山东春季高考数学试题及详解答案.docx
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山东春季高考数学试题及详解答案
山东省2015年普通高校招生（春季）考试
数学试题
注意事项：
1•本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.满分
120分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交
回.
2•本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结
果精确到0.01.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）
1.
若集合A=｛1，2，3｝，B=｛1，3｝，贝UAAB等于（）
2.
1
3.函数y=x+1+一的定义域为（）
4.
X
4•“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
5.在等比数列｛an｝中，a2=1，a4=3，则a6等于（）
6•如图所示，M是线段0B的中点，设向量"Oa=^a,OB=^b，则ElM可以表示为（）
t1""1"
（A）a+2b（B）—a+2b
"1""1"
（C）a—2b（D）—a—-b
7•终边在y轴的正半轴上的角的集合是（）
TTTT
（A）{x|x=2+2k二，k.Z}（B）{x|x=2+
（C）{x|x=—2+2k二，k三Z}（D）{x|x=—亍+k二，kwZ}
&关于函数y=—x2+2x,下列叙述错误的是（）
（A）函数的最大值是1（B）函数图象的对称轴是直线x=1
（C）函数的单调递减区间是[—1,+^）（D）函数图象过点（2,0）
2名同学
9•某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余
负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（
12.已知函数f（x）是奇函数，当x>0时，f（x）=x2+2，则f（—1）的值是（）
13.已知点P（m,
—2）在函数y=log]x的图象上，点
3
A的坐标是（4,3）,贝,AP
的值是（）
（A）■10
（B）2,10（C）62
（D）5.2
14.关于x,y的方程x2+my2=1，给出下列命题：
①当mv0时，方程表示双曲线；②当m=0时，方程表示抛物线；③当Ovmv1时，方程
表示椭圆；④当m=1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m>1时，方程表示椭圆。
其中，真命题的个数是（）
（A）2（B）3（C）4（D）5
15.（1-x）5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）
（A）0（B）—1（C）—32（D）32
x—y+1v0
16.不等式组’丄表示的区域（阴影部分）是（
$+y—3卩0
17.
）
甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选
一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（
（A）9
1
（C）
4
19.已知:
-,［表示平面，m,n表示直线，下列命题中正确的是（）
（A）若ml，,m_n,贝Un〃.工（B）若m二:
；,n:
：
•//：
贝Um//n
（C）若'./r,m二£,贝Um/r（D）若m二丄,n二£,m//-,n/厂，贝U：
■//'■
22
20.已知F1是双曲线x^—y^=1（a>0,b>0）的左焦点，点P在双曲线上，直线PF1与x
ab
轴垂直，且丨PF1|=a,则双曲线的离心率是（）
（A）2（B）3（C）2（D）3
第□卷（非选择题，共60分）
二、填空题（本大题共5个题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡上相应题号的横线上）
21.直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是.
22.在△ABC中，/A=105”，/C=45:
AB=2^2，BC等于.
23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1〜500,并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2,则从第五个
号码段中抽出的号码应是.
24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆X+my?
—6m—7=0的圆心重合，长轴长等
于圆的直径，则短轴长等于.
25.集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：
monos={x|x（Mnn）u（NnS）u（snM），且xmnNns}.
若集合A={x|avxvb}，B={x|cvxvd}，C={x|evxvf}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：
（1）abv0，cdv0；efv0；
（2）b—a=d—c=f—e;（3）b+avd+cvf+e.计算AOBOC=.
三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出解答过程）
26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排,并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员。
28.（本小题8分）已知函数f（x）=ax（a>0且1）在区间［—2,4］上的最大值是16,
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）=log2（x2—3x+2a）的定义域是R，求满足不等式log2（1—2t）w1的实数t
的取值范围.
29.（本小题9分）如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD丄平面ABCD,SA=SD=2,AB=3.
（1）求SA与BC所成角的余弦值；
（2）求证：
AB丄SD.
C
30.（本小题9分）已知抛物线的顶点是坐标原点0,焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物
3
线上的点，点Q到焦点F的距离为1,且到y轴的距离是3
8
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线I经过点M（3,1）,与抛物线相交于A,B两点，且0A丄0B，求直线I的方
程.
答案
1.【考查内容】集合的交集
【答案】B
2.【考查内容】绝对值不等式的解法
【答案】B
【解析】x—1瓷5二一53.【考查内容】函数的定义域
【答案】A
【解析】x+1…0且x^O得该函数的定义域是｛xx…-1且XH。
｝.
（2,0）在函数图象上.
9.【考查内容】组合数的应用
【答案】A
剩下2名同学干的活就定了）
10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程
【答案】D
由直线的点斜式方程可得I:
y-0=—3（x-1），即x-・3y-1=0.
3
11.【考查内容】逻辑联结词
【答案】C
【解析】由pq是假命题可知p,q至少有一个假命题，由pq是真命题可知p,q至少有一个真命题，•••p,q一个是真命题一个是假命题
12.【考查内容】奇函数的性质
【答案】A
【解析】f（_1）=_f⑴=_（122）=,
13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模
【答案】D
1
【解析】•••点P（m,2）在函数y=logix的图象上，•logim=「2,m=（-严=9,•P点坐标为
333
（9,-2）,AP=（5,勺=5.2.
14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念
【答案】B
【解析】当m：
：
:
0时，方程表示双曲线；当m=0时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当0:
:
:
m：
：
：
1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当m=1时，方程表示圆；当m1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆•①③⑤正确.
15.【考查内容】二项式定理
【答案】D
【解析】所有项的二项式系数之和为C：
C；c5c5CsC^32
16【考查内容】不等式组表示的区域
【答案】C
【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：
0_0・10,0•0_3:
:
：
0，非严格不等式的边界用虚线表示，.••该不等式组表示的区域如C选项中所示.
17.【考查内容】古典概率
【答案】D
【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为22=4，其中甲、乙两位同学恰好选取同
21
一处景点的种数为2,故所求概率为-=-
42
18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算
【答案】A
1
【解析】aLb=sincoscossinsin
1212121262
19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系
【答案】C
【解析】A.若m_:
-,m_n，则nP:
•或n在：
•内；B.若m二:
二，n-！
、，】P:
，则mPn或m与n异面；D.若m二:
二，n二:
z,mP:
nP:
，且m、n相交才能判定_：
:
P:
;根据
两平面平行的性质可知
C正确.
20.【考查内容】双曲线的简单几何性质
【答案】A
222
【解析】R的坐标为（_c,0）,设P点坐标为（-c,y°）,匕甲y°=1，解得y^—，由FF1=a
aba
b2
可得匕=a，则a=b，该双曲线为等轴双曲线，离心率为J2.
a
21.【考查内容】直棱柱的侧面积
【答案】4ah
22.【考查内容】正弦定理
【答案】,2+6
23.【考查内容】系统抽样
【答案】42
10，第一个号码是2,
【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是则第五个号码段中抽取的号码应是2V10=42
24.【考查内容】椭圆的简单几何性质
【答案】27
【解析】圆x2•y2-6x-7=0的圆心为（3,0），半径为4,则椭圆的长轴长为8,即^3a4，
b=..a2-c2=•7，则短轴长为2.7
25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集
【答案】!
xc:
:
:
x剟e或bx：
：
:
d?
【解析】tab:
:
:
cd，二acdb;tabcd，二a-c=b-d;二b-dd-b,b：
：
d;
同理可得d：
：
：
f，二b：
：
：
d：
：
f•由①③可得a:
:
:
c：
：
：
e：
：
：
0:
:
:
b：
：
d：
：
f.则APIB-\xc：
：
x：
：
：
bf,
bP1C-\xe:
:
:
x:
:
:
d,CHA-\xe:
:
:
x:
:
:
bf.AIBHC-\xc：
：
：
x剟e或bx：
：
：
d；.
26.【考查内容】等差数列的实际应用
【解】由题意知各排人数构成等差数列faj，设第一排人数是q，则公差d=3，前5项和
n（n—1）5汉4
S5=120,因为Sn=na!
d，所以120=5a^—3，解得=18.
答：
第一排应安排18名演员
27.【考查内容】正弦型函数的图象和性质
..2tt
【解】
（1）函数的最小正周期T=^=tl,因为函数的图象过点（0,1）,所以2sin®=1，即
1IT-TT
sin=一，又因为0，所以
226
⑵因为函数y=sinx的单调递增区间是［•2k：
：
•2kJk•Z.
所以2k二剟2x'2k二，解得k二剟k二，
26236
所以函数的单调递增区间是［k~k二］,Z
36
28.【考查内容】指数函数的单调性
【解】
（1）当0：
：
：
a：
：
：
1时，函数f（x）在区间［24］上是减函数，
所以当x=_2时，函数f（x）取得最大值16,即a-=16，所以a
4
当a1时，函数f（x）在区间［2,4］上是增函数，
所以当x=：
4时，函数f（x）取得最大值16，即a4=16，所以a=2.
（2）因为g（x）=丨o2g彳一x+a的）定义域是R,即x2-3x+2a=0恒成立.所以方程
91
x-3x・2a=0的判别式.■:
：
：
：
0，即（-3）-42a：
：
0，解得a-，又因为a=—或a=2，所以
84
11
a=2.代入不等式得Iog2（1-2t）,1，即0：
：
：
1-2t,2，解得--,t:
:
:
-，所以实数t的取值范
11
围是［工于.
29.【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
【解】
（1）因为ADPBC,所以.SAD即为SA与BC所成的角，在△SAD中，SA二SD=2，
3
与BC所成角的余弦值是3.
4
⑵因为平面SAD_平面ABCD，平面SAD"平面ABCD=AD,在正方形ABCD中，AB_AD,所以AB_平面SAD又因为SD二平面SAD,所以AB_SD.
30.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系
【解】
（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px，因为点Q到焦点F的距离是1，
所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是3，所以卫=1一3，解得p=-，
8284
所以抛物线方程是y2=5x.
2
（2）假设直线l的斜率不存在，则直线I的方程为x=3，与y^|x联立，可解得交点A、
/30J303
B的坐标分别为（3,）,（3，-），易得OA_OB，可知直线OA与直线OB不垂直，不
222
满足题意，故假设不成立，从而，直线I的斜率存在.
设直线I的斜率为k，
则方程为y-1二k（x-3），整理得y=kx-3k，1，
y=kx-3k1①
设A（&yJ,B（X2,y2）,联立直线I与抛物线的方程得25令,
yx②
于是
L2
消去y，并整理得k2x2-（6k2-2k）
ix9k2-6k1=0
k2
由①式变形得X=y3k〜1，代入②式并整理得2ky2_5y_15k・5=0,
k
15k+5
于是yly^-，又因为OA_OB，所以OAOB=0,艮卩x^%%y^0,
2k-
2
9k—6k1
口=0,解得k」或k=2.
2k3
1i
当k=-时，直线I的方程是y=-x，不满足OAIOB，舍去.
33
当k=2时，直线I的方程是y_1=2（x_3），即2x_y50，所以直线I的方程是2x_y_5=0.
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