运筹学讲义.docx

1、运筹学讲义第六讲 排队论X/Y/ZX处填写表示相继到达间隔时间的分布;Y处填写表示服务时间的分布;Z处填写并列的服务台的数目c. c=1 单服务台，c1 多服务台表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号:M负指数分布D确定型Ekk阶爱尔朗分布GI 一般相互独立的时间间隔的分布G 一般服务时间的分布X/Y/Z/A/B/CA处填写系统容量限制N；N=c损失制，N=等待制系统，Nc混合制系统 B处填写顾客源数m（有限、无限）；C处填写服务规则（FCFS/LCFS/SIRO/PR）。约定：1、平均到达率()：单位时间内平均到达的顾客数。 平均到达间隔 (1/)2、平均服务率()：单位时间内平均服

2、务的顾客数。平均服务时间(1/)3、队长(Ls)：排队系统中顾客的平均数。4、队列长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数。Ls=Lq+正被服务的顾客数5、逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间。6、等待时间(Wq)：指一个顾客在系统中排队等待的时间。Ws=Wq+服务时间7、系统的状态：描述系统中的顾客数 8、系统的状态概率Pn( t ) ：指t时刻、系统状态为n的概率9、稳定状态（统计平衡状态）：limPn(t)PnPn=PN=n稳态 系统中有n个顾客概率P1稳态 系统中有1个顾客概率P0稳态 所有服务台全部空闲概率M/M/1模型Pn(t)的计算（在时刻t系统中有n个顾客的概率）P

3、n(t+t)= Pn(t)(1-t)(1-t) + Pn+1(t)(1-t)t+ Pn-1(t)t(1- t) + Pn(t)tt n1整理得：Pn(t+t)= Pn(t)(1-t-t)+Pn+1(t)t+Pn-1(t)t+o(t)Pn(t+t)-Pn(t)/t =Pn-1(t)+Pn+1(t)-(+)Pn(t)令t0 dPn(t)/dt=Pn-1(t)+Pn+1(t)(+)Pn(t) ( n1) (1)考虑P0(t)的情况：P0(t+t)=P0(t)(1-t)+P1(t)(1-t)t+ P0(t)tt令t0 dP0(t)/dt=-P0(t)+P1(t) （2）令dPn(t)/dt=0，由(1

4、)和(2)得到（2）队列中等待的平均顾客数（Lq）（3）顾客逗留时间的期望值（Ws）李泰勒（Little）证明了在很宽的条件下，排队系统数量指标之间有以下的关系式： Ws=Ls/e（4）队列中顾客等待时间（Wq） 李泰勒证明了在很宽的条件下，排队系统数量指标之间有以下的关系式（12年，第二题，15分）某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均每人服务时间为6分钟。请计算：1）修理店空闲的概率；2）店内恰有3个顾客的概率；3）在店内的平均顾客数；4）每位顾客在店内的平均逗留时间；5）等待服务的平均顾客数；6）每位顾客平均等待服务的时间；7）

5、必须在店内消耗10分钟以上的概率。解：由已知条件知，因此（08年，第五题，15分）顾客按泊松分布到达某单人理发店，平均间隔20分钟。理发时间为负指数分布，平均每人15分钟。设该系统符合M/M/1模型，求：a）顾客不必等待的概率；b）顾客在店内平均等待时间；c）若顾客在店内耗时超过1.25小时，则雇人帮忙，问平均到达率达到多少以上需雇人帮忙。解：由已知条件知，因此a）顾客不必等待的概率；b）顾客在店内平均等待时间小时；c）若顾客在店内耗时超过1.25小时，即，因此，平均到达率达到以上需雇人帮忙。M/M/1/N/ 模型（混合制系统）假定系统最大容量为N，单服务台情形排队等待的顾客最多为N-1N+1个状态有效到达率e=(1-PN) 系统不满时顾客以的速度进入系统e= (1-P0)顾客源为有限的情形（M/M/1/m） 机器故障问题：设共有m台机器，机器故障停机表示到达，待修机器形成队列，修理工是服务员。 M/M/c