全等三角形.docx

1、全等三角形12.1全等三角形 看一看： 下列各组图形的形状与大小有什么特点？ 探究：把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状，大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起能够完全重合吗？概念：全等形：形状，大小相同的图形放在一起能够完全重合，那么，能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。思考： 在图12.1-1中，把 ABC沿直线BC平移，得到 DEF。 在图12.1-2中，把 ABC沿直线BC翻折180，得到 DBC。A 在图12.1-3中，把 A

2、BC绕点A旋转，得到 ADE。DA 那么，各图形中的两个三角形全等吗？图12.1-2图12.1-1CBFECBDED 全等用符号“ ”表示，读作“全等于”记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，例如，在图12.1-2中，ABC和DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作ABC DBCCAB图12.1-3观察之后得到结论：一个图形经过平移，翻折，旋转后，位置变化了，但是形状，大小都没有发生改变，即：平移，翻折，旋转前后的图形全等。对应顶点，对应边，对应角的认识：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。例

3、如：在图12.1-1中，ABC和DEF全等，记作ABCDEF ，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边，A 和D，B和E，C和F是对应角。思考：图12.1-1中，ABC DBC，对应边有什么关系？对应角呢？全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。练习：BC1.如图1，OCA OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。OAD 图1A2.如图2，ABN ACM，B和C是对应角，AB和AC是对应边，写出其他的对应边和对应角。BMNC3.如图，EFGNMH，F和M是对应角，在EFG中，

4、FG是最长边，在NMH中，MHZ是最长边，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm；（1)E写出其他对应边和对应角；（2)H求线段NM及线段HG的长度。MFGN4.如下图，ABCDEC，CA和CD,CB和CE是对应边，ACD和BCE相等吗？为什么？DCBAE5.如图，AECADB，点E和点D是对应顶点。（1）写出他们的对应边和对应角；（2）A若A=50，ABD=39，且DBC=ECB，求DBC的度数。EDCB12.2三角形全等的判定AA 通过上节课我们对全等三角形有了一定的认识，如果ABCABC，那么他们的对应边相等，对应角也相等，反过来，根据全等三角形的定义，如果ABC与ABC满

5、足三条边分别相等，三个角分别相等，即：AB=AB BC=BC AC=ACA=A B=B C=C就能判定ABCABC(图12.2-1)CBCB思考： 一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？ 上述六个条件中，有些条件是相关的，能否在上述六个条件中选择部分条件，简单快捷的判定两个三角形全等呢？ 探究1：先任意画一个ABC，在画一个ABC，使AB=AB，BC =BC，AC=AC，AA把画好的ABC剪下来，放到ABC上，他们全等吗？画一个ABC，使AB=AB，BC =BC，AC=AC，方法如下：（1）画BC =BC；（2）分别以点B，C为圆心，线段AB,AC长为半径画弧，

6、两弧相交于点A；（3）连接线段AB，AC。CBCB图12.2-1图12.2-1给出了画ABC的方法，你是这样画的吗？探究1的结果反映了什么规律？有探究1可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）DCBA例1: 在如图12.2-2所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：ABDACD。练习：1.如图：C是AB的中点，AD=CE,CD=BE.求证ACDCBE。ACDBE2.工人师傅常用角尺平分任意一个角，做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同

7、的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线，为什么？ 3.如图，AB=CD,AD=BC,请问AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？DACB4.如图，在ABC中，D,E分别是AC,BD上的点，且AD=BD,AE=BE=BC,求BA的度数。EADC探究2： 如图：有两个形状大小完全相同的三角形纸片，但是各自有一条边被老鼠所咬，只剩下两条边和一个角完好无损，各自咬的两条边正好是对应边，若我们将两块纸板放在白纸上，将余下的完整的两条边和一个角临摹在纸上，然后将完整的两边连起来，请问由这两个残缺的纸片所临摹的两个三角形是否全等？DACDEFBAFECB由探究2可以得到以下基本结论，

8、用它可以判定两个三角形全等：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）也就是说，三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，那么这个三角形的形状和大小就确定了。例2:如图，有一个池塘，要测池塘两个端点A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使得CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是AB的距离，为什么？ 我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？探究3：如图，把一长一短的两根木棍的

9、一端固定在一起，摆出ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到ABD，这个实验说明了什么？ 探究三的结论： 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。练习：1.如图，点E，F在BC上，BE=CF,AB=DC,B=C,求证A=D.DAFCEB2.如图，在ABC中，M在BC上，D在AM上，AB=AC，BD=CD,(1)求证：MB=MC；(2)A若M是直线AD（不同于A、D两点）上的任意一点，其他条件不变，原结论是否成立？DCBM探究4：如图：有两个形状大小完全相同的三角形纸片，但是各自有两条边被老鼠所咬，只剩下两个角和一条边完好无损，剩下的两个角正好是对应角，边也是对应边，若我们将两块纸板

10、放在白纸上，将余下的完整的两个角和一条边临摹在纸上，然后将被咬的两边延长至有交点，组成两个新的三角形，请问由这两个残缺的纸片所临摹的两个三角形是否全等？CEFBDAFECB由探究4可以得到一个结论，用来判定两个三角形全等： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了。例3:如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,B=C,求证AD=AE。AA 分析：证明ACDABE，就可以得出AD=AE。DECB例4:如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，求证：DAAB

11、CDEF。分析：如果能证明C=F，就可以利用“角边角”证明ABCDEF。FECB因此，我们可以得到以下结论：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度就确定了。练习：1.如图：AC、BD相交于点O，OA=OB,OC=OD,则图中全等三角形的对数是（ ）CD A、1对 B、2对 C、3对 D、4对.BAAA2、如图，已知ABCABC ,AD,AD分别为ABC，ABC的角平分线，求证：AD=AD.BDBCDC3.A如图，点B在射线AE上，CAE=DAE,CBE=DBE,求证：AC=AD.BDCE思考1：

12、三角分别相等的两个三角形全等吗？解答此问题后，把三角形全等的判定方法做一个小结。思考2：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或者两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了，如果满足斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？探究5： 任意画一个RtABC，使C=90，再画一个RtABC ,使C=90，BC=BC,AB=AB,把画好的RtABC剪下来，放到RtABC上，它们全等吗？画一个RtABC,使C=90，BC=BC,AB=AB:（1）画MCN=90；（2）在射线CM

13、上截取BC=BC;（3）以点B为圆心，AB为半径画弧，交射线CN于点A；（4）连接AB。NAACMBCB探究5的结果反映了什么规律？由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边直角边”或者“HL”）例5:如图：ACBC,BDAD,垂足分别为C,D,AC=BD，求证：BC=AD.CDBA练习：1.D如图：C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D,E两地。DAAB,EBAB,D,E与路段A,B的距离相等吗？为什么？ACEB2.如图，AB=CD，AEBC,DFBC,垂足分别为E,F,CE=BF,求证AE=DF.DCEFBAA3.在ABC中，D是BC的中点，DEAB,DFAC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求证：AB=AC.FEBCDA4.如图，在ABC中，AB=AC,F,E分别为AB,AC上的一点，AMCF于M，ANBE于N,且AM=AN,求证：ABEACF.NMEFCB