版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系233234 Word版含答案.docx

1、版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系233234 Word版含答案直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质学习目标.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系知识点一直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行梳理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言图形语言知识点二平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与

2、地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直梳理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言，图形语言类型一直线与平面垂直的性质定理例如图所示，正方体中，与异面直线，都垂直相交求证：.证明如图，连接，.平面，平面，.又，平面，.同理，平面.，且，.又，平面，.反思与感悟证明线线平行的常用方法()利用线线平行定义：证共面且无公共点()利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线()利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行()利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂

3、直.()利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行跟踪训练如图，垂足分别为、，.求证：.证明，.同理.，平面.又，.，平面.类型二平面与平面垂直的性质定理及应用例如图，在三棱锥中，平面，平面平面.求证：.证明如图，在平面内，作于.平面平面，且平面平面.平面.又平面，.又平面，平面，又，平面.又平面，.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：()两个平面垂直；()直线必须在其中一个平面内；()直线必须垂直于它们的交线跟踪训练如图所示

4、，是四边形所在平面外的一点，是且边长为的菱形侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点求证：()平面；().证明()平面平面，平面平面，又四边形是菱形且，是正三角形，.平面.()由()可知，由题意知为正三角形，是的中点，.又，平面，又平面，.类型三垂直关系的综合应用例如图，在四棱锥中，平面底面，和分别是和的中点，求证：()底面；()平面；()平面平面.证明()，平面平面，平面平面，由平面和平面垂直的性质定理可得平面.()，和分别是和的中点，故四边形为平行四边形，故有.又平面，平面，平面.()在平行四边形中，由可得，为矩形，故有.由平面，可得，再由可得平面，平面，故有.再由、分别为和的中点

5、，可得，.而和是平面内的两条相交直线，故有平面.由于平面，平面平面.反思与感悟()证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理()利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：两个平面垂直；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线跟踪训练如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为，的中点()求证：平面；()求证：平面平面；()求三棱锥的体积()证明，分别为，的中点，.平面，平面，平面.()证明，为的中点，.又平面平面，且平面平面，平面，平面.平面，平面平面.()解在等腰直角中，

6、.平面，.下列四个命题垂直于同一条直线的两条直线相互平行；垂直于同一个平面的两条直线相互平行；垂直于同一条直线的两个平面相互平行；垂直于同一个平面的两个平面相互平行其中错误的命题有()个个个个答案解析垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立；垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立故选.下列命题中错误的是()如果平面平面，平面平面，那么如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面如果平面平

7、面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面答案解析对于，平面平面，平面平面，则，命题正确；对于，平面平面，不妨设，作直线，且，则，命题正确；对于，平面平面，过与交线上的点作交线的垂线时，该垂线不一定垂直于，命题错误；对于，假设平面内存在直线垂直于平面，则平面垂直于平面，这与已知平面与平面不垂直矛盾，所以假设不成立，命题正确，故选.如图，在四面体中，已知，那么在面内的射影必在()直线上直线上直线上内部答案解析在四面体中，已知，平面.又平面，平面平面，平面平面，在面内的射影必在上故选.如图所示，已知平面，平面，且，则.答案解析平面，平面

8、，.又，四边形为平行四边形，故.如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，求证：平面平面.证明因为底面是矩形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：课时作业一、选择题下列命题错误的是()若平面平面，则内所有直线都垂直于若平面平面，则平面内的直线垂直于平面内的无数条直线若平面平面，则在平面内垂直于平面与平面的交线的直线垂直于内的任意一条直线若平

9、面平面，则经过内一点与垂直的直线在内答案解析在正方体中，平面平面，直线平面，但与平面不垂直，故错已知，为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列命题：()其中正确命题的序号是()答案解析中，可能平行或在平面内；正确；两直线，平行或异面，故选.在下列四个正方体中，能得出的是()答案设平面平面，若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线，则()直线必垂直于平面直线必垂直于平面直线不一定垂直于平面过的平面与过的平面垂直答案解析当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面已知平面，直线平面.有下面四个命题：；.其中正确的两个命题是()答案解析，故正确；，又，故正确如图所示，平面平面

10、，与两平面、所成的角分别为和.过、分别作两平面交线的垂线，垂足分别为、，则等于()答案解析如图：由已知得平面，平面，.设，则，在中，.如图所示，在三棱锥中，平面平面，则()平面平面与平面相交但不垂直平面答案解析因为，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.二、填空题.如图，在三棱锥中，侧面底面，且，则.答案解析侧面底面，交线为，(即)，平面，.直线和在正方体的两个不同平面内，使成立的条件是(只填序号)和垂直于正方体的同一个面；和在正方体两个相对的面内，且共面；和平行于同一条棱；和在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直答案解析为直线与平面垂直的性质定理的应用，为面面平行的性质，为公

11、理的应用如图所示，在直四棱柱中，当底面四边形满足时，.(写出一个正确条件即可)答案解析连接.因为，所以要使，即使.又因为，所以平面.因为平面，所以.如图所示，为圆的直径，点在圆周上(异于点，)，直线垂直于圆所在的平面，点为线段的中点有以下四个命题：平面；平面；平面；平面平面.其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)答案解析因为平面，所以不正确；因为，而且平面，所以正确；不垂直于，所以不正确；因为，所以平面，所以平面平面，所以正确三、解答题已知：，求证：.证明如图，在内取一点，作垂直于与的交线于点，垂直于与的交线于点，则，.，.与相交，且，.如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点求证：平面.证明平面，平面，.又，平面.又平面，.，为的中点，.又，平面.四、探究与拓展如图，在四边形中，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是()平面平面平面平面平面平面平面平面答案解析如图，在平面图形中，折起后仍然满足.由于平面平面，平面平面，故平面，.又，故平面，所以平面平面.如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面.()求证：；()若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论()证明如图，设为的中点，连接，因为为正三角形，所以.在菱形中，为的中点，所以.又，