初三相似三角形压轴题.docx
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初三相似三角形压轴题
初三相似三角形压轴题
一.选择题(共1小题)
1.(2013•江干区一模)如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5,相邻两条平行直线间的距离都相等,如果直角梯形ABCD的三个顶点A、B、D分别在平行直线l1、l5、l2上,∠ABC=90°且AB=3AD,则tanα=( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题(共3小题)
2.(2013•宁波模拟)如图,直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上.OA∥BC,D是BC上一点,BD=
OA=
,AB=3,∠OAB=45°,E,F分别是线段OA,AB上的两个动点,且始终保持∠DEF=45°.设OE=x,AF=y,则y与x的函数关系式为 .
3.(2012•南岗区一模)在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,点E在边AD上,且AE:
DE=1:
3,连接BE,BE与AC相交于点M,若AC=6
,则M0的长是 .
4.(2004•深圳)在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥BC,垂足为E,连接DE交AC于点P,过P作PF⊥BC,垂足为F,则
的值是 .
三.解答题(共12小题)
5.(2012•重庆模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.
(1)试求△ABC的面积;
(2)当边FG与BC重合时,求正方形DEFG的边长;
(3)设AD=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(4)当△BDG是等腰三角形时,请直接写出AD的长.
6.(2012•亭湖区一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,M是边AC的中点,CH⊥BM于H.
(1)试求sin∠MCH的值;
(2)求证:
∠ABM=∠CAH;
(3)若D是边AB上的点,且使△AHD为等腰三角形,请直接写出AD的长为 .
7.(2011•莆田)已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.
(1)特殊发现:
如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:
菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.
①猜想验证:
如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;
②拓展运用:
如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断
是否为定值?
若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
8.(2011•武汉)
(1)如图1,在△ABC中,点D、E、Q分别在AB、AC、BC上,且DE∥BC,AQ交DE于点P,求证:
=
;
(2)如图,△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点.
①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;
②如图3,求证:
MN2=DM•EN.
9.(2011•本溪模拟)如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC,点P为边AB上一个动点,过P点作PF∥AC交线段BD于点F,作GP⊥AB交线段AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.
(1)①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;
②用x的代数式表示线段DG的长,并写出x的取值范围;
(2)记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S值为
时x的值;
(3)以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似?
如果能相似,请求出BP的长;如果不能,请说明理由.
10.(2010•武汉)已知:
线段OA⊥OB,点C为OB中点,D为线段OA上一点.连接AC,BD交于点P.
(1)如图1,当OA=OB,且D为OA中点时,求
的值;
(2)如图2,当OA=OB,且
时,求tan∠BPC的值.
(3)如图3,当AD:
AO:
OB=1:
n:
时,直接写出tan∠BPC的值.
11.(2011•绵阳)已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,D是腰AC上的一个动点,过C作CE垂直于BD或BD的延长线,垂足为E,如图.
(1)若BD是AC的中线,求
的值;
(2)若BD是∠ABC的角平分线,求
的值;
(3)结合
(1)、
(2),试推断
的取值范围(直接写出结论,不必证明),并探究
的值能小于
吗?
若能,求出满足条件的D点的位置;若不能,说明理由.
12.(2011•海淀区一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=
.点D在边AC上(不与A,C重合),连接BD,F为BD中点.
(1)若过点D作DE⊥AB于E,连接CF、EF、CE,如图1.设CF=kEF,则k= ;
(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点,如图2所示.求证:
BE﹣DE=2CF;
(3)若BC=6,点D在边AC的三等分点处,将线段AD绕点A旋转,点F始终为BD中点,求线段CF长度的最大值.
13.(1997•吉林)已知:
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F、求证:
BP2=PE•PF.
14.(2015•成都模拟)已知点E在△ABC内,∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°.
(1)当α=60°时(如图1),
①判断△ABC的形状,并说明理由;
②求证:
BD=
AE;
(2)当α=90°时(如图2),求
的值.
15.(2012•攀枝花)如图所示,在形状和大小不确定的△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在EF或EF的延长线上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分∠CBP,设BP=y,PE=x.
(1)当x=
EF时,求S△DPE:
S△DBC的值;
(2)当CQ=
CE时,求y与x之间的函数关系式;
(3)①当CQ=
CE时,求y与x之间的函数关系式;
②当CQ=
CE(n为不小于2的常数)时,直接写出y与x之间的函数关系式.
16.(2012•娄底)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,BC=8,D在边BC上,E在线段DC上,DE=4,△DEF是等边三角形,边DF交边AB于点M,边EF交边AC于点N.
(1)求证:
△BMD∽△CNE;
(2)当BD为何值时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切?
(3)设BD=x,五边形ANEDM的面积为y,求y与x之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围);当x为何值时,y有最大值?
并求y的最大值.
初三相似三角形压轴题
参考答案
一.选择题(共1小题)
1.B
二.填空题(共3小题)
2.
3.
4.
三.解答题(共12小题)
5. 6.
,
或
7. 8. 9. 10. 11. 12.113. 14. 15. 16.