八年级秋季班第7讲一元二次方程的应用一.docx
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八年级秋季班第7讲一元二次方程的应用一
一元二次方程的应用
本节涉及两部分内容，一是运用一元二次方程对二次三项式进行因式分解，二是运用方程的思想解决关于数字及增长（降低）率的实际问题．通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系，会运用方程思想解决实际问题，难点是找到题目中的等量关系，列出方程并解决问题．
1、二次三项式的因式分解
（1）形如ax2+bx+c（a，b，c都不为零）的多项式称为二次三项式；
（2）如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x和x,那么二次三项式的分
12
12
解公式为：
ax2+bx+c=a（x-x）（x-x）．
【例1】在实数范围内不能分解因式的是（）
A．2x2-4x-1B．x2
C．5x2D．4x2
【例2】方程ax2
bxc
0（a
0）的两个实数根是x1
，则把这
个二次三项式ax2bxc进行因式分解的结果是．
【例3】将9a2+1-3b2-6a在实数范围内因式分解，正确的结果是（）
A．（3a-1+
3b）（3a+1-
3b）
B．（3a-1-
3b）（3a+1+
3b）
C．（3a-1+
3b）（3a-1-
3b）
D．（3a+1+
3b）（3a+1-
3b）
【例4】若二次三项式x2bxc在实数范围内可分解因式为
（x2
3）（x
4
23），则一元二次方程b，c的值分别为．
4
【例5】在实数范围内分解因式：
（1）2x2-8；
（2）（x-1）3-5（x-1）；
（3）-x2+x+72；（4）2x2-4x-30．
【例6】在实数范围内分解因式：
（1）x2-8x+5；
（2）y2-6y+1．
【例7】在实数范围内分解因式：
（1）2x2-8x+5；
（2）2x2-22x-1．
【例8】在实数范围内分解因式：
（1）x2y2+4xy+1；
（2）2x2-22xy-y2；
（3）-1x2y2-3xy+4．
2
【例9】在实数范围内分解因式：
（1）2x4+7x2-72；
（2）-4y4-10y2+36．
【例10】在实数范围内分解因式：
（1）m2-2mn-n2；
（2）3x2+122xy+11y2；
（3）6x2y2+2xy-1．
【例11】二次三项式（2a-1）x2-22ax+（a-1），当a取何值时，
（1）在实数范围内能分解；
（2）能分解成两个相同的因式；
（3）不能因式分解．
【例12】已知4x2
kxyy2可以分解得到（2x2y
3y）（mxny），求实数k，m，n的
值．
【例13】多项式x2-43x+12-4a2+4ab-b2是完全平方式，求证：
b
2a．
1、列一元二次方程解应用题的步骤：
审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．
注：
解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去．
2、数字问题：
主要考察的是对数的表示如：
两位数=十位数
10+个位数字；
三位数=百位数
100+十位数
10+个位数字．
【例14】如何表示三个连续的自然数？
两个连续的偶数？
两个连续的奇数？
【例15】两个连续的自然数的积是182，求这两个自然数．
【例16】有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的2倍多5，求这个两位数．
【例17】已知两个数的差是8，积是209，求这两个数．
【例18】一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数．
【例19】一个三位数，百位上的数字比十位数字大1，个位数字比十位数字小1，且个位数字和十位数字的平方和比百位数字大2，求这个三位数．
1、增长（降低）率问题
基本公式：
a（1±x）2=b．
a表示增长（降低）前的数，x表示增长（降低）率，b表示增长（降低）后的数，要列出这类方程关键在于找出a、b．
【例20】青山村的水稻2014年平均每公顷产7200公斤，2016年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率是多少？
【例21】绿水超市的某种商品经过两次降价，每件的售价由原来的90元降到了40元，求每次降价率是多少？
【例22】某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【例23】某种商品，原价50元，受金融危机的影响，1月份降价10%，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率．
【例24】某为了绿化校园，某中学在2014年植树400棵，计划到2016年底使这三年的植
树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数．
【例25】某电器集团公司为了适应竞争需要，从2013年开始，每年将销售总额的12%作为新产品开发的研究基金．已知该公司2013年底投入的新产品研究基金是4000万元，
2015全年销售总额是8亿元，求该公司2014和2015年销售总额的平均增长率（精确到0.01%）．
【例26】某花生种植基地原有花生品种的亩产量为200千克，出油率为55%．改用新品种后，每亩收获的花生可加工得到花生油135千克.已知新品种花生亩产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率的增长率是亩产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到0.01%）．
【习题1】二次三项式ax2
（）
bxc可以在实数范围内因式分解，那么以下各式成立的是
A．b2
B．b2
C．b2
D．不能确定
【习题2】二次三项式3x2
2（3k
1）x
3k2
1在实数范围内不能因式分解，则k的取值
范围是．
【习题3】若一元二次方程9x2
bxc
0有两根，
，那么二次三项式
9x2bxc可以分解为．
【习题4】已知两个数的差等于6，积等于16，求这两个数．
【习题5】将下列二次三项式在实数范围内因式分解：
（1）（x
1）2
2（x
1）1；
（2）3x2
2x1；
（3）x22x1．
【习题6】在实数范围内分解下列因式：
（1）6x2
9x21；
（2）（m2
m）x2
（2m2
1）xm（m
1）；
（3）6x2
11xy
7y2；（4）3x2
4xyy2．
【习题7】一个三位数，个位数字和百位数字相同，都比十位数字小1，且个位数字和百位数字的平方和等于十位数字，求这个三位数．
【习题8】三个连续的整数两两相乘后，再求和，得362，求这三个连续的整数．
【习题9】某商场销售商品的收入款，3月份为25万元，5月份为36万元，该商场这两个月销售商品收入款的平均每月增长率是多少．
【习题10】市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率．
【习题11】某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，
其中第一年培训了20万人次．求每年接受科技培训的人次的平均增长率．
【习题12】制造一种产品，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测该产品销售价第一个月降低20%，第二个月比第一个月提高了6%，为了使两个月后的销售利润与原来的销售利润一样，该产品的成本价每月的降低率为x，请依题意列方程：
【习题13】若多项式mx24（m
1）x
4m在实数范围内能分解因式，求整数m取得的最大
值．
【作业1】下列二次三项式可以在实数范围内因式分解的是（）
A．x2
C．ax2
B．x2
D．（x
【作业2】如果x210xa
0的两根为5+26，5-2
，在实数范围内分解因式
x210xa=．
【作业3】如果二次三项式2x2
围是．
3x2m可以分解为两个相同的一次根式，则m的取值范
【作业4】把下列二次三项式进行因式分解：
（1）3x2
7x；
（2）（2x
1）2
9（x
1）2；
（3）
x24x2．
【作业5】一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a，高位上的三个数字是b，现在将a、b互换，得到一个新的六位数是．
【作业6】二次三项式在实数范围内进行因式分解：
（1）2（2x
1）2
2（2x
1）3；
（2）2x2
7xy
5y2；
（3）4x2
8x1；（4）2x2y2
8xy5．
【作业7】三个连续偶数，两两相乘，再求和得44，求这三个偶数．
【作业8】一个两位数等于其各位数字之积的3倍，且其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
【作业9】某厂1月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印175万册，问2月、3月平均每月的增长率是多少？
（精确到1%）
【作业10】制造一种产品，原来每件的成本是300元，由于连续两次降低成本，现在的成本是195元．平均每次降成本百分之几？
（精确到1%）
【作业11】如果二次三项式（m
3）x2
2（m
3）xm
5在实数范围内不能因式分解，判
断关于x的方程（m
1）x2
（2m
1）xm
10根的情况．
【作业12】某产品每件生产成本为50元，原定销售价为65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价格下降10%，第二个季度又将回升4%，若要使半年以后的销售利润不变，如果你作为决策者，请提出一条措施，并补充一个问题并完整解答．
我的措施是：
．
我的问题是：
．
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