届高考数学不等式第一轮基础知识点复习教案.docx
《届高考数学不等式第一轮基础知识点复习教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届高考数学不等式第一轮基础知识点复习教案.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
届高考数学不等式第一轮基础知识点复习教案
2012届高考数学不等式第一轮基础知识点复习教案
第七编不等式
§71不等关系与不等式
1已知-1<a<0,那么-a,-a3,a2的大小关系是
答案-a>a2>-a3
2若<0,n>0且+n<0,则-n,-,,n的大小关系是
答案<-n<n<-
3已知a<0,-1<b<0,那么a,ab,ab2的大小关系是
答案ab>ab2>a
4设a=2-,b=-2,=-2,则a,b,的大小关系为
答案a<b<
设甲:
、n满足乙:
、n满足那么甲是乙的条
答案必要不充分
例1
(1)设x<<0,试比较(x2+2)(x-)与(x2-2)(x+)的大小;
(2)已知a,b,∈{正实数},且a2+b2=2,当n∈N,n>2时比较n与an+bn的大小
解
(1)方法一(x2+2)(x-)-(x2-2)(x+)
=(x-)[x2+2-(x+)2]=-2x(x-),
∵x<<0,∴x>0,x-<0,
∴-2x(x-)>0,
∴(x2+2)(x-)>(x2-2)(x+)
方法二∵x<<0,∴x-<0,x2>2,x+<0
∴(x2+2)(x-)<0,(x2-2)(x+)<0,
∴0<=<1,
∴(x2+2)(x-)>(x2-2)(x+)
(2)∵a,b,∈{正实数},∴an,bn,n>0,
而=+
∵a2+b2=2,则+=1,
∴0<<1,0<<1
∵n∈N,n>2,
∴<,<,
∴=+<=1,
∴an+bn<n
例2已知a、b、是任意的实数,且a>b,则下列不等式恒成立的是
①(a+)4>(b+)4②a2>b2
③lg|b+|<lg|a+|④(a+)>(b+)
答案④
例3(14分)已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围
解设2a+3b=(a+b)+n(a-b),
∴,4分
∴=,n=-6分
∴2a+3b=(a+b)-(a-b)7分
∵-1<a+b<3,2<a-b<4,
∴-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1,10分
∴-<(a+b)-(a-b)<,12分
即-<2a+3b<14分
1
(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中x∈R;
(2)设a∈R,且a≠0,试比较a与的大小
解
(1)(x6+1)-(x4+x2)
=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)
=(x2-1)2(x2+1)
当x=±1时,x6+1=x4+x2;
当x≠±1时,x6+1>x4+x2
(2)a-==
当-1<a<0或a>1时,a>;
当a<-1或0<a<1时,a<;
当a=±1时,a=
2适当增加不等式条使下列命题成立:
(1)若a>b,则a≤b;
(2)若a2>b2,则a2>b2;
(3)若a>b,则lg(a+1)>lg(b+1);
(4)若a>b,>d,则>;
()若a>b,则<
解
(1)原命题改为:
若a>b且≤0,则a≤b,即增加条“≤0”
(2)由a2>b2可得a>b,但只有b≥0时,才有a2>b2,即增加条“b≥0”
(3)由a>b可得a+1>b+1,但作为真数,应有b+1>0,故应加条“b>-1”
(4)>成立的条有多种,如a>b>0,>d>0,因此可增加条“b>0,d>0”还可增加条为“a<0,>0,d<0”
()<成立的条是a>b,ab>0或a<0,b>0,
故增加条为“ab>0”
3设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4,求f(-2)的取值范围
解方法一设f(-2)=f(-1)+nf
(1)(,n为待定系数),
则4a-2b=(a-b)+n(a+b),
即4a-2b=(+n)a+(n-)b,
于是得,解得,
∴f(-2)=3f(-1)+f
(1)
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4,
∴≤3f(-1)+f
(1)≤10,
故≤f(-2)≤10
方法二由,
得,
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f
(1)
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4,
∴≤3f(-1)+f
(1)≤10,故≤f(-2)≤10
方法三由确定的平面区域如图当f(-2)=4a-2b过点A时,
取得最小值4×-2×=,
当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,
取得最大值4×3-2×1=10,
∴≤f(-2)≤10
一、填空题
1已知a,b,满足<b<a且a<0,则下列不等式中恒成立的是(填序号)
①>②>0③>④<0
答案①②④
2(2009•姜堰中学高三第四次综合练习)已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围为
答案(-∞,-1)
3(2009•苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式:
ab>0,b-ad>0,->0(其中a,b,,d均为实数),用其中两个不等式作为条,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为个
答案3
4已知函数f(x)=lg2(x+1),设a>b>>0,则,,的大小关系为
答案<<
若x>>1,且0<a<1,则①ax<a;②lgax>lga;③x-a>-a;④lgxa<lga
其中不成立的有个
答案3
6已知a+b>0,则+与+的大小关系是
答案+≥+
7给出下列四个命题:
①若a>b>0,则>;
②若a>b>0,则a->b-;
③若a>b>0,则>;
④设a,b是互不相等的正数,则|a-b|+≥2
其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上)
答案②
二、解答题
8比较aabb与abba(a,b为不相等的正数)的大小
解=aa-bbb-a=,
当a>b>0时,>1,a-b>0,∴>1;
当0<a<b时,<1,a-b<0,∴>1
综上所述,总有aabb>abba
9已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,,,∈R且+>0,+>0,+>0
试说明f()+f()+f()的值与0的关系
解由+>0,得>-
∵f(x)在R上是单调减函数,∴f()<f(-)
又∵f(x)为奇函数,∴f()<-f(),∴f()+f()<0,
同理f()+f()<0,f()+f()<0,
∴f()+f()+f()<0
10某个电脑用户计划使用不超过1000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软和盒装磁盘根据需要,软至少买3片,磁盘至少买4盒,写出满足上述所有不等关系的不等式
解设买软x片、磁盘盒,
则x、满足关系:
11已知a>0,a2-2ab+2=0,b>a2试比较a,b,的大小
解∵b>a2>0,∴b,同号
又a2+2>0,a>0,∴b=>0,∴>0,
由(a-)2=2ab-2a=2a(b-)≥0,∴b-≥0
当b->0,即b>时,
由得•>a2
即(a-)(2a2+a+2)<0
∵a>0,b>0,>0,∴2a2+a+2>0,
∴a-<0,即a<,则a<<b;
当b-=0,即b=时,
∵b>a2,∴b2>a2,即b≠a
又∵a2-2ab+2=(a-b)2=0a=b与a≠b矛盾,
∴b-≠0
综上可知:
a<<b
§72一元二次不等式及其解法
1下列结论正确的是
①不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}
②不等式x2-9<0的解集为{x|x<3}
③不等式(x-1)2<2的解集为{x|1-<x<1+}
④设x1,x2为ax2+bx+=0的两个实根,且x1<x2,则不等式ax2+bx+<0的解集为{x|x1<x<x2}
答案③
2(2007•湖南理)不等式≤0的解集是
答案(-1,2]
3(2008•天津理)已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)•f(x+1)≤1的解集是
答案{x|x≤-1}
4在R上定义运算:
x=x(1-)若不等式(x-a)(x+a)<1对任意实数x成立,则a的取值范围是
答案-<a<
(2008•江苏,4)A={x|(x-1)2<3x-7},则A∩Z的元素的个数为
答案0
例1解不等式≥(x2-9)-3x
解原不等式可化为-x2+≥x2--3x,
即2x2-3x-7≤0
解方程2x2-3x-7=0,得x=
所以原不等式的解集为例2已知不等式ax2+bx+>0的解集为(,),且0<<,求不等式x2+bx+a<0的解集
解方法一由已知不等式的解集为(,)可得a<0,
∵,为方程ax2+bx+=0的两根,
∴由根与系数的关系可得
∵a<0,∴由②得<0,
则x2+bx+a<0可化为x2++>0,
①÷②得==-<0,
由②得==•>0,
∴、为方程x2+x+=0的两根
∵0<<,
∴不等式x2+bx+a<0的解集为方法二由已知不等式解集为(,),得a<0,
且,是ax2+bx+=0的两根,
∴+=-,=,
∴x2+bx+a<0x2+x+1>0
()x2-(+)x+1>0(x-1)(x-1)>0
>0
∵0<<,∴>,∴x<或x>,
∴x2+bx+a<0的解集为
例3已知不等式>0(a∈R)
(1)解这个关于x的不等式;
(2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围
解
(1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0
①当a=0时,由-(x+1)>0,得x<-1;
②当a>0时,不等式化为(x+1)>0,
解得x<-1或x>;
③当a<0时,不等式化为(x+1)<0;
若<-1,即-1<a<0,则<x<-1;
若=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;
若>-1,即a<-1,则-1<x<
综上所述,
a<-1时,解集为;
a=-1时,原不等式无解;
-1<a<0时,解集为;
a=0时,解集为{x|x<-1};
a>0时,解集为
(2)∵x=-a时不等式成立,
∴>0,即-a+1<0,
∴a>1,即a的取值范围为a>1
例4(14分)已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围
解方法一f(x)=(x-a)2+2-a2,
此二次函数图象的对称轴为x=a,2分
①当a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)in=f(-1)=2a+3,4分
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)in≥a,
即2a+3≥a,解得a≥-3,又a<-1,∴-3≤a<-1;6分
②当a∈[-1,+∞)时,f(x)in=f(a)=2-a2,8分
由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,又a≥-1,
∴-1≤a≤112分
综上所述,所求a的取值范围为-3≤a≤114分
方法二由已知得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,4分
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或,10分
解得-3≤a≤114分