中考数学矩形归类复习.docx

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中考数学矩形归类复习

等腰三角形专题训练

亲爱的老师，给学生设计题目一定要注意归类训练，抓住重点题型要训练透彻

亲爱的老师，亲爱的同学们，做题一定要注意反思总结：

这个题用了什么知识点，给我们什么启示，以后遇到此类问题怎么办？

一、角平分线遇到平行线出现等腰三角形及综合知识应用

1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线

AE、DF分别交BC于点E、F．若EF=2，AB=5，求AD的长

2．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，求DF的长

3．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，

求证：

①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；

4．如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数

二、等腰三角形三线合一（有前两线必有第三线）及综合知识应用

5．如图，在△ABC中，∠BAC＜90°，AB=AC，AF⊥BC于点F，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于E，交AB边于点G，则图中与∠D相等的角的个数为（ ）

6．如图△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BF平分∠ABC，E是AF的中点，DE⊥AC交AB于D，连接DC交BF于P，求∠DPB的度数

7．如图，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，求DF的长

8．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．若∠BAC=45°，AM=4，DM=3，

求BC的长

9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，

求证：

①点G到△ABC各边的距离相等；

②设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=

nm．

10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．

求证：

①∠BAD=∠C；②AE=AF；③FG∥AC．

11．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，求△ABC的周长．

12．如图，在△ABC中，N是三条角平分线的交点，EF⊥BN于点N，EF分别交AB、BC于点E、F，∠BAN=20°，∠ENA=30°，求∠FNC的度数．

等边三角形专题训练

注意用好三边相等和60度角30度角

13．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，求DE的长

14．已知：

如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，

求证：

①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．

15．如图，已知等边△ABC，点D在AC的外侧，将BD绕点B顺时针旋转60°至BF，点F与点D相对应，连接AF，AD，AD=2，∠CBD=15°，∠AFB=30°，求AF的长．

16．如图：

在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

求证：

①△ADC≌△BEA；②BP=2PQ．

17．等边三角形ABC中，AD是高，AD=3，∠ABC的平分线交AD于点O，E是AC边上的运动点，连结OE且以OE为边长的等边△OEF，当F点落在BC边上时，请你证明△CEF是等边三角形．

答案及解析

1．（2015秋?

武昌区期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线

AE、DF分别交BC于点E、F．若EF=2，AB=5，则AD的长为（ ）

A．7  B．6  C．8  D．9

【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论．

【解答】解：

∵AD∥BC，

∴∠ADF=∠DFC，

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠CDF，

∴∠DFC=∠FDC，

∴CF=CD，

同理BE=AB，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

∴AB=BE=CF=CD=5，

∴BC=BE+CF﹣EF=8，

∴AD=BC=8．

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD．

3．（2014秋?

江津区期末）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，则DF的长是（ ）

A．2  B．3  C．

  D．4

【分析】首先根据条件D、E分别是BC、AC的中点可得DE∥AB，再求出∠BFD=∠DBF，根据等角对等边可得到DB=DF．

【解答】解：

∵△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，

∴DE∥AB，BD=

BC=4，

∴∠ABF=∠BFD，

∵BF平分∠ABC，

∴∠FBC=∠ABF，

∴∠BFD=∠DBF，

∴DB=DF=4，

故选D．

【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是证明DE∥AB，可得到∠BFD=∠DBF．

4．（2014秋?

巢湖期末）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是

①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．（ ）

A．③④  B．①②  C．①②③  D．②③④

【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．

【解答】解：

∵DE∥BC，

∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，

∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，

∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，

∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，

∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．

∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，

∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．

5．（2014秋?

淮南期末）如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为（ ）

A．25°  B．130°  C．50°或130°  D．25°或130°

【分析】如图，证明∠DFB=∠DEB，此为解决问题的关键性结论；求出∠DEB=130°，即可解决问题．

【解答】解：

如图，DF=DF′=DE；

∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知：

△BDE≌△BDF，

∴∠DFB=∠DEB；

∵DE∥AB，∠ABC=50°，

∴∠DEB=180°﹣50°=130°；

∴∠DFB=130°；

当点F位于点F′处时，

∵DF=DF′，

∴∠DF′B=∠DFF′=50°，

故选C．

【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质定理的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键．

6．（2014秋?

下城区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＜90°，AB=AC，AF⊥BC于点F，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于E，交AB边于点G，则图中与∠D相等的角的个数为（ ）

A．3个  B．4个  C．5个  D．6个

【分析】证明∠BAF=∠CAF；∠BGE=∠AGD=∠BAF，∠CAF=∠D，即可解决问题．

【解答】解：

如图，∵AB=AC，AF⊥BC，

∴∠BAF=∠CAF；

∵DE⊥BC，

∴DE∥AF，

∴∠BGE=∠AGD=∠BAF，∠CAF=∠D，

∴图中与∠D相等的角共有4个，

故选B．

【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用平行线的性质等几何知识点来分析、判断、解答．

7．（2014秋?

凉山州期末）如图△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BF平分∠ABC，E是AF的中点，DE⊥AC交AB于D，连接DC交BF于P，∠DPB的度数是（ ）

A．36°  B．54°  C．72°  D．90°

【分析】由AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角，得到∠ABC=∠ACB，根据BF平分∠ABC，得到∠ABF=FBC=36°，∠BFC=∠BCF=72°，因为AE=EF，DE⊥AF，得到AD=DF，∠DFE=36°，∠DFP=72°，证得△BDF≌△CBF，得到BD=BC，因为BF平分∠ABC，BP⊥CD，根据“三线和一”得到∠BPD=90°．

【解答】解：

连接DF，∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=FBC=36°，

∴∠BFC=∠BCF=72°，

∵AE=EF，DE⊥AF，

∴AD=DF，

∴∠DFE=36°，

∴∠DFP=72°，

∴∠DFB=∠CFB，

在△DBF与△CBF中，

，

∴△BDF≌△CBF（ASA），

∴BD=BC，

∵BF平分∠ABC，

∴BP⊥CD，

∴∠BPD=90°

故选D．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，关键是正确的作出辅助线．

8．（2014秋?

五常市校级期中）如图，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为（ ）