山东春季高考数学试题及详解答案.docx
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山东春季高考数学试题及详解答案
山东省2015年普通高校招生(春季)考试
数学试题
注意事项:
1•本试卷分第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分.满分
120分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交
回.
2•本次考试允许使用函数型计算器,凡使用计算器的题目,最后结
果精确到0.01.
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题20个小题,每小题3分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项字母选出,填涂在答题卡上)
1.
若集合A={1,2,3},B={1,3},贝UAAB等于()
2.
1
3.函数y=x+1+一的定义域为()
4.
X
4•“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
5.在等比数列{an}中,a2=1,a4=3,则a6等于()
6•如图所示,M是线段0B的中点,设向量"Oa=^a,OB=^b,则ElM可以表示为()
t1""1"
(A)a+2b(B)—a+2b
"1""1"
(C)a—2b(D)—a—-b
7•终边在y轴的正半轴上的角的集合是()
TTTT
(A){x|x=2+2k二,k.Z}(B){x|x=2+
(C){x|x=—2+2k二,k三Z}(D){x|x=—亍+k二,kwZ}
&关于函数y=—x2+2x,下列叙述错误的是()
(A)函数的最大值是1(B)函数图象的对称轴是直线x=1
(C)函数的单调递减区间是[—1,+^)(D)函数图象过点(2,0)
2名同学
9•某值日小组共有5名同学,若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生,其余
负责教室外的走廊卫生,则不同的安排方法种数是(
12.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2,则f(—1)的值是()
13.已知点P(m,
—2)在函数y=log]x的图象上,点
3
A的坐标是(4,3),贝,AP
的值是()
(A)■10
(B)2,10(C)62
(D)5.2
14.关于x,y的方程x2+my2=1,给出下列命题:
①当mv0时,方程表示双曲线;②当m=0时,方程表示抛物线;③当Ovmv1时,方程
表示椭圆;④当m=1时,方程表示等轴双曲线;⑤当m>1时,方程表示椭圆。
其中,真命题的个数是()
(A)2(B)3(C)4(D)5
15.(1-x)5的二项展开式中,所有项的二项式系数之和是()
(A)0(B)—1(C)—32(D)32
x—y+1v0
16.不等式组’丄表示的区域(阴影部分)是(
$+y—3卩0
17.
)
甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览,约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选
一处,则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是(
(A)9
1
(C)
4
19.已知:
-,[表示平面,m,n表示直线,下列命题中正确的是()
(A)若ml,,m_n,贝Un〃.工(B)若m二:
;,n:
:
•//:
贝Um//n
(C)若'./r,m二£,贝Um/r(D)若m二丄,n二£,m//-,n/厂,贝U:
■//'■
22
20.已知F1是双曲线x^—y^=1(a>0,b>0)的左焦点,点P在双曲线上,直线PF1与x
ab
轴垂直,且丨PF1|=a,则双曲线的离心率是()
(A)2(B)3(C)2(D)3
第□卷(非选择题,共60分)
二、填空题(本大题共5个题,每小题4分,共20分,请将答案填在答题卡上相应题号的横线上)
21.直棱柱的底面是边长为a的菱形,侧棱长为h,则直棱柱的侧面积是.
22.在△ABC中,/A=105”,/C=45:
AB=2^2,BC等于.
23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查,拟采用系统抽样方法,为此将他们逐一编号为1〜500,并对编号进行分段,若从第一个号码段中随机抽出的号码是2,则从第五个
号码段中抽出的号码应是.
24.已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点与圆X+my?
—6m—7=0的圆心重合,长轴长等
于圆的直径,则短轴长等于.
25.集合M,N,S都是非空集合,现规定如下运算:
monos={x|x(Mnn)u(NnS)u(snM),且xmnNns}.
若集合A={x|avxvb},B={x|cvxvd},C={x|evxvf},其中实数a,b,c,d,e,f满足:
(1)abv0,cdv0;efv0;
(2)b—a=d—c=f—e;(3)b+avd+cvf+e.计算AOBOC=.
三、解答题(本大题共5个小题,共40分,请在答题卡相应的题号处写出解答过程)
26.(本小题6分)某学校合唱团参加演出,需要把120名演员排成5排,并且从第二排起,每排比前一排多3名,求第一排应安排多少名演员。
28.(本小题8分)已知函数f(x)=ax(a>0且1)在区间[—2,4]上的最大值是16,
(1)求实数a的值;
(2)若函数g(x)=log2(x2—3x+2a)的定义域是R,求满足不等式log2(1—2t)w1的实数t
的取值范围.
29.(本小题9分)如图所示,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是正方形,平面SAD丄平面ABCD,SA=SD=2,AB=3.
(1)求SA与BC所成角的余弦值;
(2)求证:
AB丄SD.
C
30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点0,焦点F在x轴的正半轴上,Q是抛物
3
线上的点,点Q到焦点F的距离为1,且到y轴的距离是3
8
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若直线I经过点M(3,1),与抛物线相交于A,B两点,且0A丄0B,求直线I的方
程.
答案
1.【考查内容】集合的交集
【答案】B
2.【考查内容】绝对值不等式的解法
【答案】B
【解析】x—1瓷5二一53.【考查内容】函数的定义域
【答案】A
【解析】x+1…0且x^O得该函数的定义域是{xx…-1且XH。
}.
(2,0)在函数图象上.
9.【考查内容】组合数的应用
【答案】A
剩下2名同学干的活就定了)
10【考查内容】直线的倾斜角,直线的点斜式方程
【答案】D
由直线的点斜式方程可得I:
y-0=—3(x-1),即x-・3y-1=0.
3
11.【考查内容】逻辑联结词
【答案】C
【解析】由pq是假命题可知p,q至少有一个假命题,由pq是真命题可知p,q至少有一个真命题,•••p,q一个是真命题一个是假命题
12.【考查内容】奇函数的性质
【答案】A
【解析】f(_1)=_f⑴=_(122)=,
13.【考查内容】对数的运算,向量的坐标运算,向量的模
【答案】D
1
【解析】•••点P(m,2)在函数y=logix的图象上,•logim=「2,m=(-严=9,•P点坐标为
333
(9,-2),AP=(5,勺=5.2.
14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,等轴双曲线的概念
【答案】B
【解析】当m:
:
:
0时,方程表示双曲线;当m=0时,方程表示两条垂直于x轴的直线;当0:
:
:
m:
:
:
1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆;当m=1时,方程表示圆;当m1时,方程表示焦点在x轴上的椭圆•①③⑤正确.
15.【考查内容】二项式定理
【答案】D
【解析】所有项的二项式系数之和为C:
C;c5c5CsC^32
16【考查内容】不等式组表示的区域
【答案】C
【解析】可以用特殊点(0,0)进行验证:
0_0・10,0•0_3:
:
:
0,非严格不等式的边界用虚线表示,.••该不等式组表示的区域如C选项中所示.
17.【考查内容】古典概率
【答案】D
【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为22=4,其中甲、乙两位同学恰好选取同
21
一处景点的种数为2,故所求概率为-=-
42
18.【考查内容】余弦函数的两角差公式,向量的内积的坐标运算
【答案】A
1
【解析】aLb=sincoscossinsin
1212121262
19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系
【答案】C
【解析】A.若m_:
-,m_n,则nP:
•或n在:
•内;B.若m二:
二,n-!
、,】P:
,则mPn或m与n异面;D.若m二:
二,n二:
z,mP:
nP:
,且m、n相交才能判定_:
:
P:
;根据
两平面平行的性质可知
C正确.
20.【考查内容】双曲线的简单几何性质
【答案】A
222
【解析】R的坐标为(_c,0),设P点坐标为(-c,y°),匕甲y°=1,解得y^—,由FF1=a
aba
b2
可得匕=a,则a=b,该双曲线为等轴双曲线,离心率为J2.
a
21.【考查内容】直棱柱的侧面积
【答案】4ah
22.【考查内容】正弦定理
【答案】,2+6
23.【考查内容】系统抽样
【答案】42
10,第一个号码是2,
【解析】从500名学生中抽取50名,则每两相邻号码之间的间隔是则第五个号码段中抽取的号码应是2V10=42
24.【考查内容】椭圆的简单几何性质
【答案】27
【解析】圆x2•y2-6x-7=0的圆心为(3,0),半径为4,则椭圆的长轴长为8,即^3a4,
b=..a2-c2=•7,则短轴长为2.7
25.【考查内容】不等式的基本性质,集合的交集和并集
【答案】!
xc:
:
:
x剟e或bx:
:
:
d?
【解析】tab:
:
:
cd,二acdb;tabcd,二a-c=b-d;二b-dd-b,b:
:
d;
同理可得d:
:
:
f,二b:
:
:
d:
:
f•由①③可得a:
:
:
c:
:
:
e:
:
:
0:
:
:
b:
:
d:
:
f.则APIB-\xc:
:
x:
:
:
bf,
bP1C-\xe:
:
:
x:
:
:
d,CHA-\xe:
:
:
x:
:
:
bf.AIBHC-\xc:
:
:
x剟e或bx:
:
:
d;.
26.【考查内容】等差数列的实际应用
【解】由题意知各排人数构成等差数列faj,设第一排人数是q,则公差d=3,前5项和
n(n—1)5汉4
S5=120,因为Sn=na!
d,所以120=5a^—3,解得=18.
答:
第一排应安排18名演员
27.【考查内容】正弦型函数的图象和性质
..2tt
【解】
(1)函数的最小正周期T=^=tl,因为函数的图象过点(0,1),所以2sin®=1,即
1IT-TT
sin=一,又因为0,所以
226
⑵因为函数y=sinx的单调递增区间是[•2k:
:
•2kJk•Z.
所以2k二剟2x'2k二,解得k二剟k二,
26236
所以函数的单调递增区间是[k~k二],Z
36
28.【考查内容】指数函数的单调性
【解】
(1)当0:
:
:
a:
:
:
1时,函数f(x)在区间[24]上是减函数,
所以当x=_2时,函数f(x)取得最大值16,即a-=16,所以a
4
当a1时,函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,
所以当x=:
4时,函数f(x)取得最大值16,即a4=16,所以a=2.
(2)因为g(x)=丨o2g彳一x+a的)定义域是R,即x2-3x+2a=0恒成立.所以方程
91
x-3x・2a=0的判别式.■:
:
:
:
0,即(-3)-42a:
:
0,解得a-,又因为a=—或a=2,所以
84
11
a=2.代入不等式得Iog2(1-2t),1,即0:
:
:
1-2t,2,解得--,t:
:
:
-,所以实数t的取值范
11
围是[工于.
29.【考查内容】异面直线所成的角,直线与平面垂直的判定和性质
【解】
(1)因为ADPBC,所以.SAD即为SA与BC所成的角,在△SAD中,SA二SD=2,
3
与BC所成角的余弦值是3.
4
⑵因为平面SAD_平面ABCD,平面SAD"平面ABCD=AD,在正方形ABCD中,AB_AD,所以AB_平面SAD又因为SD二平面SAD,所以AB_SD.
30.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系
【解】
(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px,因为点Q到焦点F的距离是1,
所以点Q到准线的距离是1,又因为点Q到y轴的距离是3,所以卫=1一3,解得p=-,
8284
所以抛物线方程是y2=5x.
2
(2)假设直线l的斜率不存在,则直线I的方程为x=3,与y^|x联立,可解得交点A、
/30J303
B的坐标分别为(3,),(3,-),易得OA_OB,可知直线OA与直线OB不垂直,不
222
满足题意,故假设不成立,从而,直线I的斜率存在.
设直线I的斜率为k,
则方程为y-1二k(x-3),整理得y=kx-3k,1,
y=kx-3k1①
设A(&yJ,B(X2,y2),联立直线I与抛物线的方程得25令,
yx②
于是
L2
消去y,并整理得k2x2-(6k2-2k)
ix9k2-6k1=0
k2
由①式变形得X=y3k〜1,代入②式并整理得2ky2_5y_15k・5=0,
k
15k+5
于是yly^-,又因为OA_OB,所以OAOB=0,艮卩x^%%y^0,
2k-
2
9k—6k1
口=0,解得k」或k=2.
2k3
1i
当k=-时,直线I的方程是y=-x,不满足OAIOB,舍去.
33
当k=2时,直线I的方程是y_1=2(x_3),即2x_y50,所以直线I的方程是2x_y_5=0.