版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系233234 Word版含答案.docx

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版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系233234Word版含答案

　直线与平面垂直的性质

平面与平面垂直的性质

学习目标.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系．

知识点一直线与平面垂直的性质定理

思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？

答案平行．

梳理

文字语言

垂直于同一个平面的两条直线平行

符号语言

⇒∥

图形语言

知识点二平面与平面垂直的性质定理

思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．

梳理

文字语言

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

符号语言

α⊥β，α∩β＝，⊂α，⊥⇒⊥β

图形语言

类型一直线与平面垂直的性质定理

例如图所示，正方体－中，与异面直线，都垂直相交．求证：

∥.

证明如图，连接，，，.

∵⊥平面，⊂平面，

∴⊥.

又⊥，∩＝，

∴⊥平面，

∴⊥.

同理，⊥，∴⊥平面.

∵⊥，且∥，∴⊥.

又∵⊥，

∴⊥平面，∴∥.

反思与感悟证明线线平行的常用方法

（）利用线线平行定义：

证共面且无公共点．

（）利用三线平行公理：

证两线同时平行于第三条直线．

（）利用线面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证线面平行．

（）利用线面垂直的性质定理：

把证线线平行转化为证线面垂直.

（）利用面面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证面面平行．

跟踪训练如图，α∩β＝，⊥α，⊥β，垂足分别为、，⊂α，⊥.求证：

∥.

证明∵⊥α，⊂α，∴⊥.

同理⊥.

∵∩＝，∴⊥平面.

又∵⊥α，⊂α，∴⊥.

∵⊥，∩＝，∴⊥平面.

∴∥.

类型二平面与平面垂直的性质定理及应用

例如图，在三棱锥－中，⊥平面，平面⊥平面.

求证：

⊥.

证明如图，在平面内，

作⊥于.

∵平面⊥平面，

且平面∩平面＝.

∴⊥平面.

又⊂平面，∴⊥.

又∵⊥平面，⊂平面，∴⊥，

又∵∩＝，∴⊥平面.

又⊂平面，∴⊥.

反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

（）两个平面垂直；（）直线必须在其中一个平面内；（）直线必须垂直于它们的交线．

跟踪训练如图所示，是四边形所在平面外的一点，是∠＝°且边长为的菱形．侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点．

求证：

（）⊥平面；

（）⊥.

证明（）平面⊥平面，平面∩平面＝，

又∵四边形是菱形且∠＝°，

∴△是正三角形，∴⊥.

∴⊥平面.

（）由（）可知⊥，由题意知△为正三角形，是的中点，∴⊥.又∩＝，

∴⊥平面，又⊂平面，∴⊥.

类型三垂直关系的综合应用

例如图，在四棱锥－中，∥，⊥，＝，平面⊥底面，⊥和分别是和的中点，求证：

（）⊥底面；

（）∥平面；

（）平面⊥平面.

证明（）∵⊥，平面⊥平面，平面∩平面＝，由平面和平面垂直的性质定理可得⊥平面.

（）∵∥，⊥，＝，和分别是和的中点，故四边形为平行四边形，故有∥.

又⊂平面，⊄平面，∴∥平面.

（）在平行四边形中，由⊥可得，为矩形，故有⊥.①

由⊥平面，可得⊥，再由⊥可得⊥平面，

∴⊥平面，故有⊥.

再由、分别为和的中点，可得∥，

∴⊥.②

而和是平面内的两条相交直线，故有⊥平面.

由于⊂平面，∴平面⊥平面.

反思与感悟（）证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．（）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．

跟踪训练如图，在三棱锥－中，平面⊥平面，△为等边三角形，⊥且＝＝，，分别为，的中点．

（）求证：

∥平面；

（）求证：

平面⊥平面；

（）求三棱锥－的体积．

（）证明∵，分别为，的中点，

∴∥.

∵⊄平面，⊂平面，

∴∥平面.

（）证明∵＝，为的中点，∴⊥.

又∵平面⊥平面，且平面∩平面＝，⊂平面，∴⊥平面.

∵⊂平面，∴平面⊥平面.

（）解在等腰直角△中，＝＝，

∴＝，＝，

∴△＝＝.

∵⊥平面，

∴－＝·△＝××＝，

∴－＝－＝.

．下列四个命题

①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；

③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；

④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．

其中错误的命题有（）

．个．个．个．个

答案

解析①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立．故选.

．下列命题中错误的是（）

．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝，那么⊥γ

．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β

．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

答案

解析对于，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝，则⊥γ，命题正确；对于，平面α⊥平面β，不妨设α∩β＝，作直线∥，且⊂α，则∥β，命题正确；对于，平面α⊥平面β，过α与β交线上的点作交线的垂线时，该垂线不一定垂直于β，命题错误；对于，假设平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，这与已知平面α与平面β不垂直矛盾，所以假设不成立，命题正确，故选.

．如图，在四面体中，已知⊥，⊥，那么在面内的射影必在（）

．直线上．直线上

．直线上．△内部

答案

解析在四面体中，已知⊥，⊥，∩＝，∴⊥平面.

又∵⊂平面，

∴平面⊥平面，平面∩平面＝，

在面内的射影必在上．故选.

．如图所示，已知⊥平面，⊥平面，且＝，＝，则＝.

答案

解析∵⊥平面，⊥平面，

∴∥.

又＝，∴四边形为平行四边形，

故＝＝.

.如图所示，在四棱锥－中，底面是矩形，侧面⊥底面，求证：

平面⊥平面.

证明因为底面是矩形，所以⊥.

又平面⊥平面，

平面∩平面＝，⊂平面，

所以⊥平面.

又因为⊂平面，

所以平面⊥平面.

.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．

．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：

课时作业

一、选择题

．下列命题错误的是（）

．若平面α⊥平面β，则α内所有直线都垂直于β

．若平面α⊥平面β，则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线

．若平面α⊥平面β，则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线

．若平面α⊥平面β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内

答案

解析在正方体－中，平面⊥平面，直线⊂平面，但与平面不垂直，故错．

．已知，为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：

（）

①⇒∥α②⇒∥

③⇒α∥β④⇒∥

其中正确命题的序号是（）

．②③．③④

．①②．①②③④

答案

解析①中，α可能平行或在平面α内；②③正确；④两直线，平行或异面，故选.

．在下列四个正方体中，能得出⊥的是（）

答案

．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线垂直于平面β内的一条直线，则（）

．直线必垂直于平面β

．直线必垂直于平面α

．直线不一定垂直于平面β

．过的平面与过的平面垂直

答案

解析当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．

．已知⊥平面α，直线⊂平面β.有下面四个命题：

①α∥β⇒⊥；②α⊥β⇒∥；

③∥⇒α⊥β；④⊥⇒α∥β.

其中正确的两个命题是（）

．①②．③④

．②④．①③

答案

解析∵⊥α，α∥β，∴⊥β，∵⊂β，∴⊥，故①正确；∵∥，⊥α，∴⊥α，又∵⊂β，∴α⊥β，故③正确．

．如图所示，平面α⊥平面β，∈α，∈β，与两平面α、β所成的角分别为和.过、分别作两平面交线的垂线，垂足分别为′、′，则∶′′等于（）

．∶．∶．∶．∶

答案

解析如图：

由已知得′⊥平面β，

∠′＝，′⊥平面α，∠′＝.

设＝，则′＝，′＝，

在△′′中，′′＝，∴＝.

．如图所示，在三棱锥－中，平面⊥平面，＝，＝，则（）

．⊂平面

．⊥平面

．与平面相交但不垂直

．∥平面

答案

解析因为＝，＝，所以⊥.

又因为平面⊥平面，平面∩平面＝，⊂平面，

所以⊥平面.

二、填空题

.如图，在三棱锥－中，侧面⊥底面，且∠＝°，＝，＝，则＝.

答案

解析∵侧面⊥底面，交线为，∠＝°（即⊥），

∴⊥平面，

∴⊥，∴＝＝＝.

．直线和在正方体－的两个不同平面内，使∥成立的条件是．（只填序号）

①和垂直于正方体的同一个面；

②和在正方体两个相对的面内，且共面；

③和平行于同一条棱；

④和在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．

答案①②③

解析①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理的应用．

．如图所示，在直四棱柱－中，当底面四边形满足时，⊥.（写出一个正确条件即可）

答案⊥

解析连接.因为∥，所以要使⊥，即使⊥.又因为∩＝，所以⊥平面.因为⊂平面，所以⊥.

．如图所示，为圆的直径，点在圆周上（异于点，），直线垂直于圆所在的平面，点为线段的中点．有以下四个命题：

①∥平面；②∥平面；③⊥平面；④平面⊥平面.其中正确的命题是．（填上所有正确命题的序号）

答案②④

解析因为⊂平面，所以①不正确；因为∥，而且⊄平面，所以②正确；不垂直于，所以③不正确；因为⊥，⊥，∩＝，所以⊥平面，所以平面⊥平面，所以④正确．

三、解答题

．已知：

α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝，求证：

⊥γ.

证明如图，在γ内取一点，作垂直于α与γ的交线于点，垂直于β与γ的交线于点，

则⊥α，⊥β.

∵＝α∩β，∴⊥，⊥.

∵与相交，且⊂γ，⊂γ，

∴⊥γ.

．如图所示，在四棱锥－中，⊥平面，四边形为正方形，＝，为的中点．求证：

⊥平面.

证明∵⊥平面，

⊂平面，

∴⊥.

又⊥，∩＝，

∴⊥平面.

又⊂平面，∴⊥.

∵＝＝，为的中点，∴⊥.

又∩＝，∴⊥平面.

四、探究与拓展

．如图，在四边形中，∥，＝，∠＝°，∠＝°，将△沿折起，使平面⊥平面，构成三棱锥－，则在三棱锥－中，下列命题正确的是（）

．平面⊥平面

．平面⊥平面

．平面⊥平面

．平面⊥平面

答案

解析如图，在平面图形中⊥，折起后仍然满足⊥.由于平面⊥平面，平面∩平面＝，故⊥平面，⊥.又⊥，故⊥平面，所以平面⊥平面.

．如图所示，在四棱锥－中，底面是∠＝°且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面.

（）求证：

⊥；

（）若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面⊥平面？

并证明你的结论．

（）证明如图，设为的中点，连接，，因为△为正三角形，所以⊥.

在菱形中，∠＝°，为的中点，

所以⊥.

又∩＝，