山东春季高考数学试题及详解答案.docx

1、山东春季高考数学试题及详解答案山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1 本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.2 本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.第I卷（选择题，共60 分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选 项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出， 填涂在答题 卡上）1.若集合 A= 1，2，3，B= 1，3，贝U A AB 等于（ ）2. 13.函数y= x+1 +一的定义域为（ ）4.

2、X4“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（A）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5.在等比数列an中，a2= 1，a4= 3，则a6等于（ ）6如图所示，M是线段0B的中点，设向量Oa =a , OB =b，则ElM可以表示为( )t 1 1(A) a + 2 b (B) a + 2 b 1 1(C) a 2 b (D) a - b7终边在y轴的正半轴上的角的集合是( )TT TT(A) x|x= 2 + 2k二，k. Z (B) x|x= 2+(C) x|x= 2 + 2k二，k三Z (D) x|x= 亍 + k二，kwZ &关

3、于函数y= x2+2x,下列叙述错误的是( )(A )函数的最大值是 1 (B)函数图象的对称轴是直线 x=1(C)函数的单调递减区间是 1 ,+ ) ( D)函数图象过点(2, 0)2名同学9 某值日小组共有 5名同学，若任意安排 3名同学负责教室内的地面卫生，其余负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是(12.已知函数f (x)是奇函数，当x0时，f (x)= x2 + 2，则f ( 1)的值是( )13.已知点P (m,2)在函数y= log x的图象上，点3A的坐标是(4, 3),贝,AP的值是( )(A) 10(B) 2 ,10 (C) 6 2(D) 5.214.关于x,y的方程

4、x2+m y2= 1，给出下列命题：当m v 0时，方程表示双曲线；当 m = 0时，方程表示抛物线；当 Ov mv 1时，方程表示椭圆；当 m= 1时，方程表示等轴双曲线；当 m 1时，方程表示椭圆。其中，真命题的个数是( )(A ) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 515.(1 - x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是( )(A ) 0 (B) 1 ( C) 32 ( D) 32x y+1 v 016.不等式组丄表示的区域(阴影部分)是($+ y 3 卩 017.)甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处

5、景点的概率是(A)91(C)419. 已知:-,表示平面， m, n表示直线，下列命题中正确的是( )(A)若 ml，, m_n,贝U n .工 (B)若 m二:；,n :, ：/：,贝U m/n(C)若./r , m二,贝U m/r ( D)若 m二丄 ,n二, m/ -, n/厂，贝U ：/2 220. 已知F1是双曲线x y= 1 (a 0, b0)的左焦点，点 P在双曲线上，直线 P F1与xa b轴垂直，且丨P F1 | = a,则双曲线的离心率是( )(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 3第卷(非选择题，共60分)二、 填空题(本大题共5个题，每小题4分，共20分，请将答案

6、填在答题卡上 相应题号的横线上)21.直棱柱的底面是边长为 a的菱形，侧棱长为 h，则直棱柱的侧面积是 .22.在 ABC 中，/ A= 105 ”，/ C = 45: AB = 22， BC 等于 .23. 计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一 编号为1500,并对编号进行分段， 若从第一个号码段中随机抽出的号码是 2,则从第五个号码段中抽出的号码应是 .24. 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆 X+m y? 6 m 7=0的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 .25.集合M，N，S都 是非空集合，现规定如下运算：monos= x|x (

7、M nn)u (Nn S)u(snM)，且 x m n Nns .若集合 A= x|avxv b，B = x|cv xv d ，C= x|ev xv f，其中实数 a，b，c，d，e，f 满 足：(1) abv 0， cdv 0 ； efv 0； (2) b a= d c= fe; ( 3) b + av d+ cvf + e. 计算 AO BO C= .三、 解答题(本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出解答过程)26.(本小题6分)某学校合唱团参加演出，需要把 120名演员排成5 排,并且从第二排起， 每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员。28.(本小题8分)已知函

8、数f (x) = ax(a 0且1)在区间2, 4上的最大值是16,(1)求实数a的值；(2) 若函数g (x) = log 2(x2 3x + 2a)的定义域是 R，求满足不等式log 2(1 2t)w 1的实数t的取值范围.29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥 S ABCD中，底面ABCD是正方形，平面 SAD丄 平面 ABCD , SA= SD= 2, AB= 3.(1 )求SA与BC所成角的余弦值；(2)求证：AB丄SD.C30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点 0,焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物3线上的点，点Q到焦点F的距离为1,且到y轴的距离是38(1 )求抛物线的标准

9、方程；(2)若直线I经过点M ( 3, 1),与抛物线相交于 A, B两点，且0A丄0B，求直线I的方程.答案1.【考查内容】集合的交集【答案】B2.【考查内容】绝对值不等式的解法【答案】B【解析】x1 瓷5二一5x1v5n -4xc6.3.【考查内容】函数的定义域【答案】A【解析】x +10且xO得该函数的定义域是x x-1且XH。.(2,0)在函数图象上.9.【考查内容】组合数的应用【答案】A剩下2名同学干的活就定了)10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程【答案】D由直线的点斜式方程可得 I: y-0=3(x-1)，即x-3y-1=0.311.【考查内容】逻辑联结词【答案】C【解析

10、】由p q是假命题可知p,q至少有一个假命题，由 p q是真命题可知p,q至少有一 个真命题， p,q 一个是真命题一个是假命题12.【考查内容】奇函数的性质【答案】A【解析】f (_1) = _f =_(12 2)=,13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模【答案】D1【解析】点P(m, 2)在函数y=logix的图象上， logi m =2,m =(-严=9 , P点坐标为3 3 3(9, -2) , AP =(5,勺 = 5.2 .14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念【答案】B【解析】当m ：:0时，方程表示双曲线；当 m=0时，方程表示两条垂

11、直于 x轴的直线；当 0 :m ：1时，方程表示焦点在 y轴上的椭圆；当 m=1时，方程表示圆；当 m 1时，方程表 示焦点在x轴上的椭圆正确.15.【考查内容】二项式定理【答案】D【解析】所有项的二项式系数之和为 C： C； c5 c5 Cs C3216【考查内容】不等式组表示的区域【答案】C【解析】可以用特殊点(0,0)进行验证：0 _01 0 , 0 0 _3 :： 0，非严格不等式的边界用 虚线表示，.该不等式组表示的区域如 C选项中所示.17.【考查内容】古典概率【答案】D【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为 2 2=4，其中甲、乙两位同学恰好选取同2 1一处景点的种数为 2,

12、故所求概率为-=-4 218.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算【答案】A1【解析】aLb =s in cos cos sin sin12 12 12 12 6 219.【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】C【解析】A.若 m _ :- , m _ n，则 n P :或 n 在：内；B.若 m 二:二，n - ！、，】P :，则 m P n 或m与n异面；D.若m二:二，n二:z , m P :, nP :，且m、n相交才能判定_：: P :;根据两平面平行的性质可知C正确.20.【考查内容】双曲线的简单几何性质【答案】A2 2 2【解析】R的坐标为(_c,0),设

13、P点坐标为(-c, y),匕甲 y =1，解得y，由FF 1 =aa b ab2可得 匕=a，则a =b，该双曲线为等轴双曲线，离心率为 J2 .a21.【考查内容】直棱柱的侧面积【答案】4ah22.【考查内容】正弦定理【答案】,2+ 623.【考查内容】系统抽样【答案】4210，第一个号码是2,【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是 则第五个号码段中抽取的号码应是 2 V 10 =4224.【考查内容】椭圆的简单几何性质【答案】27【解析】圆x2 y2 -6x -7 =0的圆心为(3,0)，半径为4,则椭圆的长轴长为 8,即 3 a 4，b = .a2 -c2 = 7

14、，则短轴长为 2.725.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集【答案】!xc : x剟e或 b x：:d?【解析】t a b : c d，二 a c d b ; t a b c d ，二 a -c =b -d ;二 b -d d -b , b ： d ;同理可得 d ： f，二 b ： d ： f 由可得 a : c ： e ： 0 : b ： d ： f .则 API B - x c ： x ： bf ,bP1C - x e :x :d , C HA - xe :x :bf. AIBHC - x c ：x剟e或b x ： d ；.26.【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各

15、排人数构成等差数列 faj，设第一排人数是q，则公差d =3，前5项和n(n1) 5汉4S5 =120,因为 Sn = na! d，所以 120 =5a 3，解得 =18.答：第一排应安排18名演员27.【考查内容】正弦型函数的图象和性质. 2 tt【解】(1)函数的最小正周期 T =tl,因为函数的图象过点(0,1),所以2sin=1，即1IT -TTsin =一，又因为0 ，所以22 6因为函数y=si nx的单调递增区间是 2k： ： 2kJ k Z .所以 2k二剟2x 2k二，解得 k二剟k二，2 6 2 3 6所以函数的单调递增区间是 k k二,Z3 628.【考查内容】指数函数的

16、单调性【解】(1)当0：a：1时，函数f(x)在区间24上是减函数，所以当x=_2时，函数f(x)取得最大值16,即a- =16，所以a4当a 1时，函数f(x)在区间2,4上是增函数，所以当x=：4时，函数f(x)取得最大值16，即a4 =16，所以a =2.(2 )因为g( x)=丨o2g彳一 x+ a的)定义域是R,即x2 -3x +2a =0恒成立.所以方程9 1x -3x2a=0的判别式.: ：0，即 (-3) -4 2 a：0 ，解得a -，又因为a =或a =2，所以8 41 1a =2 .代入不等式得Iog2(1 -2t), 1，即0 ：1 -2t, 2，解得-,t :-，所以

17、实数t的取值范1 1围是工于.29.【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】(1)因为ADPBC,所以.SAD即为SA与BC所成的角，在 SAD中，SA二SD = 2，3与BC所成角的余弦值是3.4因为平面SAD_平面ABCD，平面SAD平面ABCD =AD ,在正方形 ABCD中，AB _ AD , 所以AB _平面SAD又因为SD二平面SAD,所以AB _SD.30.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系【解】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y2 =2px，因为点Q到焦点F的距离是1，所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是3

18、，所以卫=1一3，解得p=-，8 2 8 4所以抛物线方程是 y2 =5x.2(2)假设直线l的斜率不存在，则直线I的方程为x =3，与y|x联立，可解得交点 A、/30 J30 3B的坐标分别为(3, ),(3，- )，易得OA_OB ，可知直线 OA与直线OB不垂直，不2 2 2满足题意，故假设不成立，从而，直线 I的斜率存在.设直线I的斜率为k，则方程为y-1二k(x-3)，整理得y=kx-3k，1，y =kx -3k 1 设A(&yJ,B(X2,y2),联立直线I与抛物线的方程得 2 5令 ,y x于是L 2消去y，并整理得k2x2 -(6k2 -2k )ix 9k2 -6k 1 =0k2由式变形得X = y 3k1，代入式并整理得 2ky2 _5y _15k5 = 0 ,k15k +5于是 yly- ，又因为 OA _OB，所以 OAOB =0 ,艮卩 x% % y0 ,2k -29k 6k 1口 =0 ,解得k或k =2.2k 31 i当k =-时，直线I的方程是y =-x，不满足OA I OB，舍去.3 3当k =2时，直线I的方程是y_1=2(x_3)，即2x_y5 0，所以直线I的方程是2x_y_5=0.