运筹学讲义.docx

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运筹学讲义

第六讲排队论

X/Y/Z

X处填写表示相继到达间隔时间的分布;

Y处填写表示服务时间的分布;

Z处填写并列的服务台的数目c.c=1单服务台，c>1多服务台

表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号:

M—负指数分布

D—确定型

Ek—k阶爱尔朗分布

GI—一般相互独立的时间间隔的分布

G—一般服务时间的分布

X/Y/Z/A/B/C

A处填写系统容量限制N；N=c损失制，N=∞等待制系统，N>c混合制系统

B处填写顾客源数m（有限、无限）；

C处填写服务规则（FCFS/LCFS/SIRO/PR）。

约定：

1、平均到达率（λ）：

单位时间内平均到达的顾客数。

平均到达间隔（1/λ）

2、平均服务率（μ）：

单位时间内平均服务的顾客数。

平均服务时间（1/μ）

3、队长（Ls）：

排队系统中顾客的平均数。

4、队列长（Lq）：

指系统中排队等候服务的顾客数。

Ls=Lq+正被服务的顾客数

5、逗留时间（Ws）：

指一个顾客在系统中的停留时间。

6、等待时间（Wq）：

指一个顾客在系统中排队等待的时间。

Ws=Wq+服务时间

7、系统的状态：

描述系统中的顾客数

8、系统的状态概率[Pn（t）]：

指t时刻、系统状态为n的概率

9、稳定状态（统计平衡状态）：

limPn（t）→Pn

Pn=P{N=n}稳态系统中有n个顾客概率

P1稳态系统中有1个顾客概率

P0稳态所有服务台全部空闲概率

M/M/1模型

Pn（t）的计算（在时刻t系统中有n个顾客的概率）

Pn（t+Δt）=Pn（t）（1-λΔt）（1-μΔt）+Pn+1（t）（1-λΔt）μΔt++Pn-1（t）λΔt（1-μΔt）+Pn（t）λΔtμΔtn≥1

整理得：

Pn（t+Δt）=Pn（t）（1-λΔt-μΔt）+Pn+1（t）μΔt+Pn-1（t）λΔt+o（Δt）

[Pn（t+Δt）-Pn（t）]/Δt=λPn-1（t）+μPn+1（t）-（λ+μ）Pn（t）

令Δt→0⇒dPn（t）/dt=λPn-1（t）+μPn+1（t）–（λ+μ）Pn（t）（n≥1）

（1）

考虑P0（t）的情况：

P0（t+Δt）=P0（t）（1-λΔt）+P1（t）（1-λΔt）μΔt+P0（t）λΔtμΔt

令Δt→0⇒dP0（t）/dt=-λP0（t）+μP1（t）

（2）

令dPn（t）/dt=0，由

（1）和

（2）得到

（2）队列中等待的平均顾客数（Lq）

（3）顾客逗留时间的期望值（Ws）

李泰勒（Little）证明了在很宽的条件下，排队系统数量指标之间有以下的关系式：

Ws=Ls/λe

（4）队列中顾客等待时间（Wq）

李泰勒证明了在很宽的条件下，排队系统数量指标之间有以下的关系式

（12年，第二题，15分）某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均每人服务时间为6分钟。

请计算：

1）修理店空闲的概率；

2）店内恰有3个顾客的概率；

3）在店内的平均顾客数；

4）每位顾客在店内的平均逗留时间；

5）等待服务的平均顾客数；

6）每位顾客平均等待服务的时间；

7）必须在店内消耗10分钟以上的概率。

解：

由已知条件知

，因此

（08年，第五题，15分）顾客按泊松分布到达某单人理发店，平均间隔20分钟。

理发时间为负指数分布，平均每人15分钟。

设该系统符合M/M/1模型，求：

a）顾客不必等待的概率；

b）顾客在店内平均等待时间；

c）若顾客在店内耗时超过1.25小时，则雇人帮忙，问平均到达率达到多少以上需雇人帮忙。

解：

由已知条件知

，因此

a）顾客不必等待的概率

；

b）顾客在店内平均等待时间

小时；

c）若顾客在店内耗时超过1.25小时，即

，

因此

，平均到达率达到

以上需雇人帮忙。

M/M/1/N/∞模型（混合制系统）

假定系统最大容量为N，单服务台情形排队等待的顾客最多为N-1

N+1个状态

有效到达率λe=λ（1-PN）系统不满时顾客以λ的速度进入系统

λe=μ（1-P0）

顾客源为有限的情形（M/M/1/∞/m）

机器故障问题：

设共有m台机器，机器故障停机表示到达，待修机器形成队列，修理工是服务员。

M/M/c