高等数学必背公式大全.docx
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高等数学必背公式大全
导数公式:
（tgx）secx
（ctgx）esc2x
（secx）seextgx（esex）cscxctgx
（ax）axlna
（logax）—
xlna
基本积分表：
tgxdxIncosxCctgxdxInsinxCsecxdxInsecxtgxC
cscxdxIncscxctgxC
高等数学公式
（arcsinx）（arccosx）（arctgx）
（arcctgx）
1
1
1x2
1
1x2
dx
2.
2
secxdx
tgxC
cosx
dx
2
・2
cscxdx
ctgxC
sinx
secxtgxdxsecx
C
cscxctgxdxcscxC
x
xa
axdxC
Ina
shxdxchxC
dx
、a2
arcs"
dx
.x2a2
22
In（xxa）C
・n
n
n
1
1
nsin
xdx
cos
xdx
In2
0
0
n
2
22vxa
dx
x
Vx2
2a
a
In
（x
Jx2a2
2
2
2
22
Vxa
dx
x
vx2
2a
a
In
x
；'22Vxa
2
2
2
22
dx
x
；2
2
a
x-
vax
—
va
x
arcsin
-C
2
2
a
2
2
I
C
）C
三角函数的有理式积分:
2u
sinx2,cosx
1u
2
u
1u2，
tgf，
dx
2du
1u2
一阶初等函数:
两个重要极限:
双曲正弦：
shx双曲余弦：
chx双曲正切:
thxarshxIn（x
archxIn（x
xx
ee
2
shxex
xe
chxex
x21）
x21）
xe
sinx
lim1
x0x
1xlim（1-）xxx
e2.718281828459045…
arthx
llnlx
21
三角函数公式:
•诱导公式：
\函数角A、、
sin
cos
tg
ctg
-a
-sin
a
cos
a
-tga
-ctg
a
90°-a
cos
a
sina
ctga
tga
90°+a
cos
a
-sin
a
-ctg
a
-tga
180°-
a
sina
-cos
a
-tga
-ctg
a
180°+
a
-sin
a
-cos
a
tga
ctga
270°-
a
-cos
a
-sin
a
ctga
tga
270°+
a
-cos
a
sina
-ctg
a
-tga
360°-
-sin
cos
-tga
-ctg
a
a
a
a
360°+
a
sina
cos
a
tga
ctga
-和差化积公式:
sin（
）sin
cos
cos
sin
cos（
）cos
cos
sin
sin
、tg
tg
tg（
）
1tg
tg
ctg（
）警
ctg
1
ctg
ctg
-和差角公式:
sinsin
sinsin
coscos
coscos
2sincos
22
2cossin—
22
2coscos—
22
2sinsin
22
精品文档
sin2
cos2
2sincos
22
2cos112sin
2cos
ctg2
ctg21
2ctg
tg2
2tg
2
1tg
•倍角公式:
-半角公式:
.2sin
sin33sin4sin3
3
cos34cos3cos
tg3
3tgtg3
2
13tg2
：
1cossin22
）1cos
tg
2,1cos
1cossin
sin1cos
cos—
2
1
cos
X
2
ctg-
1
cos
1cos
1
cos
sin
sin
1cos
-正弦定理:
a
sinA
b
sinB
sinC
2R
-余弦定理：
c2a2b22abcosC
arcsinx
arccosx
arctgx—arcctgx
2
高阶导数公式
来布尼兹
（Leibniz
n
（uv）（n）
即k）v（k）
k0
（n）
（n1）n（n
1）（n2）
uvnu
v
uv
!
-反三角函数性质:
2
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）f（a）
）公式:
n（n1）（nk1）（nk）（k）uvk!
f（）（ba）
uv
（n）
柯西中值定理：
丄型血
F（b）F（a）F（）
当F（x）x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理
曲率:
弧微分公式：
ds1y2dx,其中ytg
平均曲率：
K
:
从M点到M点，切线斜率的倾角变
化量;
s：
MM弧长。
M点的曲率：
K
lim0
d\y__
dsJ（1y2）3
直线：
K0;
半径为a的圆：
K丄.
定积分的近似计算:
定积分应用相关公式:
功：
WFs
水压力：
FpA
引力：
FkmimP2,k为引力系数
r
函数的平均值：
y
均方根：
.1f2（t）dt
ba
空间解析几何和向量代数:
Prju（a1a?
）Prja1Prja2
代表平行六面体的体积。
平面的方程：
1、点法式：
A（xxo）B（yyo）C（z般方程：
AxBy
zo）0,其中n{A,B,C},Mo（Xo,yo,Zo）
2、
CzD0
3、截距世方程：
-y
ab
平面外任意一点到该平
面的距离:
AxoBy。
CzoD
•A2B2C2
Xo
空间直线的方程:
xXo
m
Zo
p
t,其中s{m,n,p};参数方程:
y。
Z°
mt
nt
Pt
二次曲面:
1、
2、
3、
2
2
2
x
y
z
2
.2
2
a
b
c
2
2
x
y
z,（|：
2p
2q
2
2
2
:
x
y
z
:
2
‘2
2
a
b
c
2
2
2
:
x
y
z
:
2
.2
2
a
b
c
椭球面:
1
抛物面:
双曲面:
1
1（马鞍面）
单叶双曲面
双叶双曲面
多元函数微分法及应用
全微分：
dz—dx
x
全微分的近似计算：
—dyy
zdz
du—dx—dy—dzyz
fy（x,y）y
x
fx（x,y）x
多元复合函数的求导法：
dz
dt
zf[u（t）,v（t）]
zf[u（x,y）,v（x,y）]
x
当uu（x,y）,vv（x,y）时，
du—dx—dy
xy
隐函数的求导公式：
dv
—dx
x
dyy
隐函数F（x,y）0,
dy
dx
d2y
隐函数F（x,y,z）0,
Fy，
F
Fz，
dx2
—（音）+—（
xFyy
Fx
y
dy
dx
Fz
F
F
隐函数方程组：
F（x,y,u,v）0
J（F,G）
u
飞
FuFv
G（x,y,u,v）0
（u,v）
G
G
GuGv
u
v
u
1
（F,G）
v
1
（F,G）
X
j
（x,v）
X
j
（u,x）
u
1
（F,G）
v
1
（F,G）
y
j
（y,v）
y
j
（u,y）
x
空间曲线y
z
微分法在几何上的应用:
曲面F（x,y,z）0上一点M（Xo,y°,Zo）,则:
1、过此点的法向量:
n{Fx（x°,yo,z°）,Fy（x°,yo,zo）,Fz（x°,y°,z。
）}
Zo）0
2、过此点的切平面方程:
Fx（Xo,yo,z°）（xXo）Fy（Xo,y°,Zo）（yy°）Fz（x°,y°,z°）（z
3、过此点的法线方程:
xXoyyozZo
Fx（Xo,yo,Zo）Fy（Xo,yo,Zo）Fz（x°,yo,Zo）
方向导数与梯度：
函数zf（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向I的方向导数为：
」fcos—sin
lxy
其中为x轴到方向I的转角。
函数zf（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）—i—j
xy
它与方向导数的关系是：
-fgradf（x,y）e,其中ecosisinj，为I方向上的
单位向量
f是gradf（x,y）在l上的投影
多元函数的极值及其求法：
设fx
<（xo,y
，o）
fy（Xo,yo）
0,令：
fxx（Xo,yo）A,fxy（X0,yo）B,fyy（Xo,yo）C
AC
B2
0时，A
o,（xo,yo）为极大值
A
o,（xo,yo）为极小值
则：
AC
B2
0时，
无极值
AC
B2
0时,
不确定
重积分及其应用:
f（x,y）dxdyf（rcos,rsin）rdrd
DD
曲面zf（x,y）的面积A
2
dxdy
平面薄片的重心：
x业
M
x（x,y）d
D
（x,y）d
D
平面薄片的转动惯量：
对于X轴IX
平面薄片（位于xoy平面）
（x,y）xd
Fx
y2（x,y）d,
D
对z轴上质点M（0,0,a）,（a
（x,y）yd
y（x,y）d
D
（x,y）d
D
对于y轴Iy
0）的引力:
3?
D/222X2
（xya）
柱面坐标和球面坐标：
Fy
D/
（xy
3,
a2）2
Fz
fa
x2（x,y）d
D
{Fx,Fy,Fz}，其中:
（x,y）xd
D2
（x
3
a2）2
xrcos
柱面坐标：
yrsin,
f（x,y,z）dxdydz
F（r,
z）rdrd
dz,
zz
其中：
F（r,,z）f（rcos
xrsincos
球面坐标：
yrsinsin，
rsin,z）
dvrdrsin
dr
r2sin
drd
zrcos
f（x,y,z）dxdydz
F（r,
2
）rsindrd
重心：
x
xdv,
ydv
2
d
0
丄
M
转动惯量:
Ix
（y2
z2）
dv,
Iy
（x2
z2）
曲线积分:
第一类曲线积分
（对弧
长的曲线积分）
设f（x,y）在L上连续,
L的参数方程为:
（t）
f（x,y）dsf[（t）,
（t）].2（t）2（t）dt
r（,）
F（r,,
0
）r2sin
dr
dv,
其中M
dv
dv,
Iz
（x2
y2）dv
）,则:
特殊情况:
y（t）
第二类曲线积分（对坐
设L的参数方程为x
y
标的曲线积分）：
爲则：
P（x,y）dxQ（x,y）dy
L
两类曲线积分之间的关
{P[（t）.
（t）]
（t）Q[（t）,（t）]
（t）}dt
系：
Pdx
L
L上积分起止点处切向量的方向角。
QP
格林公式：
（）dxdy■-Pdx
dxyl
当Py,Qx,即：
卫—2时，
xy
平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域；
Qdy
（PcosQcos
L
Qdy格林公式：
（-Q
Dx
得到D的面积：
A
）ds其中
和分别为
P）dxdyy
dxdy
D
:
PdxQdy
L
xdyydx
2l
QP
2、P（x,y）,Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数
且-Q二上。
注意奇点，如（0,0），应
xy
减去对此奇点的积分，注意方向相反!
二元函数的全微分求积：
QP
在一=一时，PdxQdy才是二兀函数u（x,y）的全微分，其中：
xy
（x,y）
u（x,y）P（x,y）dxQ（x,y）dy,通常设x0y00°
（xo,yo）
曲面积分：
对面积的曲面积分：
f（x,y,z）dsf[x,y,z（x,y）]<1z；（x,y）z：
（x,y）dxdy
Dxy
对坐标的曲面积分：
P（x,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxR（x,y,z）dxdy,其中：
R（x,y,z）dxdy
R[x,y,z（x,y）]dxdy,取曲面的上侧时取正号；
Dxy
P（x,y,z）dydz
P[x（y,z）,y,z]dyd乙取曲面的前侧时取正号；
Dyz
Q（x,y,z）dzdx
Q[x,y（z,x）,z]dzdx取曲面的右侧时取正号。
Dzx
两类曲面积分之间的关系：
PdydzQdzdxRdxdy（PcosQcosRcos）ds
高斯公式:
常数项级数:
1qn
等差数列：
1
1q1）n
2
1是发散的
n
级数审敛法:
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：
1时，级数收敛
设：
limnUn，则1时，级数发散
1时，不确定
2、比值审敛法：
1时，级数收敛
设：
lim仏，则1时，级数发散
nU
n1时，不确定
3、定义法：
snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。
n
交错级数u1u2u3u4（或u1U2U3,Un0）的审敛法莱布尼兹定理:
如果交错级数满足
UnUn1
limun0,
那么级数收敛且其和s
U1,其余项rn的绝对值rn
un1。
绝对收敛与条件收敛:
（1）u1u2un，其中un为任意实数；
（2）5u2u3un
如果
（2）收敛，则
（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;
如果
（2）发散，而⑴收敛，则称
（1）为条件收敛级数。
调和级数：
级数：
p级数
1发散，而少收敛;
nn
丄收敛;
n
1时发散
1时收敛
幕级数:
1xx2
1时，收敛于-
1X
发散
1时,
对于级数（3）a0
a〔x
2
a?
x
数轴上都收敛，则必存
anX
x
在R,使x
x
，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全R时收敛
R时发散，其中R称为收敛半径。
R时不定
0时,
求收敛半径的方法：
设
lim
n
an1
an
，其中an，an1是（3）的系数，则
0时，
时，R0
函数展开成幕级数:
函数展开成泰勒级数:
f（x）f（X0）（XX0）-^-^（xX0）2
2!
（n）,
f（x0）（xX0）n
n!
余项：
Rn
x0）n1,f（x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：
limR,0
x°
0时即为麦克劳林公式:
f（x）f（0）f（0）x
2!
f（n）（0）n
X
n!
些函数展开成幕级数:
（1x）m
1mx
2!
m（m1）（mn1）n
X
n!
1x1）
sinxx
3
X
3!
5
X
5!
1）n
2n1
1
（2n1）!
欧拉公式:
ix
ecosx
isinx
cosx
或
sinx
ixe
三角级数:
f（t）A。
ix
e
2
ixix
ee
2
（ancosnx
n1
AnCOsn，sinnx,cosnx
bnsinnx）
Asin（n
n1
aA°，anAnsinn，S
其中，
正交性：
1,sinx,cosx,sin2x,cos2x上的积分=0。
傅立叶级数：
a°
X。
t
任意两个不同项的乘积在［
f（x）
a。
（ancosnxbnsinnx）,周期
n1
其中
an
f（x）cosnxdx
（n0,1,2
bn
f（x）sinnxdx
（n1,2,3
1丄
32
11
2242
8241
1
22
1
32
1
孑
2
——（相加）
6
2
一（相减）
12
正弦级数:
an
0,bn
f（x）sinnxdx
1,2,3
f（x）
bnsinnx是奇函数
余弦级数:
bn
0,an
f（x）cosnxdx
0,1,2
f（x）
ao
2
ancosnx是偶函数
周期为21的周期函数的傅立叶级数:
21
f（x）ao（ancos^^bnsin周期
2n1ll
其中
bn
f（x）cos
dx
1f（x）sin
li
（n0,1,2）
（n1,2,3）
微分方程的相关概念:
一阶微分方程：
yf（x,y）或P（x,y）dxQ（x,y）dy0
可分离变量的微分方程：
一阶微分方程可以化为g（y）dyf（x）dx的形式，解法:
g（y）dyf（x）dx得：
G（y）F（x）C称为隐式通解。
一阶线性微分方程:
2贝努力方程：
矽P（x）yQ（x）yn,（n0,1）dx
全微分方程：
如果P（x,y）dxQ（x,y）dy0中左端是某函数的全微分方程，即:
uu
du（x,y）P（x,y）dxQ（x,y）dy0,其中：
P（x,y），Q（x,y）
xy
u（x,y）C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
（*）ypyqy0,其中p,q为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：
（）r2prq0,其中r2，r的系数及常数项恰好是（*）式中y,y,y的系数;
2、求出（）式的两个根r1,r2
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出（*）式的通解:
r1，r2的形式
（*）式的通解
两个不相等实根（p24q0）
rixr2x
ycieC2e
两个相等实根（p24q0）
y（ciC2x）erix
一对共轭复根（p24q0）
rii，Qi
pj4qp2
2，2
yex（CicosxC2sinx）
二阶常系数非齐次线性微分方程
ypyqyf（x），p,q为常数
f（x）exPm（x）型，为常数；
f（x）ex[R（x）cosxPn（x）sinx]型
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