高三数学一轮复习导数导学案.docx

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高三数学一轮复习导数导学案

课题：

　导数、导数的计算及其应用2课时

一、考点梳理：

1.导数、导数的计算

原函数

导函数

f（x）＝c（c为常数）

f′（x）＝0

f（x）＝xn（n∈Q*）

f′（x）＝________

f（x）＝sinx

f′（x）＝________

f（x）＝cosx

f′（x）＝________

f（x）＝ax

f′（x）＝________

f（x）＝ex

f′（x）＝________

f（x）＝logax

f′（x）＝________

f（x）＝lnx

f′（x）＝________

（1）．导数的概念：

一般地，函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是＝__________，称其为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或.

（2）．导函数：

记为f′（x）或y′.

（3）．导数的几何意义：

函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在x＝x0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．

（4）．基本初等函数的导数公式

（5）．导数的运算法则

（1）[f（x）±g（x）]′＝__________；

（2）[f（x）·g（x）]′＝__________；（3）′＝__________（g（x）≠0）．

（6）．复合函数的导数：

2．导数与函数的单调性及极值、最值

（1）导数和函数单调性的关系：

（1）对于函数y＝f（x），如果在某区间上f′（x）>0，那么f（x）为该区间上的________；如果在某区间上f′（x）<0，那么f（x）为该区间上的________．

（2）若在（a，b）的任意子区间内f′（x）都不恒等于0，f′（x）≥0⇔f（x）在（a，b）上为____函数，若在（a，b）上，f′（x）≤0，⇔f（x）在（a，b）上为____函数．

（2）函数的极值与导数

（1）判断f（x0）是极值的方法：

一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f（x0）是极小值．

（2）求可导函数极值的步骤：

①____________；②________________;③_________________________.

（3）求函数y＝f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：

（1）求函数y＝f（x）在（a，b）上的________；

（2）将函数y＝f（x）的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

二、基础自测：

1．若函数f（x）＝2x2－1的图象上一点（1,1）及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy），则等于（　　）．

A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2Δx2

2．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为（　　）．

A．（－1,1）B．（－1，－1）C．（1,1）或（－1，－1）D．（1，－1）

3．（2012陕西高考）设函数f（x）＝＋lnx，则（　　）．

A．x＝为f（x）的极大值点B．x＝为f（x）的极小值点C．x＝2为f（x）的极大值点D．x＝2为f（x）的极小值点

4．若函数y＝a（x3－x）的递减区间为，则a的取值范围是（　　）．

A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜1

5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为__________．

6．已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是单调增函数，则a的最大值是__________．

三、考点突破：

考点一、根据导数的定义求函数的导数

【例1-1】已知f′

（2）＝2，f

（2）＝3，则＋1的值为（　　）A．1B．2C．3D．4

【例1－2】用导数的定义求函数y＝f（x）＝在x＝1处的导数．

【变式】：

求函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．

考点二、利用求导公式、法则求导

[例2]求下列函数的导数：

（1）y＝（2x－3）2；

（2）y＝tanx；（3）y＝xex；（4）y＝.（5）y＝ln（2x＋5）．

【变式】求下列函数的导数：

（1）y＝x2sinx；

（2）y＝3xex－2x＋e；

（2）y＝；

考点三、导数的几何意义

【例3】已知曲线y＝x3＋.

（1）求曲线在点P（2,4）处的切线方程；

（2）求曲线过点P（2,4）的切线方程；

（3）求斜率为1的曲线的切线方程．

【变式】：

求曲线f（x）＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．

考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值

【例4】已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若函数f（x）在（－1,1）上单调递增，求a的取值范围；

【变式】（2009·浙江）已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．

（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；

（2）若函数f（x）在区间（－1,1）上不单调，求a的取值范围．

【例5】若函数f（x）＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x）有极值－.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若关于x的方程f（x）＝k有三个零点，求实数k的取值范围．

【变式】设x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．

（1）试确定常数a和b的值；

（2）试判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．

【例6】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线为l：

3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f（x）有极值．

（1）求a，b，c的值；

（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值和最小值．

【变式】已知函数f（x）＝ax3＋x2＋bx（其中常数a，b∈R），g（x）＝f（x）＋f′（x）是奇函数．

（1）求f（x）的表达式；

（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1,2]上的最大值和最小值．

四、课题巩固：

一、选择题：

1．设f（x）为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线斜率为（　　）．

A．2B．－1C．1D．－2

2．（2012辽宁高考）函数y＝x2－lnx的单调递减区间为（　　）．

A．（－1,1]B．（0,1]C．[1，＋∞）D．（0，＋∞）

3．如图所示的曲线是函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于（　）

A.B.C.D.

4.已知f′（x）是f（x）的导函数，在区间[0，＋∞）上f′（x）>0，且偶函数f（x）满足f（2x－1）

A.B.C.D.

二、填空题：

5．函数f（x）＝x－lnx的单调减区间为________．

6．已知函数f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________．

7．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．

8．若a>2，则函数f（x）＝x3－ax2＋1在区间（0,2）上有________个零点．

三、解答题

9.已知函数f（x）＝xlnx.

（1）求f（x）的极小值；

（2）讨论关于x的方程f（x）－m＝0（m∈R）的解的个数．

10．设f（x）＝，其中a为正实数．

（1）当a＝时，求f（x）的极值点；

（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

11.已知函数f（x）＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点（－1，－6），且函数g（x）＝f′（x）＋6x的图象关于y轴对称．

（1）求m，n的值及函数y＝f（x）的单调区间；

（2）若a>1，求函数y＝f（x）在区间（a－1，a＋1）内的极值．

课题：

　导数、导数的计算及其应用2课时

参考答案

二、基础自测：

1．若函数f（x）＝2x2－1的图象上一点（1,1）及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy），则等于（　　）．

A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2Δx2

2．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为（　　）．

A．（－1,1）B．（－1，－1）C．（1,1）或（－1，－1）D．（1，－1）

3．（2012陕西高考）设函数f（x）＝＋lnx，则（　　）．

A．x＝为f（x）的极大值点B．x＝为f（x）的极小值点C．x＝2为f（x）的极大值点D．x＝2为f（x）的极小值点

4．若函数y＝a（x3－x）的递减区间为，则a的取值范围是（　　）．

A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜1

5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为__________．

6．已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是单调增函数，则a的最大值是__________．

参考答案：

1．C　解析：

∵Δy＝f（1＋Δx）－f

（1）＝2（1＋Δx）2－1－1＝4Δx＋2（Δx）2，∴＝4＋2Δx.

2．C　解析：

y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.

3．D　解析：

由f′（x）＝－＋＝＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故x＝2为f（x）的极小值点．

4．A　解析：

∵y′＝a（3x2－1）＝3a，∴当－＜x＜时，＜0.

∴要使y′＜0，必须取a＞0.

5．4x－y－3＝0　解析：

设切点为（x0，y0），y′＝4x3,4x03＝4，∴x0＝1.∴y0＝1.∴l的方程为4x－y－3＝0.

6．3　解析：

∵f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是单调增函数，∴f′（x）＝3x2－a≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞）上恒成立，而当x∈[1，＋∞）时，（3x2）min＝3×12＝3.∴a≤3，故amax＝3.

三、考点突破：

考点一、根据导数的定义求函数的导数

【例1-1】已知f′

（2）＝2，f

（2）＝3，则＋1的值为（　　）．

A．1B．2C．3D．4

【例1－2】用导数的定义求函数y＝f（x）＝在x＝1处的导数．

【例1－1】C　解析：

令Δx＝x－2，则＋1＝＋1＝f′

（2）＋1＝2＋1＝3.

【例1－2】解：

Δy＝f（1＋Δx）－f

（1）＝－＝＝.∴＝－，∴＝＝－.∴f′

（1）＝－.

【变式】：

求函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．

解　∵Δy＝－＝＝，

∴＝.∴Δx→0时，→.∴y′＝.

考点二、利用求导公式、法则求导

[例2]求下列函数的导数：

（1）y＝（2x－3）2；

（2）y＝tanx；（3）y＝xex；（4）y＝.（5）y＝ln（2x＋5）．

解：

（1）y′＝（4x2－12x＋9）′＝8x－12.

（2）y′＝′＝＝＝.

（3）y′＝x′ex＋x（ex）′＝ex＋xex＝ex（x＋1）．

（4）y′＝′＝＝＝.

（5）设u＝2x＋5，则y＝ln（2x＋5）由y＝lnu与u＝2x＋5复合而成．∴y′＝y′u·u′x＝·2＝＝.

【变式】求下列函数的导数：

（1）y＝x2sinx；

（2）y＝3xex－2x＋e；

（2）y＝；

考点三、导数的几何意义

【例3】已知曲线y＝x3＋.

（1）求曲线在点P（2,4）处的切线方程；

（2）求曲线过点P（2,4）的切线方程；（3）求斜率为1的曲线的切线方程．

解：

（1）∵P