥

∴⊥面。

∴是三棱锥－的高。

－－－－分

由＝，得＝＝。

∴－＝（）·[（）]·（（）·.

所以三棱锥了－的体积是（）·.－－－－分

解法二：

连结，则－＝－。

∵⊥面，

∴是三棱锥－的高，＝（）·

在正方形中，、分别是、的中点（如右图），

则△.

∴×（×（）×[（）}（）·.

所以三棱锥－的体积是（）·.－－－－分。

（）本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力，满分分。

（）解：

厚度为的带钢经过减薄率均为的对轧辊后厚度为（）.为使出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足

（）≤β，

即（）≤β－－－－分

由于（）>,β>,对上式两端取对数，得

（）≤（β）.

由于（）<,

所以≥（β）[（）].

因此，至少需要安装不小于（β）[（）]的整数对轧辊－－－－分

（）解法一：

第对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为×（）×宽度（其中＝％），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为×（）×宽度。

因宽度相等，且无损耗，由体积相等得

·（）·（）（）,

即·.－－－－分

由此得（）,

 （）,

 ）

填表如下：

轧辊序号

疵点间距（）

－－－－分

解法二：

第对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有：

·（）,

所以（）.－－－－分

同理（）.

（）.

填表如下：

轧辊序号

疵点间距（）

－－－－分

（）本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力。

满分分。

（）解：

依题意（），又由（）,当≤≤时，，函数＝（）的图象是斜率为的线段，故由

（）（）得分

又由（）,当≤＜时，函数（）的图象是斜率为的线段，故由

（）（）即．分

记,由函数（）图象中第段线段的斜率为，故得

（）（）,

又（）（）。

∴（）,…。

由此知数列{}为等比数列，其首项为，公比为

因≠，得

（）

…（），

即（）（）.——一一分

（）解：

当≤≤，从（）可知＝,即当≤≤时，（）

当≤≤十时，即当≤≤时，由（）可知

（）（）（≤≤…）——一一分

为求函数（）的定义域，须对（）（）（…）进行讨论

当＞时,

（）（）（）

当＜＜时，→∞，也趋向于无穷大。

综上，当>时，（）的定义域为[（））;

当＜＜时，＝（）的定义域为[∞]——一一分

（）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。

满分分。

解法一：

依题意，记（－，）（∈），则直线和的方程分别为＝和＝－，设点（），则有≤<,由平分∠，知点到、距离相等，根据点到直线的距离公式得

①－－－－分

依题设，点在直线上，故有

[（）]（）.－－－－分

由≠，得（）（）.②

将②式代入①式得

[（）（）][（）],

整理得

[（）（）].－－－－分

若≠，则（）（）（<<）;

若,则,∠＝π，点的坐标为（，），满足上式，

综上得点的轨迹方程为

（）（）（≠<）,－－－－分

∵≠,

∴[（）][（）][（）]

（≤<）.③－－－－分

由此知，当〔」「工时，方程③表示椭圆孤段。

当>时，方程③表示双曲线一支的弧段。

－－－－分

解法二：

如图，设是与轴的交点，过点作⊥轴，是垂足。

（）当≠时，设点（），则<<≠.

由∥得·（）.－－－－分

∵∠∠∠∠π∠∠,

∴∠π∠，

∵（）∠（∠）,（π∠）∠,

∠,∠∠（）.

∴[·][（）][（）]（）,

整理得（）（）（<<）.

（）当时，∠＝π，则点的坐标为（，），满足上式。

综合（）（），得点的轨迹方程为

（）（）（≤<）－－－－分以下同解法一。