线性代数复习.docx

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线性代数复习

线性代数复习

一、行列式

1、概念：

余子式，代数余子式（对方阵而言）

2、重要性质：

|kA|=kn|A|（A为n阶矩阵）；

行列式的倍加行（列）变换其值不变；

3、克拉默法则：

※方程组Ax=B，xj=Dj/D（D是系数矩阵行列式，Dj是常数项替换系数矩阵第j列后得到的矩阵的行列式）

二、矩阵

1、概念：

系数矩阵、增广矩阵、单位矩阵（I、E）、对角矩阵、上（下）三角矩阵、转置矩阵、（反）对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵

2、重要性质：

（kA）-1=k-1A-1    |A-1|=|A|-1    （A*）*=|A|n-2A  A*A=|A|E

矩阵的初等变换：

初等矩阵前乘为行变换；后乘为列变换。

初等倍乘矩阵Ei（c），表示将A的第i行（列）乘c。

初等倍加矩阵Eij（c），表示将A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。

初等对换矩阵Eij表示将A的第i和第j行互换。

A可逆，（A,E）--------对A,E同时做同样的初等行变换--------（E,A-1）

3、分块矩阵求行列式

A0 其中A，B为方阵。

|Q|=|A||B|。

0B

0A 其中A，B为m，n阶方阵。

|Q|=（-1）mn|A||B|。

B0

AB |Q|=|A||D-CA-1B|。

CD

三、线性方程组

1、概念：

线性相关（线性无关）、秩、极大线性无关组、自由未知量

2、重要性质：

①判断多个向量间的线性相关关系：

系数ki不全为零，∑kiai=0（定义）

向量组有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。

各向量组成的矩阵A=（aT1,aT2,…,aTn）的行列式为0。

向量组b1,b2,…,bt能被a1,a2,…,as线性表示且t>s，则b1,b2,…,bt线性相关。

②a4能否被a1,a2,a3（或更多向量）向量组线性表示？

（aT1,aT2,aT3）（x1,x2,x3）T=aT4，有解即能线性表示，解即为对应各向量系数。

③矩阵的秩

矩阵Am*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于min{m,n}。

矩阵的初等变换、转置不改变矩阵的秩。

r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ），其中Am*n，P是m阶可逆矩阵、Q是n阶可逆矩阵。

A（n阶矩阵）为满秩矩阵的充要条件是|A|≠0。

（即A为奇异矩阵?

A的秩不为n）。

矩阵秩的运算：

r（A）+r（B）≥r（A+B）  r（AB）≤min{r（A）,r（B）}

④齐次线性方程组有解的条件

齐次线性方程组Ax=0

有非零解：

r（A）

有非零解时，解的数量为无穷多个。

只有零解：

r（A）=A的列数/|A|≠0。

※Am*n，r（A）=r

⑤非齐次线性方程组有解的条件

非齐次线性方程组Ax=b

有唯一解：

r（A）=r（A,b）=n（n是未知数的个数/A的列数）

有无穷解：

r（A）=r（A,b）

无解：

r（A）

3、齐次（非齐次）线性方程组有非零解的结构

①求基础解系的步骤：

Ⅰ将系数矩阵进行初等行变换化为简化阶梯矩阵（不能有两行非零起始值位于同一列）。

Ⅱ非零行的首个非零元所在列的对应未知量为约束未知量，其余列对应的未知量为自由未知量（引申：

约束未知量即构成列向量组的一个极大线性无关组，其他自由未知量均可用约束未知量线性表示）。

Ⅲ根据自由未知量所在列的位置确定xi的个数，赋其中一个xi=1，其他为0……依次进行下去，得到多组基础解系，便确定一般解∑kixi（ki为任意常数）。

②非齐次线性方程组中求一般解：

确定自由未知量后，取所有xi=0，求得一个特解x0；特解与该方程对应的齐次线性方程组的多组基础解系加起来构成一般解x0+∑kixi。

四、向量空间与线性变换

1、概念：

自然基（标准基）、过渡矩阵、标准正交基、正交矩阵（n阶矩阵）

2、重要性质：

①y1=a11x1+a21x2+…+an1xn;y2=a12x1+a22x2+…+an2xn;……;y2=a12x1+a22x2+…+an2xn;

{x1,x2,…xn}是一组基；则y1,y2,…yn线性无关的充要条件是系数矩阵A满足|A|=0。

依次性质得到：

（y1,y2,…yn）=（x1,x2,…xn）A，A称为x到y的过渡矩阵。

从而：

要求解{aT1,aT2,…,aTs}（形成A矩阵）到{bT1,bT2,…,bTn}（形成B矩阵）的过渡矩阵，即求Ax=B的解x。

易知：

过渡矩阵可逆。

②A是正交矩阵：

A-1=AT；

A是n阶正交矩阵?

A的列向量组为Rn的一组标准正交基。

如：

0010的转置矩阵是0100，两者的乘积为单位矩阵E4*4。

1000       0010

0100       1000

0001       0001

3、施密特正交化方法

由{a1,a2,a3}构造一组标准正交基{n1,n2,n3}的方法：

b1=a1;

b2=a2-b1*（a2,b1）/（b1,b1）;

b3=a3-b2*（a3,b2）/（b2,b2）-b1*（a3,b1）/（b1,b1）.

再将b1,b2,b3单位化得到n1,n2,n3。

（以上表达式中（a2,b1）表示内积）

五、特征值和特征向量矩阵的对角化

1、概念：

特征值、特征向量、特征方程、相似矩阵、相似标准形

2、重要性质：

①An*n，若存在λ和非零向量x使Ax=λx，称λ是A的特征值。

特征值λ满足方程|λI-A|=0。

（特征方程）

矩阵A属于不同特征值的特征向量线性无关。

② 对于实对称矩阵或可相似对角化的矩阵，其秩就是非零特征值的个数。

③∑λi=∑aii（主对角元之和）=tr（A）（矩阵的迹）

∏λi=|A|  （以上二性质可作为验证计算得到的λ的准确性）

矩阵的特征值满足线性性质（λ-A;kλ-kA;λm-Am;λ-1-A-1（A可逆时））

A和AT的特征值相同。

④PAP-1=B?

A~B;矩阵相似具有传递性。

矩阵A1A2的相似矩阵可表示为同一相似过程的两个因子的相似矩阵之积。

⑤矩阵可对角化：

即指n阶矩阵和对角阵相似。

Λ=PAP-1。

充要条件：

n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。

3、判断方阵An*n能否对角化、求特征值和特征向量、求P、T和Λ的方法：

①由方程|λI-A|=0求出λ的值（特征值）；

②将得到的单个或多个λ分别代入方程（λI-A）x=0，这是一个齐次线性方程组，求解x的基础解系，即得到特征向量和其个数，从而判定A能否对角化。

③若A能够对角化，则一定有n个特征向量x1,x2,…,xn；它们组成一个新的矩阵P=（x1,x2,…,xn），由Λ=PAP-1求出Λ。

（Λ的各项实际上就是A的特征值λ1，λ2，…，λn）

④若Λ=TAT-1，则按不同特征值对应的多个特征向量分组进行施密特正交化、单位化处理，再将各向量并列写作正交矩阵T。

六、二次型

1、概念：

二次型、正定矩阵

2、重要性质：

①把一般的二次型f（x1,x2,…,xn）=∑xixj（i,j=1,2,…,n）化为y1,y2,…,yn的纯平方项之代数和∑y2i的基本方法，从矩阵的角度而言，是对于一个实对称矩阵A，寻找一个可逆矩阵C，使得CTAC成为对角形。

②若对于任意的非零向量x=（x1,x2,…,xn）T，恒有xTAx>0，则称xTAx为正定二次型，A为正定矩阵。

当A是实对称矩阵时，xTAx是正定二次型；且A的n个特征值全大于零。

正定矩阵A是满秩矩阵，且A-1也是正定矩阵。

③判定二次型的正定性；

Ⅰ任何二次型都可以用配方法判定其正定性；

Ⅱ可以用赋值法判定某二次型非正定；

Ⅲn阶矩阵A的n个顺序主子式全大于零。

（顺序主子式：

自左上角开始取方阵，取1*1、2*2、…、k*k方阵的行列式即为k阶顺序主子式。

n阶方阵中这样的主子式能取n个）

④二次型正定的性质：

ⅠxTAx>0（定义）

ⅡA的主对角元aii>0；|A|=0。

3、化二次型（∑xixj）为标准形（∑y2i）的方法：

①写出二次型对应的方阵An*n，注意写成实对称矩阵的形式。

②求出矩阵的特征值和特征向量；将特征向量按组进行施密特正交化和单位化；将各向量并列形成正交矩阵Q；由Λ=QAQ-1求出Λ。

③做正交变换x=Qy，将二次型化成标准形。

※简捷方法：

xTAx=yT（QTAQ）y=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2，其中λ1，λ2，…，λn是实对称矩阵A的n个特征值，也是对角矩阵Λ的各项diag（λ1，λ2，…，λn）。

（这些特征值的先后顺序可以对换，但必须先后一一对应）

附1：

各种矩阵对比

矩阵

表示方式

规格

行列式

秩

求解公式

转置矩阵

AT

任意

|AT|=|A|（方阵时）

r（AT）=r（A）

—

逆矩阵

A-1

方阵

|A-1|≠0

r（A-1）=r（A）

A-1=A*/|A|

系数矩阵

A

任意

|A|=0时齐次方程有非零解

r（A）

—

增广矩阵

（A,b）

任意

—

r（A）=r（A,b）=n时非齐次方程有唯一解

—

对角矩阵

Λ、diag（）

方阵

—

—

Λ=PAP-1

满秩矩阵

—

方阵

不为零

r（An*n）=n

可逆矩阵、正定矩阵满秩

—

对称矩阵

aij=aji

方阵

—

—

Λ=QAQ-1

正交矩阵

T

方阵

1或-1

满秩

列向量组为Rn的一组标准正交基

相似矩阵

A~B

方阵

|A|=|B|

r（A）=r（B）

B=PAP-1

A、B具有相同的特征值

正定矩阵

A=PTP

方阵

|A|>0

满秩

Λ=CTAC

A的特征值全大于零

附二：

矩阵行列式和零的关系

|A|=0的充分必要条件：

<=>A不可逆（又称奇异）

<=>A的列（行）向量组线性相关

<=>r（A）

<=>Ax=0有非零解

<=>A有特征值0

<=>A不能表示成初等矩阵的乘积

|A|≠0的充分必要条件：

<=>A可逆（非奇异矩阵）

<=>存在同阶方阵B满足AB=E（或BA=E）（可逆的性质）

<=>r（A）=n（满秩）

<=>r（A*）=n

<=>|A*|≠0

<=>A的列（行）向量组线性无关

<=>Ax=0仅有零解（齐次线性方程组）

<=>Ax=b有唯一解（非齐次线性方程组）

<=>任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示（满秩）

<=>A可表示成初等矩阵的乘积

<=>A的特征值都不等于0

<=>ATA是正定矩阵