辽宁省大连高新区名校联盟届九年级上学期期中考试数学试题含答案和解析.docx

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辽宁省大连高新区名校联盟届九年级上学期期中考试数学试题含答案和解析

辽宁省大连高新区名校联盟2019届九年级上学期期中考试

数学试题

一.选择题（每小题3分，共30分）

1．平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣3）

2．方程x2﹣3x＝0的解是（　　）

A．x＝3B．x＝0C．x＝1或x＝3D．x＝3或x＝0

3．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　）

A．（﹣1，5）B．（1，5）C．（﹣1，﹣5）D．（1，﹣5）

4．如图，在⊙O中，弦AB的长为24，圆心O到AB的距离为5，则⊙O的半径为（　　）

A．12

B．12

C．13D．12

5．下列方程中没有实数根的是（　　）

A．x2﹣x﹣1＝0B．x2+3x+2＝0

C．2018x2+11x﹣20＝0D．x2+x+2＝0

6．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（　　）

A．10°B．15°C．20°D．25°

7．若抛物线y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（　　）

A．抛物线口向上

B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小

C．对称轴为x＝﹣1

D．c的值为﹣3

8．在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手21次，设有x人参加会议，则可列方程为（　　）

A．x（x+1）＝21B．x（x﹣1）＝21

C．

D．

9．如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝m°，则∠BOC的度数为（　　）

A．m°B．2m°C．（90﹣m）°D．（180﹣2m）°

10．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

则当y＜6时，x的取值范围是（　　）

x

…

﹣2

﹣1

0

1

2

…

y

…

11

6

3

2

3

…

A．﹣1＜x＜3B．﹣3＜x＜3C．x＜﹣1或X＞

3D．x＞3

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根，那么a＝　　．

12．如图，AB是圆O的直径，点C在圆

O上，若∠A＝4

0°，则∠B的度数为　　．

13．将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数解析式为　　．

14．设

x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是　　．

15．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是　　m．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是　　．

三、解答题

17．（9分）解方程：

（x﹣2）（x﹣5）+1＝0

18．（9分）抛物线y＝2x2+bx+c经过（﹣3，0），（1，0）两点

（1）求抛物线的解析式，并求出其开口方向和对称轴

（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．

19．（9分）如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于A点，PB切⊙O于B点，已知OA＝1，OP＝2，求PB的长．

20．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；并写出点A2、B2、C2坐标；

（3）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A3B3C3；并写出点A3、B3、C3坐标．

四、解答题

21．（9分）如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，求：

鸡场的长和宽各为多少米？

22．（9分）如图，已知直线y＝﹣2x+6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上

（1）求抛物线的解析式；

（2）在

（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB≌△POC？

若存在，求出点P的坐标：

若不存在，请说明理由．

23．（10分）如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．

（1）求证：

BC为⊙O的切线；

（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB＝

，CD＝9，求线段BC和EG的长．

五、解答题

24．（11分）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件

；如果售价超过50元但不超过8

0元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

25．（12分）在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．

（1）如图1，当α＝90°时，求证：

AM＝CN；

（2）如图2，当α＝45°时，问线段BM、MN、AN之间有何数量关系，并证明；

（3）如图3，当α＝45°时，旋转∠MON，问线段之间BM、MN、AN有何数量关系？

并证明．

26．（12分）如图1，抛物线C1：

y＝ax2+k的顶点A（0，﹣2），且过点（2，0），点B的坐标为（1，0），直线AB交抛物线C1于另一点C．

（1）抛物线的解析式为　　；

（2）求点C的坐标：

（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C，且抛物线C的顶点为P，交x轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

参考答案

一.选择题

1．解：

由题意，得

点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3），

故选：

C．

2．解：

x2﹣3x＝0

x（x﹣3）＝0

∴x＝0或x﹣3＝0，

∴x1＝0，x2＝3．

故选：

D．

3．解：

因为y＝﹣（x﹣1）2+5是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，5）．

故选：

B．

4．解：

∵OC⊥AB，

∴AC＝BC＝

AB＝12，

则OA＝

＝13，

故选：

C．

5．解：

当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，△＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，方程有两个不相等的实数根，故选项A不合题意；

当a＝1，b＝3，c＝2时，△＝b2﹣4ac＝9﹣8＝1＞0，方程有两个不相等的实数根，故选项B不合题意；

当a＝2018，b＝11，c＝﹣20时，△＝b2﹣4ac＝112+4×2018×20＞0，方程有两个不相等的实数根，故选项C不合题意；

当a＝1，b＝﹣1，c＝2时，△＝b2﹣4ac＝1﹣8＝﹣7＜0，方程没有实数根，故选项D合题意．

故选：

D．

6．解：

∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，

∴CE＝CF，∠DFC＝∠BEC＝60°，∠EFC＝45°，

∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°．

故选：

B．

7．解：

∵y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），

∴c＝﹣3，故D正确，不符合题意，

∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故A、

C正确，不符合题意，B不正确，

故选

：

B．

8．解：

设x人参加这次聚会，则每个人需握手：

x﹣1（次）；

依题意，可列方程为：

＝21；

故选：

D．

9．解：

∵OA＝OB，

∴∠B＝∠OAB＝m°，

∵AC∥OB，

∴∠CAB＝∠B＝m°，

∴∠BOC＝2∠CAB＝2m°，

故选：

B．

10．解：

由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝1，

所以，x＝3时，y＝﹣6，

所以，y＜6时，x的取值范围为﹣1＜x＜3．

故选：

A．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．解：

把x＝2代入x2+2x+a＝0，得

（﹣2）2+2×（﹣2）+a＝0，

解得a＝0．

故答案为：

0．

12．解：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，

故答案为50°．

13．解：

二次函数y

＝x2+1的顶点坐标为（0，1），

∵函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，

∴0﹣2＝﹣2，

1﹣3＝﹣2，

∴平移后的二次函数顶点坐标为（﹣2，﹣2），

∴所得二次函数解析式为y＝（x+2）2﹣2．

故答案为：

y＝（x+2）2﹣2．

14．解：

由根与系数的关系可知：

x1+x2＝﹣3，

故答案为：

﹣3

15．解：

由题意得：

t＝4时，h＝0，

因此0＝16a+19.6×4，

解得：

a＝﹣4.9，

∴函数关系为h＝﹣4.9t2+19.6t，

足球距地面的最大高度是：

＝19.6（m），

故答案为：

19.6．

16．解：

如图连接PC．

在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，

∴AB＝4，

根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，

∴A′P＝PB′，

∴PC＝

A′B′＝2，

∵CM＝BM＝1，

又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，

∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．

故答案为：

3．

三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）

17．解：

原方程化为：

x2﹣7x+11＝0，

∴△＝49﹣4×11＝5，

∴x＝

；

18．解：

（1）将点（﹣3，0）、（1，0）代入解析式可得：

，

解得：

，

则抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣6，开口向上，对称轴为直线x＝

＝﹣1；

（2）∵y＝2x2+4x﹣6

＝2（x2+2x）

＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6

＝2（x+1）2﹣8，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8）．

19．解：

连接OB．

∵PB是⊙O切线，

∴PB⊥OB，

∴∠PBO＝90°，

在Rt△POB中，OB

＝1，OP＝2，

∴PB＝

＝

＝

．

20．解：

（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（﹣1，﹣1）、B2（﹣4，﹣2）、C2（﹣3，﹣4）；

（3）如图，△A3B3C3即为所求，A3（﹣1，1）、B3（﹣2，4）、C3（﹣4，3）．

四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）

21．解：

设鸡场的长为x，因为篱笆总长为33米，由图可知宽为：

米，

则根据题意列方程为：

x×

＝150，

解得：

x1＝15，x2＝20（大于墙长，舍去）．

宽为：

10米．

所以鸡场的长为15米，宽为10米．

22．解：

（1）由y＝﹣2x+6＝0，得x＝3

∴B（3，0）．

∵A（1，4）为顶点，

∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2+4，解得a＝﹣1．

∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）存在．

当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，

∴C（0，3）．

∵OB＝OC＝3，OP＝OP，

∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC．

作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，则∠POM＝∠PON＝45°．

∴PM＝PN．

设P（m，m），则m＝﹣m2+2m+3，解得m＝

．

∵点P在第三象限，

∴P（

）．

23．

（1）证明：

如图1，连接OE，OC；

∵CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC

∴△OEC≌△OBC（SSS）

∴∠OBC＝∠OEC

又∵DE与⊙O相切于点E

∴∠OEC＝90°

∴∠OBC＝90°

∴BC为⊙O的切线．

（2）解：

如图2，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，

∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B

∴DA＝DE，CE＝CB，

在Rt△DFC中，CF＝

＝1，

设AD＝DE＝BF＝x，

则x+x+1＝9，

x＝4，

∵AD∥BG，

∴∠DAE＝∠EGC，

∵DA＝DE，

∴∠DAE＝∠AED；

∵AD∥BG，

∵∠AED＝∠CEG，

∴∠EGC＝∠CEG，

∴CG＝CE＝CB＝5，

∴BG＝10，

在Rt△ABG中，AG＝

＝6

，

∵AD∥CG，

∴

＝

＝

，

∴EG＝

×6

＝

．

五、解答题[本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）

24．解：

（1）当50≤x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，

当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．

则

，

（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量可以列出函数关系式

w＝﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80）

w＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140），

（3）当50≤x≤80时，w＝﹣x2+300x﹣10400，

当x＝80有最大值，最大值为7200，

当80＜x＜140时，w＝﹣3x2+540x﹣16800，

当x＝90时，有最大值，最大值为7500，

故售价定为90元．利润最大为7500元．

25．证明：

（1）如图1，连接OA，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，

∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，

∴∠MON＝∠AOC＝90°，

∴∠AOM＝∠CON，且AO＝CO，∠BAO＝∠ACO＝45°，

∴△AOM≌△CON（ASA）

∴AM＝CN；

（2）BM＝AN+MN，

理由如下：

如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO

，AO，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，

∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，

∵BG＝AN，∠ABO＝∠NAO＝45°，AO＝BO，

∴△BGO≌△AON（SAS）

∴OG＝ON，∠BOG＝∠AON，

∵∠MON＝45°＝∠AOM+∠AON，

∴∠AOM+∠BOG＝45°，且∠AOB＝90°，

∴∠MOG＝∠MON＝45°，且MO＝MO，GO＝NO，

∴△GMO≌△NMO（SAS）

∴GM＝MN，

∴BM＝BG+GM＝AN+MN；

（3）MN＝AN+BM，

理由如下：

如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，

∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，

∴∠GBO＝∠NAO＝135°，

∵MO⊥GO，

∴∠NOG＝90°＝∠AOB，

∴∠BOG＝∠AON，且AO＝BO，∠NAO＝∠GBO，

∴△NAO≌△GBO（ASA）

∴AN＝GB，GO＝ON，

∵MO＝MO，∠MON＝∠GOM＝45°，GO＝NO，

∴△MON≌△MOG（SAS）

∴MN＝MG，

∵MG＝MB+BG，

∴MN＝AN+BM．

26．解：

（1）抛物线C1：

的顶点A（0，﹣2），则k＝﹣2，

则y＝ax2﹣2，将点（2，0）代入上式得：

0＝a

（2）2﹣2，

解得：

a＝

，

则抛物线的表达式：

y＝

x2﹣2…①，

故答案为：

y＝

x2﹣2；

（2）将点A、B的坐标代入y＝kx+b得：

，解得：

，

故直线AB的表达式为：

y＝2x﹣2…②，

联立①②并解得：

x＝0或4（舍去0），

故点C（4，6）；

（3）设抛物线C2表达式为：

y＝

x2﹣2﹣m，设点M（n，0），

则

n2﹣2﹣m＝0，抛物线C2表达式为：

y＝

x2﹣

n2…③，

联立②③并解得：

x＝2﹣n或2+n，则点N（2﹣n，2﹣2n），

则NQ＝2﹣2n，MQ＝2﹣2n，

∴△MNQ为等腰直角三角形，则∠MNQ＝45°，

又点P（0，﹣

n2），即点M（n，0），

设直线MN与y轴的交点为H，则OH＝OM，则点H（0，﹣n），

作NK⊥y轴于点K，在△NKH中，NK＝KH，

则NH＝

（2﹣n），又HP＝OH+OP＝

n2﹣n，

∵PN为角平分线，则∠MNP＝∠PNQ＝22.5°，

故NH＝HP，

则

（2﹣n）＝

n2﹣n，

解得：

n＝2或﹣2

（舍去2），

∵

n2﹣2﹣m＝0，解

得：

m＝2．