初一作业线与角.docx

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初一作业线与角

第二篇

线

段

与

角

第二讲线与角

第一部分基础知识与基本技能

1.什么叫做“点”？

定义：

在几何学上，点是指没有长、宽、厚，而只有位置，不可分割的图形。

点是几何图形中最基本的元素。

只有点才具有名称：

A点、B点；线段AB字母标在线段的两个端点上；△ABC字母标在三角形的三个顶点上；平行四边形ABCD字母标在其四个顶点上；圆呢？

圆周上没法标，字母就标在圆心上。

你注意到了吗？

在教材中，我没有见到过点的定义。

我的定义是：

点可以看作是半径为无穷小的圆。

一家之言，仅供参考。

2．什么叫直线？

教材上说：

一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象。

我的轨迹定义：

两个动点同时同地，沿相反方向，无限运动下去所形成的轨迹，就叫做直线。

3．直线如何表示？

直线的表示方法有两种：

如图2-3甲所示：

在直线上任取两点A，B，那么，该直线就可以表示为：

直线AB，或直线BA，其中的字母无序。

如图2-3乙所示：

在直线的上方，写一个小写的字母a，那么，该直线就可以表示为：

直线a。

4．直线有何特性？

直线的特性是：

①直线是向两边无限延伸着的；

②直线没有端点；

③直线无始无终无方向；神龙不见首和尾；

④直线无长度。

5．什么叫射线？

定义：

直线上一点与它一旁的部分。

就叫做射线。

我的轨迹定义：

一个动点沿某一确定方向，无限运动下去，所形成的轨迹，叫做射线。

起点一般叫做O点。

6．射线如何表示？

射线的表示方法有两种：

如图2-6甲所示：

在射线上任取相异于O的一点A，那么，该射线就可以表示为：

射线OA，但不能表示为射线AO，其中的字母有序。

如图2-6乙所示：

在射线的上方，写一个小写的字母a，那么，该射线也可以表示为：

射线a。

7．射线有何特性？

射线的特性是：

①射线是向一边无限延伸着的；

②射线有一个端点；即起点；

③射线有始无终有方向；神龙见首不见尾；

④射线无长度。

8．什么叫线段？

定义：

直线上相异两点与它们之间的部分就叫做线段。

我的轨迹定义：

一个动点，沿某一个确定的方向，运动而后止，所形成的轨迹，就叫做线段。

9．线段如何表示？

线段的表示方法有两种：

如图2-9甲所示：

在线段上有一个起点A，有一个终点B，那么，该线段就可以表示为：

线段AB，或者，线段BA，其中的字母无序。

如图2-9乙所示：

在线段的上方，写一个小写的字母a，那么，该线段也可以表示为：

线段a。

10．线段有何特性？

线段的特性是：

①线段有两个端点：

起点与终点；

②线段有始有终无方向；神龙见首也见尾；

③线段有长度，可以比长短。

证明线段的相等关系、大小关系、和差倍分关系是平面几何证明的基础。

11．什么叫线段的中点？

定义：

将一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。

在几何中，线段的中点是我们关注的重点。

利用线段的中点我们可以构造三角形的中位线，梯形的中位线，直角三角形的斜边上的中线等等。

12．线段的中点如何表示？

如图2-12所示：

在线段AB上有一个中点O，那么，该线段的中点就可以表示为：

AO=OB，或者，OB=OA，其中的字母无序。

在该图形中，有如下等量关系：

1．AB=BA；2．OA=OB；3．AB=2OA；4．AB=2OB。

13．什么叫距离？

如图2-12所示：

连接两点的线段AB的长度，叫做A、B两点之间的距离。

须知：

两点之间的距离是指连接两点的线段AB的长度，而不是线段AB本身。

14．什么叫公理？

公理是人类在长期实践中总结出来的一些基本的数学事实。

它反映了在一定范围内明显的客观真理性。

在几何学中，公理曾经被称作公设，它是几何学的基石。

我们将逐步学到它们。

公理是不需要加以证明的命题。

15．什么叫定理？

在几何学中，通过一定的论据，比如公理、定义而证明为正确的结论，就叫做定理。

例如：

对顶角相等就是一个定理。

在几何学中，有几十条定理，你必须都会证明。

否则，你将困难重重，寸步难行。

16．什么是直线的性质公理？

过两点有且只有一条直线。

其中“有”表示存在性，“只有”表示唯一性。

事实依据：

用一个钉子把一根木条钉在墙上，木条可以绕着钉子转动，当你用两个钉子把木条钉在墙上时，木条就被固定住了。

如图2-16所示。

17．什么是线段的性质公理？

两点之间线段最短。

我们扔一个肉包子出去，小狗会直冲着落点而去，决不会绕一个弯，因此，我们戏称这是连小狗都明白的一个公理。

事实依据：

如图2-17所示，从A地到B地有多条路可走，n、q、p、m、k。

一般地，人们会走中间的直路P，而不会绕弯路，这是因为直路AB最短。

在长征路上，林彪曾攻击毛泽东指挥红军机动作战是“走弓背路”，会“造成疲劳”、“拖垮部队”，鼓吹要“走捷径”，走“弓弦路”。

在会理，林彪又吵吵闹闹，煽动对毛泽东的不满，并写信给中央军委，要求撤换领导。

毛泽东严斥林彪道：

“你懂得什么？

你不过是个娃娃。

”

18．什么叫做角？

定义1：

具有公共端点的两条射线组成的几何图形，叫做角。

定义2：

角是由一条射线绕着端点旋转所形成的几何图形。

我的轨迹定义：

从某一个定点出发的两个动点，沿不同的方向无限运动下去所形成的轨迹，就叫做角。

如图2-18所示：

定义1是用静止的观点来定义的，定义2和轨迹的定义是用运动的观点来定义的。

19．如何表示角？

如图2-19所示：

公共端点叫做角的顶点，两条射线OA，OB叫做角的边。

角的表示方法有两种：

1记作∠AOB或∠BOA。

须知：

角的顶点必须写在中间。

②记作∠β；

20．如何对角进行分类？

在几何学中，把一个圆周平均分成360份，每一份圆弧所对的圆心角叫做1°的角。

那么，就有如下分类：

①周角：

360º的角叫做周角；如图2-20所示：

∠AOF是周角。

②平角：

180º的角叫做平角；如图2-20所示：

∠AOE是平角。

③直角：

90º的角叫做直角；如图2-20所示：

∠AOC是直角。

④钝角：

小于180º而大于90º的角叫做钝角；∠AOD是钝角。

⑤锐角：

小于90º而大于0º的角叫做锐角；∠AOB是锐角。

以上五种角是必须熟练掌握的，请你认真对待。

21．如何用叠合法比较角的大小？

比较角的大小可以采用叠合比较法：

把两个角的顶点重合在一起，一条边叠合在一起，比较另一条边的位置关系。

如果它们重合，说明两个角相等；如图2-21甲所示。

∠ABC=∠DEF；如果它们不重合，则落在两条射线内部的那一个角小，另一个角就大。

如图2-21乙所示，∠ABC＞∠DEF；如图2-21丙所示，∠DEF＞∠ABC；

求证角的大小关系，和差倍分关系是几何证明题的一大类型。

采用叠合法比较角的大小关系是基础。

22．如何按照角的度数比较角的大小？

角有大小，角可以度量。

我们可以用量角器度量出角的度数，然后用求差法比较两个角的大小。

角的大小和它们度数的大小是一致的。

角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分。

23．什么叫补角？

如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫做互为补角。

补角是指两个角的数量关系。

例如：

如果∠α+∠β=180°，那么∠α和∠β互为补角，∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。

24．补角的性质是什么？

同角或等角的补角相等。

这是证明角的相等关系的最重要的定理之一，必须熟练掌握。

证明的方法是运用等量代换。

∵∠α+∠β=180°；

∠α+∠γ=180°；

∴∠β=∠γ。

25．什么叫余角？

如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角。

余角是指两个角的数量关系。

例如：

如果∠α+∠β=90°，那么∠α和∠β互为余角，∠α是∠β的余角，∠β也是∠α的余角。

26．余角的性质是什么？

同角或等角的余角相等。

这是证明角的相等关系的最重要的定理之一，必须熟练掌握。

证明的方法是运用等量代换。

∵∠α+∠β=90°；

∠θ+∠γ=90°；

∠α=∠θ；

∴∠β=∠γ。

27．如何度量角？

我们已经知道：

把一个圆周平均分成360份，每一份圆弧所对的圆心角叫做1°的角。

为了更加精密地度量角，我们可以把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1/。

又把1/的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1"。

例如，∠α的度数是48度56分37秒，记作∠α=48°56/37"。

角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的。

Êõ1°=60/；1/=60"。

关于角度的度、分、秒的换算，完全按照60进制来进行，是一个难点，我们将在第二部分加强训练。

28．什么叫角的平分线？

教材定义：

由角的顶点引出的将这个角分成两个相等角的一条射线，叫做这个角的平分线。

轨迹定义：

到角的两边距离相等的动点的运动轨迹，叫做这个角的平分线。

集合定义：

到角的两边距离相等的点的集合，叫做这个角的平分线。

如图2-28所示，OP是∠AOB的角平分线，图中的角的关系如下：

∠AOP=∠BOP；∠AOB=2∠AOP；∠AOB=2∠BOP。

29．什么叫尺规作图法？

在几何学中规定：

用没有刻度的直尺和圆规，有限次地来作图的方法，叫做尺规作图法。

我们以后所有的作图都是指尺规作图法。

最早提出几何作图要有尺规限制的是古希腊的哲学家安那萨哥拉斯。

他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被处死刑。

传说，在监狱里，他思考化圆为方以及其它有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活。

他不可能用规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍、竹片之类的东西作直尺，当然这些“尺”上就不可能有刻度。

另外，对他来讲，所剩时间是不多了，因此，他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题。

后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里得，他在《几何原本》中对作图作了三条规定（公设）。

由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图法也一直被遵守并流传下来。

30．如何用尺规作图法作一个角的平分线？

如图2-30所示：

作一个角∠AOB的平分线是尺规作图法的最基础的练习之一。

作法如下：

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交∠AOB的两边OA，OB于A，B两点；

（2）以A为圆心，大于AB的一半长为半径画弧；

（3）再以B为圆心，与

（2）同样长为半径画弧，两弧交于点P；

（4）然后连OP。

则OP为∠AOB的平分线；

在这里我要讲一个我上初中时的真实故事。

1973年的夏天，我们村里来了一个新老师，当时我十二周岁，读初一，我很好奇地去学校看望这个新来的老师。

中午时分，碧天如洗，艳阳高照，我假装玩耍，远远地看过去，老师正蹲在枣树下聚精会神地吃面条，那情景至今历历在目。

他就是我的恩师—姬老师。

开学后，姬老师给我们讲几何，有一天下课时，姬老师给我们布置作业：

“明天我们讲角平分线的作法，回去预习一下。

”第二天一上课，姬老师就让我上黑板作一个角的平分线，并写出作法。

这太简单了，我很快就完成了任务回到座位上，洋洋自得，左顾右盼，还等着姬老师表扬我呢？

这时，姬老师走上讲台，按照我所写的作法，一字一句地念，一步一步地作。

因为我在第二步中没有写明条件“大于AB的一半长为半径”，结果呢？

奇迹发生了，两弧竟然没有交上，找不到交点P了，角平分线自然也作不出来了。

这一堂课让我刻骨铭心，今生难忘，也让我懂得了什么样的老师才是好老师，更让我从此迷上了几何。

31．如何用尺规作图法作一个角等于已知角？

作一个角∠CPD等于已知角∠AOB是尺规作图法的最基础的练习之一。

作法如下：

（1）首先，用直尺画出射线PC；

（2）以O为圆心，适当长为半径画弧，交∠AOB两边OA，OB于A，B两点；

（3）再以P为圆心，同样长为半径画弧，交射线PC于C点；

（4）然后以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于D点；

（5）最后，连PD。

则∠CPD=∠AOB；

须知：

在作角平分线的第一步中，我们也用了“适当长为半径”这句话，什么意思呢？

半径太小了作图不方便，误差会很大，半径太大了超出纸张的宽度，你怎么画？

32．如何数线段？

如何数线段本是小学奥数中的经典问题，但是，我们作为几何学者却也不能等闲视之。

如图2-32所示：

线段AB上有六个不同的点P1、P2、P3、P4、P5、P6，那么图中有多少条不同的线段呢？

思路：

图中有7条小线段，那么线段的总数为：

7+6+5+4+3+2+1=28（条）。

这是学过奥数的小学生也会计算的算术题，但是为什么这样计算，就不是人人都明白的了。

其算式的含义是：

式中的7是一顶一的小线段的数目；

式中的6是两条小线段合成一条线段的数目；

式中的5是三条小线段合成一条线段的数目；

式中的4是四条小线段合成一条线段的数目；

式中的3是五条小线段合成一条线段的数目；

式中的2是六条小线段合成一条线段的数目；

式中的1是七条小线段合成一条线段的数目；

33．如何数三角形？

如何数三角形也是小学奥数中的经典问题，但是，我们作为几何学者同样不能等闲视之。

如图2-33甲所示：

那么图中有多少个不同的三角形呢？

思路：

图中有5个小三角形，那么三角形的总数为：

5+4+3+2+1=15（个）。

这是学过奥数的小学生也会计算的算术题，但是为什么这样计算，就不是人人都明白的了。

其算式的含义是：

式中的5是一顶一的小三角形的数目；

式中的4是两个小三角形合成一个三角形的数目；

式中的3是三个小三角形合成一个三角形的数目；

式中的2是四个小三角形合成一个三角形的数目；

式中的1是五个小三角形合成一个三角形的数目；

该题与数线段类似。

但是，如果从A点往PF边上引一条线段，再去数就不容易了。

如果你掌握了这种图形的拼凑方法，你一定数的清！

如图2-33乙所示：

三角形的总数为：

（5+4+3+2+1）+（5+4+3+2+1）+5=35（个）。

为什么这样计算，你明白了吗？

第二部分中考考点与竞赛热点

34．已知∠α=36°42´15"，那么∠α的余角等于多少？

思路：

两角互余，和为90°，必须熟练掌握60进制的度、分、秒的计算。

35．∠α的余角为70°37´43"，那么这个∠α等于多少？

36．∠α的补角为78°24´48"，那么这个∠α等于多少？

37．114°的补角等于多少？

38．一个角与它的补角的比是1∶4，则这个角等于多少？

39．一个角的补角与它的余角的度数之比是3∶1，则这个角等于多少？

40．计算：

53°40´30"×2-72°57´28"÷2等于多少？

41．一个锐角α的余角比它的补角的

少10°，则这个角α等于多少？

42．把一个周角7等份，每一份的角等于多少（精确到秒）？

43．一个的补角比这个角的余角大多少？

44．把一个周角n等分，每一份是45°，则n等于几？

把一个平角n等分，每一份是15°，则n等于几？

45．如图2-45所示：

C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为26，则线段AC的长度是多少？

46．平面上有四个点，每3个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画几条直线？

47．关于直线有什么公理？

关于线段有什么公理？

48．射线有几个端点？

线段有几个端点？

49．什么是两点的距离？

什么是线段的中点？

50．什么是角平分线？

51．两角互余，其中一个角是另一个角的2倍，那么这两个角各是多少？

52．已知，如图2-52所示，点C在线段AB上，AC=6，BC=4，点M、N分别是AC、BC的中点，那么线段MN的长度是多少？

若不知道AC、BC的长度，只知道AB的长度为a，其它条件不变，你能猜测出MN的长度吗？

53．已知，AC=6，BC=4，点C在直线AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，那么线段MN的长度是多少？

54．如图2-54所示，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD中点，BC-AB=

AD，那么BC是AB的多少倍？

55．已知线段AB=5，点C在AB的延长线上，点D在AB的反向延长线上，且B为AC中点，AD为BC的2倍，那么CD等于多少？

56．已知，线段AB=5，BC=4，那么A、C两点的距离是多少？

A．1；B.9；C．1或9；D.以上答案都不对。

57．已知，线段AB=13，MA+MB=17，那么下面说法中正确的是哪一个？

A．M点在线段AB上；B.M点在直线AB上；

C．M点在直线AB外；D.M点在直线AB上或AB外；

58．已知，线段AB=5.4，AB的中点是C,AB的三等分点是D,那么C、D两点之间的距离是多少？

59．线段AB=a，延长BA到C，使AC=b，设AB和AC中点分别为E、F，那么EF等于多少？

60．已知，O、A、B三点均在直线k上，OA=5，OB=2，那么AB等于多少？

61．已知，线段AC=12，B是AC的三等分点，那么AB等于多少？

62．已知，线段AB=100，MB=52，点M在线段AB上，P是AM的中点，那么MP等于多少？

63．已知线段AB=8，延长AB到C，使BC=

AB，反向延长AC到D，使DA=

AC，那么DC等于多少？

64．手电筒发射出的光线，给我们的形象似什么？

A．线段；B.射线；C．直线；D.折线；

65．下列说法中，正确的是哪一个？

A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线；

B.两个锐角的和为钝角；C．相等的角是对顶角；

D.钝角的补角一定是锐角；

66．下列说法中，正确的是哪一个？

A．一个锐角和一个钝角一定互补；B.两个锐角的和为锐角；

C．任意两个直角都相等；D.互余的两个角一定一大一小。

67．下列说法中，正确的是哪一个？

A．两点之间，线段最短；B.射线就是直线；

C．两条射线组成的图形叫做角；D.小于平角的角可分为钝角和锐角。

68．下列说法中，错误的是哪一个？

A．小于平角的角按大小可以分为三类：

钝角、直角、锐角；

B.同角的补角相等；C．东北方向即北偏东45°；

D.a∥b、b∥c，a与c相交于点P。

69．如图5-69所示，关于射线OA表示的方向下列说法中，正确的是哪一个？

A．西南方向；B.东南方向；

C．西偏南方向10°；D.南偏西方向10°。

70．钟表在5点半时，它的时针和分针所成的角度是多少度？

A．70°；B.75°；C．15°；D.90°。

71．下列说法中，正确的是哪一个？

A．数轴是一条直线；B.射线比线段长，比直线短；

C．把射线AB反向延伸就得到直线；D.两点之间直线最短；

72．下列说法中，正确的是哪一个？

A．射线是直线的一半；

B.延长直线AB到C，使BC=AB；

C．直线AB和直线BA是两条不同的直线；

D.如果两条直线有两个公共点，则它们就有无数个公共点。

73．关于A、B两点的距离，下列说法中，正确的是哪一个？

A．连结A、B两点的线段；B.连结A、B两点的线段的长度；

C．过A、B两点的直线；D.以上答案都不对。

74．关于A、B两点的距离，下列说法中，正确的是哪一个？

A．钝角大于它的补角；B.锐角大于它的余角；

C．大于直角的角都是钝角；D.大于平角的角也叫钝角；

75．如图2-75所示，AB=BC=CD=DE=1，那么，图中所有线段之和等于多少？

76．如图2-76所示，三角形的个数是多少？

77．现有长为2、3、4、5、6五种不同的线段，从中取出三条长度不同的线段，共可以确定几种不同的三角形？

78．直线a、b、c、d、e共点O，直线k与上述五条直线分别交于A，B，C，D，E五点，则上述图形中共有多少条线段？

79．在线段AB之间再加入12个点，共可得线段多少条？

80．如图2-80所示，从A点出发，经过B，C，D，E点回到A点，选择哪一条路最远？

81．平面上有四个点，经过其中每两个点画一条直线，那么一共可以画出多少条直线？

82．一条直线上有n个点，那么，这条直线上共有多少条射线？

共有多少条线段？

83．一条直线依次有A、B、C、D四个点，则必有AB•CD+BC•AD=AC•BD。

为什么？

84．在一条直线上依次有A、B、C、D四个点，那么，到A、B、C、D的距离之和的最小的点应该在什么位置？

85．如图2-85所示，A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两个点可得到一条线段，这样的线段一共可连出多少条？

86．如图2-86所示，B、C、D依次是线段AE上的三点，已知AE=89，BD=30，那么图中所有线段长度的和是多少？

87．如图2-87所示，B、C、D依次是线段AE上的三点，已知AE=29，BD=30，那么图中所有线段长度的和是多少？

88．旅游团从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭。

由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，那么，A，B两市相距多少千米？

89．一条直线从左到右顺次排列着1987个点：

P1，P2，┅┅P1987。

已知点Pk是线段Pk-1Pk+1的k等分点当中最靠近Pk+！

的哪个分点（2≤k≤1986），例如，点P5就是线段P4P6的五等分点中最靠近P6的哪个点，如果线段P1P2的长度为1，线段P1986P1987的长度为x，那么，2x＜

。

为什么？

90．如图2-90所示，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为26，那么线段AC的长度是多少？

91．如图2-91所示，A、B、C、D四点在同一条直线上，M是AB的中点，C是AD的中点，N是DC的中点，MN=a，BC=b，那么线段AD的长度是多少？

92．如图2-92所示，AC=

AB、BD=

AB，且AE=CD，则CE为AB长的多少？

93．已知A、B、C三点共线，且线段AB=16cm，点D为BC的中点，AD=13.5cm，则BC的长为多少？

94．如图2-94所示，AB∶BC∶CD=2∶3∶4，AB的中点M与CD的中点N的距离是30厘米，则BC的长为多少厘米？

95．如图2-95所示，已知B是线段AC上的一点，M是AB的中点，N为AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ为多少？

96．一个铁球具有下列性质：

铁制的；硬的；灰黑色；球形；直径5厘米，质量约500克；摸上去很凉；几何研究的是其中的哪些性质？

97．经过一点P能不能画直线，能画几条？

经过两点A，B能不能画直线，能画几条？

98．只用直线上的一个点A来表示这条直线，可以不可以？

为什么？

用直线上的两个点来表示这条直线呢？

99．平面上有3个点A，B，C，过其中每两个点画直线，可画出几条直线呢？

100．几何研究物体的哪些性质？

101．怎样表示一个点，怎样表示一条直线？

102．射线与线段的定义是怎样的？

103．怎样表示一条射线？

怎样表示一条线段？

104．比较两条线段的长短，结果可能有哪几种情况？

105．什么是两条线段的和、差？

怎样画出它们？