全等三角形.docx
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全等三角形
12.1全等三角形
看一看：
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
探究：
把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状，大小完全一样吗？
把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？
从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起能够完全重合吗？
概念：
全等形：
形状，大小相同的图形放在一起能够完全重合，那么，能够完全重合的两个图形叫做全等形。
全等三角形：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
思考：
在图12.1-1中，把ABC沿直线BC平移，得到DEF。
在图12.1-2中，把ABC沿直线BC翻折180°，得到DBC。
A
在图12.1-3中，把ABC绕点A旋转，得到ADE。
D
A
那么，各图形中的两个三角形全等吗？
图12.1-2
图12.1-1
C
B
F
E
C
B
D
E
D
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，例如，在图12.1-2中，△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作
△ABC≌△DBC
C
A
B
图12.1-3
观察之后得到结论：
一个图形经过平移，翻折，旋转后，位置变化了，但是形状，大小都没有发生改变，即：
平移，翻折，旋转前后的图形全等。
对应顶点，对应边，对应角的认识：
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
例如：
在图12.1-1中，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边，∠A
和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
思考：
图12.1-1中，△ABC≌△DBC，对应边有什么关系？
对应角呢？
全等三角形有这样的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
练习：
B
C
1.如图1，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。
O
A
D
图1
A
2.如图2，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，写出其他的对应边和对应角。
B
M
N
C
3.如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角，在△EFG中，FG是最长边，在△NMH中，MHZ是最长边，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm；
（1）
E
写出其他对应边和对应角；
（2）
H
求线段NM及线段HG的长度。
M
F
G
N
4.如下图，△ABC≌△DEC，CA和CD,CB和CE是对应边，∠ACD和∠BCE相等吗？
为什么？
D
C
B
A
E
5.如图，△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点。
（1）写出他们的对应边和对应角；
（2）
A
若∠A=50°，∠ABD=39°，且∠DBC=∠ECB，求∠DBC的度数。
E
D
C
B
12.2三角形全等的判定
A’
A
通过上节课我们对全等三角形有了一定的认识，如果△ABC≌△A’B’C’，那么他们的对应边相等，对应角也相等，反过来，根据全等三角形的定义，如果△ABC与△A’B’C’满足三条边分别相等，三个角分别相等，即：
AB=A’B’BC=B’C’AC=A’C’
∠A=∠A’∠B=∠B’∠C=∠C’
就能判定△ABC≌△A’B’C’（图12.2-1）
C’
B’
C
B
思考：
一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？
上述六个条件中，有些条件是相关的，能否在上述六个条件中选择部分条件，简单快捷的判定两个三角形全等呢？
探究1：
先任意画一个△ABC，在画一个△A’B’C’，使A’B’=AB，B’C’=BC，A’C’=AC，
A’
A
把画好的△A’B’C’剪下来，放到△ABC上，他们全等吗？
画一个△A’B’C’，使A’B’=AB，B’C’=BC，A’C’=AC，方法如下：
（1）画B’C’=BC；
（2）分别以点B’，C’为圆心，线段AB,AC长为半径画弧，两弧相交于点A’；
（3）连接线段A’B’，A’C’。
C’
B’
C
B
图12.2-1
图12.2-1给出了画△A’B’C’的方法，你是这样画的吗？
探究1的结果反映了什么规律？
有探究1可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）
D
C
B
A
例1:
在如图12.2-2所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：
△ABD≌△ACD。
练习：
1.如图：
C是AB的中点，AD=CE,CD=BE.求证△ACD≌△CBE。
A
C
D
B
E
2.工人师傅常用角尺平分任意一个角，做法如下：
如图，∠AOB是一个任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，为什么？
3.如图，AB=CD,AD=BC,请问AD与BC平行吗？
AB与CD平行吗？
D
A
C
B
4.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,BD上的点，且AD=BD,AE=BE=BC,求
B
∠A的度数。
E
A
D
C
探究2：
如图：
有两个形状大小完全相同的三角形纸片，但是各自有一条边被老鼠所咬，只剩下两条边和一个角完好无损，各自咬的两条边正好是对应边，若我们将两块纸板放在白纸上，将余下的完整的两条边和一个角临摹在纸上，然后将完整的两边连起来，请问由这两个残缺的纸片所临摹的两个三角形是否全等？
D
A
C
D
E
F
B
A
F
E
C
B
由探究2可以得到以下基本结论，用它可以判定两个三角形全等：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）
也就是说，三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，那么这个三角形的形状和大小就确定了。
例2:
如图，有一个池塘，要测池塘两个端点A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使得CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是AB的距离，为什么？
我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？
为什么？
探究3：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
探究三的结论：
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
练习：
1.如图，点E，F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,求证∠A=∠D.
D
A
F
C
E
B
2.如图，在△ABC中，M在BC上，D在AM上，AB=AC，BD=CD,
（1）求证：
MB=MC；
（2）
A
若M是直线AD（不同于A、D两点）上的任意一点，其他条件不变，原结论是否成立？
D
C
B
M
探究4：
如图：
有两个形状大小完全相同的三角形纸片，但是各自有两条边被老鼠所咬，只剩下两个角和一条边完好无损，剩下的两个角正好是对应角，边也是对应边，若我们将两块纸板放在白纸上，将余下的完整的两个角和一条边临摹在纸上，然后将被咬的两边延长至有交点，组成两个新的三角形，请问由这两个残缺的纸片所临摹的两个三角形是否全等？
C
E
F
B
D
A
F
E
C
B
由探究4可以得到一个结论，用来判定两个三角形全等：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了。
例3:
如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求证AD=AE。
A
A
分析：
证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE。
D
E
C
B
例4:
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，求证：
D
A
△ABC≌△DEF。
分析：
如果能证明∠C=∠F，就可以利用“角边角”
证明△ABC≌△DEF。
F
E
C
B
因此，我们可以得到以下结论：
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度就确定了。
练习：
1.如图：
AC、BD相交于点O，OA=OB,OC=OD,则图中全等三角形的对数是（）
C
D
A、1对B、2对C、3对D、4对
.
B
A
A’
A
2、如图，已知△ABC≌△A’B’C’,AD,A’D’分别为
△ABC，△A’B’C’的角平分线，求证：
AD=A’D’.
B
D
B’
C
D’
C’
3.
A
如图，点B在射线AE上，∠CAE=∠DAE,∠CBE=∠DBE,求证：
AC=AD.
B
D
C
E
思考1：
三角分别相等的两个三角形全等吗？
解答此问题后，把三角形全等的判定方法做一个小结。
思考2：
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或者两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了，如果满足斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？
探究5：
任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A’B’C’,使∠C’=90°，B’C’=BC,A’B’=AB,把画好的Rt△A’B’C’剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
画一个Rt△A’B’C’,使∠C’=90°，B’C’=BC,A’B’=AB:
（1）画∠MC’N=90°；
（2）在射线C’M上截取B’C’=BC;
（3）以点B’为圆心，AB为半径画弧，交射线C’N于点A；
（4）连接A’B’。
N
A’
A
C’
M
B’’
C
B
探究5的结果反映了什么规律？
由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的方法：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边直角边”或者“HL”）
例5:
如图：
AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD，求证：
BC=AD.
C
D
B
A
练习：
1.
D
如图：
C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D,E两地。
DA⊥AB,EB⊥AB,D,E与路段A,B的距离相等吗？
为什么？
A
C
E
B
2.如图，AB=CD，AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE=BF,求证AE=DF.
D
C
E
F
B
A
A
3.在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求证：
AB=AC.
F
E
B
C
D
A
4.如图，在△ABC中，AB=AC,F,E分别为AB,AC上的一点，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N,且AM=AN,求证：
△ABE≌△ACF.
N
M
E
F
C
B
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