届高考数学文化习题集 解析版.docx
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届高考数学文化习题集解析版
2021年数学文化专项习题集
110题
一、数学文化与阅读
例1.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中,用如图1所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作（1655年）介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinesetriangle）.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨
辉三角中相邻两行满足关系式:
C𝑟+C𝑟+1=C𝑟+1,其中n是行数,r∈N.请类比上式,在莱布尼
𝑛𝑛𝑛+1
茨三角形中相邻两行满足的关系式是.
图1图2
C
1
【解析】类比观察得,将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1
𝑛+1
而相邻两项之和是上一
行的两者相拱之数,故类比式子C𝑟+C𝑟+1=C𝑟+1,有1+1=1.
𝑛𝑛
𝑛+1
C1C𝑟
C1C𝑟+1
C1C𝑟
𝑛+2𝑛+1
𝑛+2𝑛+1
𝑛+1𝑛
例2.在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒
（SirBrookTaylor）的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列
级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公
+xn
n!
x∞xnx0x1x2x3
式：
e=∑=++++
，其中x∈R，n∈N*，n!
=1⨯2⨯3⨯4⨯⨯n，
n=0n!
0!
1!
2!
3!
e2
例如：
0!
=1，1!
=1，2!
=2，3!
=6.试用上述公式估计1的近似值为（精确到0.001）
（）
A．1.601B．1.642C．1.648D．1.647
【解析】由题意，只需要精确到0.001即可，令x=0.5,n=4，代入可得，
∞（0.5）n
0.50
0.51
0.52
0.53
0.541
e0.5=∑
n=0
4!
=0!
+1!
+2!
+3!
+4!
=1.648434≈1.648，所以e2的近似值为
1.648，
例3.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:
任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数n经过7次运算后首次得到1，则n的所有不同取值的集合为.
【解析】由题,由正整数n经过7次运算后首次得到1,即可设第7次的运算结果为a7=1,
若第6次为奇数,则3a6+1=1,解得a6=0,不符合；若第6次为偶数,则1a=1,解得a=2；
266
若第5次为奇数,则3a+1=2,解得a=1,不符合；
553
若第5次为偶数,则1a=2,解得a=4；
255
若第4次为奇数,则3a4+1=4,解得a4=1,不符合；
若第4次为偶数,则1a=4,解得a=8；
244
若第3次为奇数,则3a+1=8,解得a=7,不符合；
333
若第3次为偶数,则1a=8,解得a=16；
233
若第2次为奇数,则3a2+1=16,解得a2=5①；
若第2次为偶数,则1a=16,解得a=32②；
222
若第1次为奇数,则
①3a+1=5,解得a=4,不符合；
113
②3a+1=32,解得a=31,不符合；
113
若第1次为偶数,则
①1a=5,解得a=10；
211
②1a=32,解得a=64；
211
若n为奇数,则
①3n+1=10,解得n=3；
②3n+1=64,解得n=21；若n为偶数,则
①1n=10,解得n=20；
2
②1n=64,解得n=128.
2
综上,n的所有不同取值的集合为{3,20,21,128},故答案为:
{3,20,21,128}
例4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：
任取一个正整数
n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取n=13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）
A．9B．10C．11D．12
【解析】由题意：
任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1.
第一步：
n=13为奇数，则n=13⨯3+1=40；
第二步：
n=40为偶数，则n=40=20；
2
第三步：
n=20为偶数，则n=20=10；
2
第四步：
n=10为偶数，则n=10=5；
2
第五步：
n=5为奇数，则n=5⨯3+1=16；
第六步：
n=16为偶数，则n=16=8；
2
第七步：
n=8为偶数，则n=8=4；
2
第八步：
n=4为偶数，则n=4=2；
2
第九步：
n=2为偶数，则n=2=1.
2
所以共需要经过的运算步数是9.
例5.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，
∴56846用算筹表示应为：
纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表
示为B中的．故选：
B．
例6.用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：
用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，
意即“设x为某某”.如图2所示的天元式表示方程axn+axn-1+⋅⋅⋅+ax+a=0，其中
01n-1n
a0，a1，…，an-1，an表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.
试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（）
A．x2+286x+1743=0B．x4+27x2+84x+163=0
C．1743x2+286x+1=0D．163x4+84x3+27x+1=0
【解析】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为1743x2+286x+1=0.故选：
C.
例7.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:
先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形（如图所示），按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）
A.35
B.
36
C.
37
D.
38
【解析】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角.
第2次操作后，图形中有3×3=32个小正三角.
第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角.
…………………………
所以第7次操作后，图形中有37
个小正三角.
故选：
C
例8.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：
甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019
年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的
A．甲辰年B．乙巳年C．丙午年D．丁未年
【解析】根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故选：
C.
例9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：
把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八封所代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（）A．33B．34C．36D．35
【解析】选B由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“
”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.
例10.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼（）
A．89条B．113条C．324条D．445条
【解析】该图的五进制数为324，根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得：
324（5）＝4×50+2×51+3×52＝89，故选A
二、数学文化与函数
例11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：
图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；
②函数f（x）＝ln（x2＋x2＋1）可以是某个圆的“太极函数”；
③正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”；
④函数y＝f（x）是“太极函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题为（）
A．①③B．①③④C．②③D．①④
【解析】选A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故①正确；
函数f（x）＝ln（x2＋x2＋1）的图象如图所示，
故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；
将圆的圆心放在正弦函数y＝sinx图象的对称中心上，则正弦函数y＝sinx是该圆的“太极函数”，
从而正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；
函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，则y＝f（x）是“太极函数”，但函数y＝f（x）是“太极函数”
时，图象不一定是中心对称图形，如图，故④错误．故选A.
例12.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依
巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等
或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2=
2.5（lgE2-lgE1）.其中星等为mi的星的亮
度为Ei（i=1,2）.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天
津四”的r倍，则与r最接近的是（当x较小时，
10x≈1+2.3x+2.7x2）
A．1.24B．1.25C．1.26D．1.27
E1E1
【解析】根据题意可得：
1-1.25=2.5（lgE-lgE），可得lg1=，解得r=1=1010，
E
2
2
2110E
根据参考公式可得r≈1+2.3⨯1+2.7⨯1=1.257，故与r最接近的是1.26.故选：
C.
10100
例13.我们经常听到这样一种说法：
一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w，厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，
则经过两次对折，长边变为1w，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n有下列关系：
2
n≤2log3
w（注：
lg2≈0.3），根据以上信息，一张长为21cm，厚度为0.05mm的纸最多
2x
能对折次.
【解析】n≤2log4200=2⎛log4+log1000+log
21⎫=2⎛2+3log10+log
21⎫，
323ç
22220⎪3ç
2220⎪
⎝⎭⎝⎭
因为log10=1
=1，021<1，所以n≤8+2log
21⇒n的最大值为8．
2
故答案为：
8
lg20.3
220
3220
例14.如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为f（n）（n≤9且n∈N*），已知f
（1）=1，f
（2）=1，且通过该规则可得
f（n）=f（n-1）+2f（n-2）+1，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（）
A．7B．16C．19D．21
【解析】由已知f（3）=f
（2）+2f
（1）+1=1+2+1=4，
f（4）=f（3）+2f
（2）+1=4+2+1=7，f（5）=f（4）+2f（3）+1=7+8+1=16，故选：
B．
例15.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.秦九韶算法
是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法.其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.用秦九韶算法计算当x=0.6时函数f（x）=x4+2x3+3x2+4的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分别为（）
A．3，5.6426B．4，5.6426
C．3，5.6416D．4，5.6416
【解析】根据秦九韶算法的原理，可得f（x）=x4+2x3+3x2+4=（x3+2x2+3x）x+4
=（（x2+2x1+3）x）x+4=（（（x+2）x+3）x）x+4，所以进行了三次加法运算，由于
v1=2.6,v2=4.56,v3=2.736,v4=5.6416，所以函数的值为5.6416，故选C
三、数学文化与数列
例16.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：
“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？
”意思是：
“今有蒲草第1天
长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一
天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？
”根据上述的已知条件，可求得第天时，蒲草和莞草的高度相同．（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：
lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）．
2
【解析】由题意得，蒲草的长度组成首项为a1＝3，公比为1的等比数列{an}，设其前n项
和为An；莞草的长度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则An
3⎛1－1⎫3⎛1－1⎫
⎝2n⎭
2n－1
⎝2n⎭
2n－16
＝1，Bn＝2－1，令
1
－2
1＝2－1，化简得2n＋2n＝7（n∈N*），解得2n＝6，所以n
1
－2
lg6lg3
＝lg2＝1＋lg2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．
例17.腾讯公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为
an（n∈N*），
等级
等级图标
需要天数
等级
等级图标
需要天数
1
5
7
77
2
12
8
96
3
21
12
192
4
32
16
320
5
45
32
1152
6
60
48
2496
则等级为50级需要的天数a50=
【解析】由表格知an
=5+7+
3）=n（5+2n+3）=n（n+4），∴
+（2n+
2
a50=50⨯54=2700．
例18.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二.问物几何?
”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：
求正整数N，使N除以3余2，除以5余2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的所有正整数数列{an}、{bn}，{an}满足被3除余2，a1=2，{bn}满足被5除余2，
b1=2，把数列{an}与{bn}相同的项从小到大组成一个新数列，记为{cn}，则下列说法正确的是（）
A.c2=a1+b1
B.
c6=a2b3
C．c10=a46
D．a1+2b2=c4
【解析】由条件可知an=2+3（n-1）=3n-1，bn=2+5（n-1）=5n-3，
cn=2+15（n-1）=15n-13，
对于A，c2=17,a1+b1=4，所以A错误；对于B，c6=77,a2b3=60，所以B错误；对于C，c10=137,a46=137，所以C正确；对于D，a1+2b2=16,c4=47，所以D错误；故选：
C.
例19.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：
“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）
A．96里B．72里C．48里D．24里
【解析】由题意可知此人每天走的路程构成公比为1的等比数列，设此人第一天走的路程
2
⎡⎛1⎫6⎤
12
a⎢1-ç⎪⎥
为a，则⎢⎣⎝⎭⎥⎦=378，解得a=192，从而可得
1
1-1
2
1
1
⎛1⎫3
⎝⎭
a2=192⨯2=96,a4=192⨯ç2⎪
=24，故a2-a4=96-24=72.故选：
B
例20.《周髀算经》有这样一个问题：
从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为
（）
A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸
【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{an}，
S是其前n项和，则S
=9（a1+a9）=9a
=85.5尺，
2
n95
所以a5=9.5尺，由题知a1+a4+a7=3a4=31.5，所以a4=10.5，所以公差d=a5-a4=-1，
所以a12=a5+7d=2.5尺.故选:
B.
例21.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋元时期数学家朱世杰在（四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所
示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.
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