二次函数的最大值与最小值.docx

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二次函数的最大值与最小值

§1~3二次函數的最大值與最小值

壹、補充重點

（1）二次函數的最大值與最小值應用一覽表：

名稱

已知

條件

結論

最

大

值

的

應

用

自然數N分成兩數

x，y

當x=y=

時，

x與y的乘積最大

最大乘積=

定長m圍成一矩形時

以正方形面積為最大，其邊長為

最大面積=

最

小

值

的

應

用

自然數N分成兩數

x，y

當x=y=

時，

x與y的平方和最小

最小平方和=

定長m分成兩線段a，b分別為邊各作一正方形

當a=b=

時，兩正方形面積和為最小

最小面積和=

兩正數之積為定值k時（xy=k，x>0，y>0）

當x=y=

時，

x+y的和最小

最小的和：

x+y=2

=2

設矩形的長，寬分別為x，y，若其面積一定時

當x=y時，

矩形周長為最小

最小的周長=4

（2）二次函數在自變數限制範圍下求最大值與最小值：

函數y=f（x）

若頂點位於範圍x內時，圖形如下：

若頂點為（m,n）而圖形二端點為（,f（）），（,f（）），則n，f（），f（）三者中較小者為最小值，較大者為最大值。

若頂點不位於範圍x內時，圖形如下：

圖形二端點為（,f（）），（,f（）），則f（），f（）二者中較小者為最小值，較大者為最大值。

（3）最大值與最小值的求法，除可利用二次函數來求外，尚可利用下列的方法：

利用

（算術平均數）（幾何平均數）

例：

二正數x，y，若xy=24，求2x+3y之最小值。

∵

2x+3y

∴2x+3y2

=24故最小值為24

利用∣a∣+∣b∣∣a+b∣

例：

設x為實數，求∣x+2∣+∣x-5∣之最小值。

∵∣x+2∣+∣x-5∣=∣x+2∣+∣5-x∣∣（x+2）+（5-x）∣

=7

∴∣x+2∣+∣x-5∣7故最小值為7

利用一元二次方程式D0

例：

設k為實數，方程式x2-（k-1）x+（k2-1）=0有實根，求k之最大值與最小值。

∵方程式有實根∴D0

[-（k-1）]2-4×1×（k2-1）0

（k-1）（k-1-4k-4）0

（k-1）（3k+5）0

∴1k-

，故k之最大值為1，最小值為-

。

分式型：

當分子為定值，分母最大時分式的值為最小；分母最小時分式的值為最大。

例：

設x為實數，求y=

之最大值。

∵x2+2x+4=（x2+2x+1）+3=（x+1）2+33

∴當x=-1時，x2+2x+4有最小值3，此時y有最大值

=4。

利用配方

例：

設x，y為實數，A=x2+y2+4x-6y+20，求A之最小值。

∵A=x2+y2+4x-6y+20=（x2+4x+4）+（y2-6y+9）+7

=（x+2）2+（y-3）2+77

∴A之最小值7。

貳、例題

例1.y=2x2+2x-3，試求此二次函數之最小值？

【答：

】

解：

例2.二次函數y=-3x2+ax+b，當x=3時，有最大值4，則a=？

b=？

解：

【答：

18、-23】

例3.二次函數y=ax2+bx+c，當x=3時，有最小值-2，且圖形通過（0，7），則a=？

b=？

c=？

【答：

1、-6、7】

解：

例4.二次函數y=x2-6x+10，當1

時，試求y之最大值與最小值？

【答：

5、1】

解：

例5.二次函數y=x2-2x+4，當2

時，試求y之最大值與最小值？

【答：

7、4】

解：

例6.x為正整數，則二次函數y=2x2-5x+10之最小值為？

【答：

7】

解：

例7.晴晴向上拋擲一球，經t秒後距離地面s公尺，且有s=30t-5t2之關係式，試問此球擲出後，距離地面最高可達多少公尺？

解：

【答：

45公尺】

例8.A、B為數線上兩點，座標分別為7、2，試在座標上求一點P，使得

為最小？

【答：

】

解：

例9.設a：

b=1：

2且b：

c=3：

4，試求ab-bc+ac+c之最大值？

解：

【答：

】

例10.某人以長100公尺的鐵絲網，在河邊圍一長方形之菜園，河邊當作一直線不圍，試求所能圍成的最大菜園面積？

解：

【答：

1250平方公尺】

例11.x>0、y>0，2x+y=6，試求xy之最大值？

【答：

】

解：

例12.a>0、b>0，試求

之最小值？

【答：

2】

解：

例13.y=|x-4|+|x-3|，試求y之最小值？

【答：

1】

解：

例14.y=|x|+|x-1|+|x-2|，試求y之最小值？

【答：

2】

解：

例15.y=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|，試求y之最小值？

【答：

4】

解：

例16.y=2x2+3mx+2m之最小值為M，則M之最大值為？

【答：

】

解：

參、習題

1.二次函數y=（a-1）x2+5x+a2的圖形通過（-1，0），

（1）當函數有最大值時，則a=？

（2）當函數有最小值時，則a=？

解：

2.二次函數y=ax2+12x+b在x=

時有最小值10，則a=？

b=？

解：

3.f（x）=ax2+bx+2，若f（-1）=0、f（3）=-4，則f（x）之最大值為？

解：

4.二次函數y=x2-4x+5，當0

時，試求y之最大值與最小值？

解：

5.二次函數y=x2-2x+5，當2

時，試求y之最大值與最小值？

解：

6.x>0，試求x+

之最小值？

解：

7.a>0、b>0，試求（a+b）（

）之最小值？

解：

8.y=|x-1|+

|x-2|+

|x-3|，試求y之最小值？

解：

9.牧人游牧，到了一大塊草原，今有100公尺長的鐵絲網，欲圍成一矩形，試求此矩形之最大面積？

解：

10.農夫在固定的柑園裡種40顆柑樹，每顆年產量600個柑子。

若在此園裡，每少種一顆柑樹，則每顆柑樹每年多產20個柑子。

試問這個柑園，應少種幾顆？

其年產量才能最大。

解：

肆、習題解答

1.-3、22.4、193.

4.5、1

5.8、56.27.48.

9.625平方公尺10.5顆