所以S（t）在（0,2）上递减，在（2,+∞）上递增，所以t=2时，S（t）取得极小值，
也是最小值为S
（2）=16⨯16=32.
8
三．理论基础·解题原理
考点一利用导数研究函数的极值与最值
设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法．
考点二已知函数极值（最值）情况求参数的值或取值范围
先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的．
四．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：
一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．
考向1利用导数求函数的极值
已知函数†默˨닸˪˨默lr˨െa˨닸，默a?
ǫ닸．
【温馨提醒】本题
（I）若a˪0时，求函数†默˨닸的最小值；
主要考查导数在函数中
的应用，考查了转化与
（II）若函数†默˨닸既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
化归思想、逻辑推理能
【答案】（I）െ1；（II）0⻒a⻒1．
e2
力与计算能力．导数是
研究函数的单调性、极
值（最值）最有效的工
【解析】（I）当a˪0时，†默˨닸˪˨lr˨，定义域为默0sp?
닸．
†ॵ默˨닸˪lr˨p1，令†ॵ默˨닸˪0，可得˨˪1．列表：
e
所以，函数†默˨닸的最小值为†默1닸˪െ1．
具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值
（极值），解决函数的恒
ee
成立与有解问题；（4）考
（II）†默˨닸˪˨默lr˨െa˨닸，定义域为默0sp?
닸，†ॵ默˨닸˪lr˨െ2a˨p1．
记M默˨닸˪†ॵ默˨닸˪lr˨െ2a˨p1，˨?
默0sp?
닸，Mॵ默˨닸˪1െ2a，
˨
查数形结合思想的应用．
①当a?
0时，Mॵ默˨닸0，M默˨닸˪†ॵ默˨닸在默0sp?
닸上单调递增，故†ॵ默˨닸在默0sp?
닸上至多有一个零点，
此时，函数†默˨닸在默0sp?
닸上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；
②当a0时，令Mॵ默˨닸˪0，可得˨˪1，列表：
2a
x
默0s1닸2⩨
1
2⩨
默1spœ닸2⩨
hॵ默x닸
+
0
-
h默x닸
³
极大值
k
若M默1닸t0，即a?
1，M默˨닸tM默1닸t0，即†ॵ默˨닸?
0，故函数†默˨닸在默0sp?
닸
2a22a
上单调递减，函数†默˨닸在默0sp?
닸上不存在极值，与题意不符，若M默1닸0，即
2a
0⻒a⻒1时，由于111，且M默1닸˪lr1െ2ap1˪െ2a⻒0，故存在˨1C
22aeeeee
默1s1닸，使得M默˨닸˪0，即†ॵ默˨닸˪0，且当˨?
默0s˨1닸时，†ॵ默˨닸⻒0，函数†默˨닸
e2a
在默0s˨1닸上单调递减；当˨C默˨1s1닸时，†ॵ默˨닸0，函数†默˨닸在默0s˨1닸上单调递
2a
增，函数†默˨닸在˨˪˨1处取极小值．
由于1⻒1，且M默1닸˪lr1െ2p1˪െ2lraെ2p1⻒0（事实上，令
2aa2a2a2aa
µ默a닸˪െ2lraെ2p1，µॵ默a닸˪െ2p2˪2默1െa닸0，故µ默a닸在默0s1닸上单调递增，
aaa2a2
所以µ默a닸⻒µ默1닸˪െ1⻒0）．
故存在˨2C默1s1닸，使得M默˨닸˪0，即†ॵ默˨닸˪0，
2aa2
且当˨C默1s˨2닸时，†ॵ默˨닸0，函数†默˨닸在默1s˨2닸上单调递增；
2a2a
当˨?
默˨2sp?
닸时，†ॵ默˨닸⻒0，函数†默˨닸在默˨2sp?
닸上单调递减，函数†默˨닸在
˨˪˨2处取极大值．
综上所述，当0⻒a⻒1时，函数†默˨닸在默0sp?
닸上既有极大值又有极小值．
2
考向2
利用导数求函数的最值
【2016高考浙江理数】已知a≥3，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，
⎧p，p≤q，
其中min{p，q}=⎨q,p>q.
⎩
（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；
（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；
（ii）求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）．
【答案】（I）[2,2a]；（II）（i）m（a）=⎧⎪0,3≤a≤2+2；（ii）
⎨
⎪⎩-a2+4a-2,a>2+2
【温馨提醒】（I）根据x
的取值范围化简F（x），即可得使得等式
F（x）=x2-2ax+4a-
成立的x的取值范围；
（II）（i）先求函数
f（x）g（x）
和的最小
F（x）
值，再根据的定义
可得m（a）；（ii）根据x
的取值范围求出F（x）
M（a）=⎧34-8a,3≤a<4．
⎨2,a≥4
⎩
【解析】（I）由于a≥3，故
当x≤1时，（x2-2ax+4a-2）-2x-1=x2+2（a-1）（2-x）>0，当x>1时，（x2-2ax+4a-2）-2x-1=（x-2）（x-2a）．
所以，使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a]．
（II）（i）设函数f（x）=2x-1，g（x）=x2-2ax+4a-2，则
f（x）=f
（1）=0，g（x）=g（a）=-a2+4a-2，
minmin
所以，由F（x）的定义知m（a）=min{f
（1）,g（a）}，即
m（a）=⎧⎪0,3≤a≤2+2．
⎨
⎪⎩-a2+4a-2,a>2+2
（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0）,f
（2）}=2=F
（2），
当2≤x≤6时，
F（x）≤g（x）≤max{g
（2）,g（6）}=max{2,34-8a}=max{F
（2）,F（6）}．
⎧34-8a,3≤a<4
所以，M（a）=⎨．
⎩2,a≥4
的最大值，进而可得
M（a）．
考向3已知函数极值（最值）情况求参数的值或取值范围
已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）
【温馨提醒】本题主要
考查了函数的极值以及
A．⎛0,1⎫B．（0,1）C．（-∞,0）D．⎛-∞,1⎫
零点，已知函数有零点
ç2⎪ç2⎪
⎝⎭⎝⎭
（方程有根）求参数取值
【答案】A
【解析】f（x）=x（lnx-ax）,∴f'（x）=lnx-2ax+1，∴f'（x）在
（0,+∞）上有两个不同的零点，令f'（x）=0，得2a=lnx+1，设g（x）=lnx+1，
xx
则g'（x）=-lnx，∴g（x）在（0,1）上单调递增，在（1,+∞）单调递减，当x→0
x2
时，g（x）→-∞，当x→+∞时，g（x）→0，
∴g（x）=g
（1）=1,∴0<2a<1,∴0max2
范围的三种常用的方法：
（1）直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范
围．
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
五．限时训练*提升素养
1.（2020·古丈县）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1-x）f'（x）的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A.函数f（x）有极大值f
（2）和极小值f
（1）
B.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f
（1）
C.函数f（x）有极大值f
（2）和极小值f（-2）
D.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f
（2）
【答案】D
【解析】x-2,1-x0,（1-x）f'（x）>0则f'（x）>0函数f（x）增；
-21x>2,1-x<0,（1-x）f'（x）<0则f'（x）>0函数f（x）增；选D.
2.（2020·江西省）设函数f（x）=lnx+ax2-3x，若x=1是函数f（x）是极大值点，则函数f（x）的极小值
2
为（）
A．ln2-2B．ln2-1C．ln3-2D．ln3-1
【答案】A
【解析】∵f（x）=lnx+ax2-3x（x>0），
2
∴f'（x）=1+2ax-3，
x2
∵x=1是函数的极大值点，
∴f'
（1）=1+2a-3=2a-1=0，解得a=1，
224
1x3x2-3x+2（x-1）（x-2）
∴f'（x）=+-==，
x222x2x
∴当00,f（x）单调递增；当12时，
f'（x）>0,f（x）单调递增；
∴当x=2时，f（x）有极小值，且极小值为f
（2）=ln2-2．
故选A．
⎧x2-（3m+1）x+3,x≤0
3.（2020·江西南昌）若函数f（x）=⎨恰有三个极值点，则m的取值范围是（）
⎩mx2+xlnx,x>0
⎛11⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
A．ç-2,-3⎪B．ç-2,0⎪C．ç-1,-3⎪D．ç-1,-2⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】A
【解析】由题可知f'（x）=⎧2x-（3m+1）,x≤0，当x>0时，令f'（x）=0，可化为-2m=lnx+1，令
⎨2mx+lnx+1,x>0x
⎩
g（x）=lnx+1，则g'（x）=-lnx，则函数g（x）在（0,1）上单调递增，在（1,+∞）上单调递减，g（x）的图
xx2
象如图所示，所以当0<-2m<1，即-12
x=3m+1<0，解得m<-1，综上，m∈⎛-1,-1⎫.
23ç23⎪
⎝⎭
⎧2x2,x<0
4.（2020·霍邱县）已知函数f（x）=⎨,若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则x1+x2的最大值为（）
⎩ex,x≥0
A．-2B．2ln2-2C．3ln2-2D．ln2-1
2
【答案】C
【解析】设x1当x<0时，f（x）=2x2，f（x）单调递减，不存在x1212
当x≥0时，f（x）=ex，f（x）单调递增，不存在0≤x1212
∴x1<0≤x2
令2x2=ex2=t，t≥1，则x=-t，x=lnt∴x+x=lnt-t
1122122
设g（t）=lnt-t（t≥1），则g'（t）=1-2=4-2t
2t4t4t
令g'（t）=0，解得：
t=8
当t∈[1,8）时，g'（t）>0；当t∈（8,+∞）时，g'（t）<0
则g（t）在[1,8）上单调递增，在（8,+∞）上单调递减
∴g（t）=g（8）=ln8-4=3ln2-2
max
本题正确选项：
C
5.若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是
【答案】[-2,1）
【解析】由题意可得：
函数f（x）＝x3﹣3x，所以f′（x）＝3x2﹣3．
令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1；
∴f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增，因为函数f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则其最小值必为f
（1），
∴1∈（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2，
又结合函数的性质可得：
f（a）＝a3﹣3a≥f
（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，联立解得：
﹣2≤a＜1．
故答案为[﹣2，1）．
f（x）=3x2+（a+4）x-2lnx
6.已知函数2在区间（1,2）上存在最值，则实数a的取值范围是．
【答案】（-9，-5）
【解析】
23x2+（a+4）x-2
由题可得f'（x）=3x+（a+4）-=，因为函数f（x）在区间（1,2）上存在最值，所以
xx
f'
（1）⋅f'
（2）<0，即（a+5）（a+9）<0，解得-97.（20
x∈⎡π3π⎤
f（x）=2cosx+xsinx-x⎢⎣2,2⎥⎦f（x）≤ax
20·河南）函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围
是.
【答案】[0,+∞）
【解析】解：
f⎛π⎫≤πa，f⎛π⎫=0，∴a≥0.
ç2⎪2ç2⎪
⎝⎭⎝⎭
由题意得f'（x）=-2sinx+⎡⎣sinx+x（cosx）⎤⎦-1=-sinx+xcosx-1，
令g（x）=-sinx+xcosx-1，则g'（x）=-xsinx.
当x∈⎛π,π⎤时，g'（x）<0，g（x）单调递减；
ç2⎥
⎝⎦
当x∈⎛π,3π⎫时，g'（x）>0，g（x）单调递增，
ç2⎪
⎝⎭
∴g（x）的最小值为g（π）=
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