专题26利用导数研究函数的最值与极值题版跳出题海之高中数学必做黄金100题解析版.docx

1、专题26 利用导数研究函数的最值与极值题版跳出题海之高中数学必做黄金100题解析版第 26 题 利用导数研究函数的最值与极值一题源探究黄金母题（I）求函数 f ( x ) = 1 x3 - 4x + 4 的极值；3（II）求函数 f ( x ) = 1 x3 - 4x + 4 在0 , 3上的最大值与最小值3【答案】（I）当 x = -2 时， f ( x) 有极大值，并且极大值为f (-2) = 28 ；当 x = 2 时， f ( x) 有极小值，并且极小值为3f (2) = - 4 ；（II）函数 f ( x ) = 1 x3 - 4x + 4 在0 , 3上的最3 3大值是 4 ，最小

2、值是 - 4 3【解析】（I） f ( x) = 1 x3 - 4x + 4 , f ( x) = x2 - 4 = ( x + 2)( x - 2) 3令 f ( x) = 0 ，解得 x = -2 或 x = 2 下面分两种情况讨论：（1）当 f ( x) 0 ，即 x 2 时；（2）当 f ( x) 0 ，即 -2 x 0 (t 0 ，得t 2 ，由 S(t ) 0 ，得0 t q.（I）求使得等式 F（x）=x22ax+4a2 成立的 x 的取值范围；（II）（i）求 F（x）的最小值 m（a）；（ii）求 F（x）在区间0，6上的最大值 M（a）【答案】（I） 2, 2a ；（II）

3、（i） m (a ) = 0, 3 a 2 + 2 ；（ii）-a2 + 4a - 2, a 2 + 2【温馨提醒】（I）根据 x的取值范围化简F( x) ， 即 可 得 使 得 等 式F( x) = x2 - 2ax + 4a -成立的 x 的取值范围；（ II ）（ i ） 先求函数f ( x) g ( x)和 的最小F( x)值，再根据 的定义可得 m (a ) ；（ii）根据 x的取值范围求出 F( x)M (a ) = 34 - 8a, 3 a 0 ，当 x 1 时， (x2 - 2ax + 4a - 2) - 2 x -1 = ( x - 2)( x - 2a) 所以，使得等式F(

4、 x) = x2 - 2ax + 4a - 2 成立的 x 的取值范围为2, 2a （II）（i）设函数 f ( x) = 2 x -1 ， g ( x) = x2 - 2ax + 4a - 2 ，则f ( x) = f (1) = 0 ， g ( x) = g (a ) = -a2 + 4a - 2 ，min min所 以 ， 由 F( x) 的 定 义 知 m (a ) = min f (1), g (a ) ， 即m (a ) = 0, 3 a 2 + 2 -a2 + 4a - 2, a 2 + 2（ii）当0 x 2 时， F( x) f ( x) max f (0), f (2) =

5、 2 = F(2) ，当 2 x 6 时 ，F( x) g ( x) maxg (2), g (6) = max2, 34 - 8a = maxF(2), F(6)34 - 8a, 3 a 4所以， M (a ) = 2, a 4的最大值， 进而可得M (a) 考向 3 已知函数极值（最值）情况求参数的值或取值范围已知函数 f ( x) = x (lnx - ax) 有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）【温馨提醒】本题主要考查了函数的极值以及A 0, 1 B (0,1) C (-, 0) D -, 1 零点，已知函数有零点 2 2 (方程有根)求参数取值【答案】A【 解 析 】 f (

6、x) = x (lnx - ax), f ( x) = lnx - 2ax +1 ， f ( x) 在(0, +) 上有两个不同的零点，令 f ( x) = 0 ，得 2a = lnx +1 ，设 g ( x) = lnx +1 ，x x则 g ( x) = -lnx ， g ( x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, +) 单调递减， 当 x 0x2时 ， g ( x) - ， 当 x + 时 ， g ( x) 0 ， g ( x) = g (1) = 1,0 2a 1,0 a 0 则 f ( x) 0 函数 f ( x) 增；-2 x 1,1- x 0, (1- x) f ( x) 0

7、则 f ( x) 0 函数 f ( x) 减；1 x 2,1- x 0, (1- x) f ( x) 0 则 f ( x) 2,1- x 0,(1- x) f ( x) 0 函数 f ( x) 增；选 D.2.（2020江西省）设函数 f (x) = ln x + ax2 - 3 x ，若 x = 1 是函数 f (x) 是极大值点，则函数 f (x) 的极小值2为（ ）A ln 2 - 2 B ln 2 - 1 C ln 3 - 2 D ln 3 -1【答案】A【解析】 f ( x) = lnx + ax2 - 3 x(x 0) ，2 f ( x) = 1 + 2ax - 3 ，x 2 x

8、= 1 是函数的极大值点， f (1) = 1+ 2a - 3 = 2a - 1 = 0 ，解得 a = 1 ，2 2 41 x 3 x2 -3x + 2 ( x -1)(x - 2) f ( x ) = + - = = ，x 2 2 2x 2x当0 x 0, f ( x) 单调递增；当1 x 2 时， f ( x) 2 时，f ( x) 0, f ( x) 单调递增；当 x = 2 时， f ( x) 有极小值，且极小值为 f (2) = ln2 - 2 故选 Ax2 - (3m +1)x + 3, x 03.（2020江西南昌）若函数 f (x) = 恰有三个极值点，则 m 的取值范围是（

9、 ） mx2 + x ln x, x 0 1 1 1 1 1 A - 2 , - 3 B - 2 , 0 C -1, - 3 D -1, - 2 【答案】A【解析】由题可知 f (x) = 2x - (3m +1), x 0 ，当 x 0 时，令 f ( x) = 0 ，可化为-2m = lnx +1 ，令2mx + ln x +1, x 0 xg ( x) = lnx +1 ，则 g( x) = -lnx ，则函数 g ( x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, +) 上单调递减， g ( x) 的图x x2象如图所示，所以当0 -2m 1，即 - 1 m 0 时， f ( x) = 0

10、有两个不同的解；当 x 0 ，令 f ( x) = 0 ，2x = 3m +1 0 ，解得m - 1 ，综上， m - 1 , - 1 .2 3 2 3 2x2 , x 04.（2020霍邱县）已知函数 f ( x) = , 若 f ( x1 ) = f ( x2 )( x1 x2 ) ，则 x1 + x2 的最大值为（ ） ex , x 0A - 2 B 2ln2 - 2 C 3ln2 - 2 D ln2 -12【答案】C【解析】设 x1 x2当 x 0 时， f ( x) = 2x2 ， f ( x ) 单调递减，不存在 x x 0 ，使得 f ( x ) = f ( x )1 2 1 2

11、当 x 0 时， f ( x) = ex ， f ( x ) 单调递增，不存在0 x x ，使得 f ( x ) = f ( x )1 2 1 2 x1 0 ；当t (8, +) 时， g(t ) 0则 g (t ) 在1,8)上单调递增，在(8, +) 上单调递减 g (t ) = g (8) = ln 8 - 4 = 3ln 2 - 2max本题正确选项： C5.若函数 f（x）x33x 在区间（a，6a2）上有最小值，则实数 a 的取值范围是 【答案】-2,1)【解析】由题意可得：函数 f（x）x33x， 所以 f（x）3x23令 f（x）3x230 可得，x1；f (x) 在（-，-1

12、）上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+）上递增， 因为函数 f（x）在区间（a，6a2）上有最小值，则其最小值必为 f（1），1（a，6a2）即 a16a2，又结合函数的性质可得：f（a）a33af（1）2，且 6a2a0， 联立解得：2a1故答案为2，1）f (x) = 3 x2 + (a + 4)x - 2 ln x6.已知函数 2 在区间(1, 2) 上存在最值，则实数 a 的取值范围是 【答案】(-9，- 5)【解析】2 3x2 + (a + 4) x - 2由题可得 f (x) = 3x + (a + 4) - = ，因为函数 f (x) 在区间(1, 2) 上存在最值，所以x

13、xf (1) f (2) 0 ，即(a + 5)(a + 9) 0 ，解得-9 a -5 ，故实数 a 的取值范围是(-9, -5) 7.（20x 3f ( x) = 2 cos x + x sin x - x 2 , 2 f ( x) ax20河南）函数 ，当 时， 恒成立，则实数 a 的取值范围是 .【答案】0, +)【解析】解： f a ， f = 0 ，a 0 . 2 2 2 由题意得 f ( x) = -2sin x + sin x + x (cos x) -1 = -sin x + x cos x -1，令 g ( x) = -sin x + x cos x -1 ，则 g( x ) = - x sin x .当 x , 时， g( x ) 0 ， g ( x) 单调递增， 2 g ( x ) 的最小值为 g () =