高等数学必背公式大全.docx

1、高等数学必背公式大全导数公式:(tgx) sec x(ctgx) esc2 x(secx) seex tgx (esex) cscx ctgx(ax) ax lna(log ax) xl na基本积分表：tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Ccscxdx In cscx ctgx C高等数学公式(arcsin x) (arccos x) (arctgx)(arcctgx)111 x211 x2dx2 .2sec xdxtgx Ccos xdx2 2csc xdxctgx Csin xsecx tgxdx secxCcscx

2、ctgxdx cscx Cxx aaxdx CIn ashxdx chx Cdx、a2arcsdx.x2 a22 2In( x x a ) C nnn11n sinxdxcosxdxI n 200n22 2 vx adxxVx22 aaIn(xJ x2 a22222 2Vx adxxvx22 aaInx；2 2 V x a2222 2dxx；22ax -va xvaxarcsin-C22a22IC)C三角函数的有理式积分:2usin x 2, cosx1 u2u1 u2，tgf，dx2du1 u2一阶初等函数:两个重要极限:双曲正弦：shx 双曲余弦：chx 双曲正切:thx arshx In

3、 (xarchx In (xx xe e2shx exx echx exx2 1)x2 1)x esinxlim 1x 0 x1 x lim(1 -)x x xe 2.718281828459045arthxllnl x2 1三角函数公式:诱导公式：函数 角A、sincostgctg-a-sinacosa-tg a-ctga90 - acosasin actg atg a90 + acosa-sina-ctga-tg a180 -asin a-cosa-tg a-ctga180 +a-sina-cosatg actg a270 -a-cosa-sinactg atg a270 +a-cosas

4、in a-ctga-tg a360 -sincos-tg a-ctgaaaa360 +asin acosatg actg a-和差化积公式:sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtgctg()警ctg1ctgctg-和差角公式:sin sinsin sincos coscos cos2sin cos 2 22 cos sin 2 22 cos cos 2 22 sin sin 2 2精品文档sin 2cos22sin cos2 22 cos 1 1 2s in2 cosctg2ctg2 12ctgtg22tg21 tg倍角公式:-半角公式

5、:.2 sinsin3 3si n 4si n33cos3 4cos 3costg33tg tg321 3tg2：1 cos sin 2 2)1 costg 2 , 1 cos1 cos sinsin 1 coscos21cosX2ctg-1cos1 cos1cossinsin1 cos-正弦定理:asin Absin Bsin C2R-余弦定理：c2 a2 b2 2abcosCarcs in xarccosxarctgx arcctgx2高阶导数公式来布尼兹( Leib nizn(uv)(n)即 k)v(k)k 0(n)(n 1) n(n1) (n 2)u v nuvu v!-反三角函数性质

6、:2中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a)公式:n(n 1) (n k 1) (n k) (k) u v k!f ( )(b a)uv(n)柯西中值定理：丄型血F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式：ds 1 y 2dx,其中y tg平均曲率：K:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量;s： MM弧长。M点的曲率：Klim0d y_ds J(1 y2)3直线：K 0;半径为a的圆：K丄.定积分的近似计算:定积分应用相关公式:功：W F s水压力：F p A引力：F kmimP2,k为引力系数r函数的平均值：y均方根：.1

7、f2(t)dtb a空间解析几何和向量代数:Prju(a1 a?) Pr ja1 Pr ja2代表平行六面体的体积 。平面的方程：1、点法式：A(x xo) B( y yo) C(z 般方程：Ax Byzo) 0,其中 n A, B,C, Mo(Xo,yo,Zo)2、Cz D 03、截距世方程：-ya b平面外任意一点到该平面的距离:Axo By。Czo D A2 B2 C2Xo空间直线的方程:x XomZopt,其中s m, n, p;参数方程:y。ZmtntPt二次曲面:1、2、3、222xyz2.22abc22xyz,(|：2p2q222:xyz: 2 22abc222:xyz: 2.2

8、2abc椭球面:1抛物面:双曲面:11(马鞍面)单叶双曲面双叶双曲面多元函数微分法及应用全微分：dz dxx全微分的近似计算：dy yz dzdu dx dy dz y zfy(x,y) yxfx(x, y) x多元复合函数的求导法：dzdtz fu(t),v(t)z fu(x,y),v(x,y)x当u u(x,y), v v(x, y)时，du dx dyx y隐函数的求导公式：dvdxxdy y隐函数F(x,y) 0,dydxd2y隐函数 F(x,y,z) 0,Fy，FFz，dx2(音)+(x Fy yFxydydxFzFF隐函数方程组：F(x,y,u,v)0J (F,G)u飞Fu FvG

9、(x,y,u,v) 0(u,v)GGGu Gvuvu1(F,G)v1(F,G)Xj(x,v)Xj(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)x空间曲线yz微分法在几何上的应用:曲面 F (x, y,z) 0 上一点 M(Xo,y,Zo),则: 1、 过此点的法向量:n Fx(x, yo,z), Fy(x,yo, zo), Fz(x, y,z。)Zo) 02、 过此点的切平面方程 :Fx(Xo,yo,z)(x Xo) Fy(Xo,y,Zo)(y y) Fz(x, y ,z)(z3、过此点的法线方程:x Xo y yo z ZoFx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo, yo,Z

10、o) Fz(x,yo,Zo)方向导数与梯度：函数z f (x, y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为： f cos sinl x y其中为x轴到方向I的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jx y它与方向导数的关系是：-f grad f (x,y) e,其中e cos i sin j，为I方向上的单位向量f是gradf (x, y)在l上的投影多元函数的极值及其求法：设fx(xo,y，o)fy(Xo, yo)0,令：fxx(Xo,yo) A, fxy(X0, yo) B, fyy(Xo,yo) CACB20时，Ao,(xo,yo)为极大

11、值Ao,(xo,yo)为极小值则：ACB20时，无极值ACB20时,不确定重积分及其应用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rdrdD D曲面z f (x, y)的面积A2dxdy平面薄片的重心：x业Mx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的转动惯量： 对于X轴I X平面薄片(位于xoy平面)(x,y)xdFxy2 (x, y)d ,D对z轴上质点M (0,0, a), (a(x, y)ydy (x,y)dD(x, y)dD对于y轴I y0)的引力:3 ?D/2 2 2X2(x y a )柱面坐标和球面坐标：FyD /(x y3,a2)2Fzfax2 (x, y)d

12、DFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD 2(x3a2)2x r cos柱面坐标：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐标：y r sin sin ，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin drd重心：xx dv,y dv2d0丄M转动惯量:Ix(y2z2)dv,Iy(x2z2)曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)设f (x, y)在L上连续,L的参数方程为:(t)f(x,y)ds

13、 f (t),(t). 2(t) 2(t)dtr(,)F(r,0)r2 sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2) dv),则:特殊情况:y (t)第二类曲线积分(对坐设L的参数方程为xy标的曲线积分)：爲则：P(x,y)dx Q(x,y)dyL两类曲线积分之间的关P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLL上积分起止点处切向量 的方向角。Q P格林公式：( )dxdy - Pdxd x y l当P y,Q x,即：卫2时，x y平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是一个单连通区域；Qdy(Pcos QcosLQdy格林公式：(-QD x得到D的面积：A)ds

14、其中和分别为P)dxdy ydxdyD:Pdx QdyLxdy ydx2lQ P2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且-Q二上。注意奇点，如(0,0)，应x y减去对此奇点的积分，注意方向相反! 二元函数的全微分求积：Q P在一=一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中：x y(x,y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y0 0(xo,yo)曲面积分：对面积的曲面积分： f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y) 1 z；(x,y) z：(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分： P(x, y, z)dydz Q(

15、x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z) dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；DxyP(x, y, z) dydzPx(y,z), y,zdyd乙取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:常数项级数:1qn等差数列：11 q 1)n21是发散的n级数审敛法:1、正项级数的审敛法 根植审敛法(柯西判 别法)：1时，级数收敛设： lim n Un，则

16、1时，级数发散1时，不确定2、 比值审敛法：1时，级数收敛设： lim仏，则 1时，级数发散n Un 1时，不确定3、 定义法：sn u1 u2 un;lim sn存在，则收敛；否则发 散。n交错级数u1 u2 u3 u4 (或u1 U2 U3 ,Un 0)的审敛法 莱布尼兹定理:如果交错级数满足Un Un 1lim un 0,那么级数收敛且其和sU1,其余项rn的绝对值rnun 1。绝对收敛与条件收敛:(1)u1 u2 un ，其中un为任意实数；(2)5 u2 u3 un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果(2)发散，而 收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：级

17、数：p级数1发散，而 少收敛;n n丄收敛;n1时发散1时收敛幕级数:1 x x21时，收敛于 -1 X发散1时,对于级数(3)a0ax2a?x数轴上都收敛，则必存anXx在R,使 xx，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全 R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时,求收敛半径的方法：设limnan 1an，其中an， an 1是(3)的系数，则0时，时，R 0函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数:f(x) f(X0)(X X0)-(x X0)22!(n),f (x0)(x X0)nn!余项：Rnx0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：lim R, 0x0时即为麦克劳

18、林公式:f(x) f(0) f (0)x2!f (n)(0) nXn!些函数展开成幕级数:(1 x)m1 mx2!m(m 1) (m n 1) nXn!1 x 1)sinx x3X3!5X5!1)n2n 11(2n 1)!欧拉公式:ixe cosxi si nxcosx或sin xix e三角级数:f(t) A。ixe2ix ixe e2(an cosnxn 1An COs n， sin nx,cosnxbn sin nx)A sin( nn 1aA，an An sin n，S其中，正交性：1,sin x, cosx, sin 2x,cos2x 上的积分=0。傅立叶级数：aX。t任意两个不同项

19、的乘积 在f(x)a。(an cosnx bnsinnx), 周期n 1其中anf(x)cosnxdx(n 0,1,2bnf (x)sinnxdx(n 1,2,31丄321 122 428 24 11221321孑2(相加)62一(相减)12正弦级数:an0, bnf (x)sin nxdx1,2,3f (x)bn sin nx是奇函数余弦级数:bn0, anf(x)cosnxdx0,1,2f(x)ao2an cos nx是偶函数周期为21的周期函数的傅立叶级数:21f(x) ao (an cos bn sin周期2 n 1 l l其中bnf (x) cosdx1 f (x)s inl i(n

20、 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相关概念:一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f (x)dx的形式，解法:g(y)dy f (x)dx 得：G(y) F (x) C称为隐式通解。一阶线性微分方程:2 贝努力方程：矽 P(x)y Q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程：如果P(x, y)dx Q(x,y)dy 0中左端是某函数的全微 分方程，即:u udu(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy 0,其中： P(x,y)， Q(x,y)x yu(x,y) C应该是该全

21、微分方程的 通解。二阶微分方程:二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p, q为常数；求解步骤：1、 写出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;2、 求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解:r1， r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2 4q 0)rix r2xy cie C2e两个相等实根(p2 4q 0)y (ci C2x)erix一对共轭复根(p2 4q 0)ri i，Q ip j4q p22， 2y e x (Ci cos x C2 sin x)二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)，p,q为常数f(x) e xPm(x)型，为常数；f (x) exR(x)cos x Pn(x) sin x型