八年级秋季班第7讲一元二次方程的应用一.docx

1、八年级秋季班第7讲一元二次方程的应用一一元二次方程的应用本节涉及两部分内容，一是运用一元二次方程对二次三项式进行因式分解， 二是运用方程的思想解决关于数字及增长（降低）率的实际问题通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系，会运用方程思想解决实际问题，难点是找到题目中的等量关系，列出方程并解决问题1、二次三项式的因式分解（1）形如ax2 + bx + c (a ，b ，c都不为零)的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a 0) 的两个根是 x 和 x ,那么二次三项式的分1 21 2解公式为： ax2 + bx + c =

2、 a (x - x )(x - x ) 【例1】 在实数范围内不能分解因式的是（ ）A 2x2 - 4x -1 B x2C 5x2 D 4x2【例2】 方程ax2bx c0(a0) 的两个实数根是 x1，则把这个二次三项式ax2 bx c 进行因式分解的结果是 【例3】 将9a2 +1- 3b2 - 6a 在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）A (3a -1+3b)(3a +1-3b)B (3a -1-3b)(3a +1+3b)C (3a -1+3b)(3a -1 -3b)D (3a +1+3b)(3a +1-3b)【例4】 若二次三项式 x2 bx c 在实数范围内可分解因式为 (x 2

3、3 )(x42 3 ) ，则一元二次方程b ，c 的值分别为 4【例5】 在实数范围内分解因式：（1） 2x2 - 8 ； （2） (x -1)3 - 5(x -1) ；（3） -x2 + x + 72 ； （4） 2x2 - 4x - 30 【例6】 在实数范围内分解因式：（1） x2 - 8x + 5 ； （2） y2 - 6 y + 1 【例7】 在实数范围内分解因式：（1） 2x2 - 8x + 5 ； （2） 2x2 - 2 2x -1【例8】 在实数范围内分解因式：（1） x2 y2 + 4xy + 1 ； （2） 2x2 - 2 2xy - y2 ；（3） - 1 x2 y2 -

4、 3xy + 4 2【例9】 在实数范围内分解因式：（1） 2x4 + 7x2 - 72 ； （2） -4 y4 - 10 y2 + 36 【例10】 在实数范围内分解因式：（1） m2 - 2mn - n2 ； （2） 3x 2 +12 2xy +11y2 ；（3） 6x2 y2 + 2xy -1 【例11】 二次三项式(2a -1)x2 - 2 2ax + (a -1) ，当 a 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）能分解成两个相同的因式；（3）不能因式分解 【例12】 已知 4x2kxy y2 可以分解得到 (2x 2y3y )(mx ny)，求实数 k ，m，n 的值【例13】

5、多项式 x2 - 4 3x +12 - 4a2 + 4ab - b2 是完全平方式，求证： b2a 1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去2、数字问题：主要考察的是对数的表示如：两位数 = 十位数10+个位数字；三位数 = 百位数100+十位数 10+个位数字【例14】 如何表示三个连续的自然数？两个连续的偶数？两个连续的奇数？【例15】 两个连续的自然数的积是 182，求这两个自然数 【例16】 有一个两位数，十位数字比个位数字大 3，而此两位数比这两个数字之积的 2 倍多 5，求

6、这个两位数【例17】 已知两个数的差是 8，积是 209，求这两个数【例18】 一个两位数，它的十位数字比个位数字小 3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数【例19】 一个三位数，百位上的数字比十位数字大 1，个位数字比十位数字小 1，且个位数字和十位数字的平方和比百位数字大 2，求这个三位数1、增长（降低）率问题基本公式： a (1 x)2 = b a 表示增长（降低）前的数， x 表示增长（降低）率， b 表示增长（降低）后的数，要列出这类方程关键在于找出 a 、b 【例20】 青山村的水稻 2014 年平均每公顷产 7200 公斤，2016 年平均每公顷产 8450 公

7、斤，水稻每公顷产量的年平均增长率是多少？【例21】 绿水超市的某种商品经过两次降价，每件的售价由原来的 90 元降到了 40 元，求每次降价率是多少？【例22】 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率【例23】 某种商品，原价 50 元，受金融危机的影响，1 月份降价 10%，从 2 月份开始涨价，3 月份的售价为 64.8 元，求 2、3 月份价格的平均增长率【例24】 某为了绿化校园，某中学在 2014 年植树 400 棵，计划到 2016 年底使这三年的植树总数达到 1324 棵，求该校植树平均每年增长的百分数【例25】 某电器集团公司为了适

8、应竞争需要，从 2013 年开始，每年将销售总额的 12%作为新产品开发的研究基金已知该公司 2013 年底投入的新产品研究基金是 4000 万元，2015 全年销售总额是 8 亿元，求该公司 2014 和 2015 年销售总额的平均增长率（精确到 0.01%）【例26】 某花生种植基地原有花生品种的亩产量为 200 千克，出油率为 55%改用新品种后，每亩收获的花生可加工得到花生油 135 千克.已知新品种花生亩产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率的增长率是亩产量增长率的一半，求两者的 增长率（精确到 0.01%）【习题1】 二次三项式ax2（ ）bx c 可以在实数范围内因式分解，

9、那么以下各式成立的是A b2B b2C b2D 不能确定【习题2】 二次三项式3x22(3k1)x3k 21 在实数范围内不能因式分解，则 k 的 取值范围是 【习题3】 若一元二次方程9x2bx c0 有两根，那么二次三项式9x2 bx c 可以分解为 【习题4】 已知两个数的差等于 6，积等于 16，求这两个数【习题5】 将下列二次三项式在实数范围内因式分解：（1） (x1)22(x1) 1； （2） 3x22x 1 ；（3） x2 2x 1【习题6】 在实数范围内分解下列因式：（1） 6x29x 21； （2） (m2m)x2(2m21)x m(m1) ；（3） 6x211xy7 y2

10、； （4） 3x24xy y2 【习题7】 一个三位数，个位数字和百位数字相同，都比十位数字小 1，且个位数字和百位数字的平方和等于十位数字，求这个三位数 【习题8】 三个连续的整数两两相乘后，再求和，得 362，求这三个连续的整数【习题9】 某商场销售商品的收入款，3 月份为 25 万元，5 月份为 36 万元，该商场这两个月销售商品收入款的平均每月增长率是多少【习题10】 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率【习题11】 某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达

11、 95 万人次，其中第一年培训了 20 万人次求每年接受科技培训的人次的平均增长率【习题12】 制造一种产品，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测该产品销售价第一个月降低 20%，第二个月比第一个月提高了 6%，为了使两个月后的销售利润与原来的销售利润一样，该产品的成本价每月的降低率为 x，请依题意列方程：【习题13】 若多项式mx2 4(m1)x4m 在实数范围内能分解因式，求整数 m 取得的最大值【作业1】 下列二次三项式可以在实数范围内因式分解的是（ ）A x2C ax2B x2D (x【作业2】 如果 x2 10x a0 的两根为5 + 2 6 ，5 - 2

12、，在实数范围内分解因式x2 10x a = 【作业3】 如果二次三项式2x2围是 3x 2m 可以分解为两个相同的一次根式，则 m 的取值范【作业4】 把下列二次三项式进行因式分解：（1） 3x27x ； （2） (2x1)29(x1)2 ；（3）x2 4x 2 【作业5】 一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是 a，高位上的三个数字是 b，现在将 a、b 互换，得到一个新的六位数是 【作业6】 二次三项式在实数范围内进行因式分解：（1） 2(2x1)22(2x1) 3 ； （2） 2x27xy5 y2 ；（3） 4x28x 1； （4） 2x2 y28xy 5 【作业7】 三个连续偶数，

13、两两相乘，再求和得 44，求这三个偶数【作业8】 一个两位数等于其各位数字之积的 3 倍，且其十位数字比个位数字小 2，求这个两位数【作业9】 某厂 1 月份印刷了科技书籍 50 万册，第一季度共印 175 万册，问 2 月、3 月平均每月的增长率是多少？（精确到 1%）【作业10】 制造一种产品，原来每件的成本是 300 元，由于连续两次降低成本，现在的成本是 195 元平均每次降成本百分之几？（精确到 1%）【作业11】 如果二次三项式(m3)x22(m3)x m5 在实数范围内不能因式分解，判断关于 x 的方程(m1)x2(2m1)x m1 0 根的情况 【作业12】 某产品每件生产成本为 50 元，原定销售价为 65 元 经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价格下降 10%，第二个季度又将回升 4%，若要使半年以后的销售利润不变，如果你作为决策者，请提出一条措施，并补充一个问题并完整解答我的措施是： 我的问题是：