二次函数的最大值与最小值.docx

1、二次函数的最大值与最小值13二次函數的最大值與最小值壹、補充重點(1)二次函數的最大值與最小值應用一覽表：名稱已 知條 件結 論最大值的應用自然數N分成兩數 x，y當x=y=時，x與y的乘積最大最大乘積=定長m圍成一矩形時以正方形面積為最大，其邊長為最大面積=最小值的應用自然數N分成兩數 x，y當x=y=時，x與y的平方和最小最小平方和=定長m分成兩線段 a，b分別為邊各作一正方形當a=b=時，兩正方形面積和為最小最小面積和=兩正數之積為定值k時(xy=k，x0，y0)當x=y=時，x+y的和最小最小的和：x+y=2=2設矩形的長，寬分別為x，y，若其面積一定時當x=y時，矩形周長為最小最小的

2、周長=4(2)二次函數在自變數限制範圍下求最大值與最小值：函數y=f(x)若頂點位於範圍 x 內時，圖形如下：若頂點為(m,n)而圖形二端點為(,f()，(,f()，則n，f()，f()三者中較小者為最小值，較大者為最大值。若頂點不位於範圍 x 內時，圖形如下：圖形二端點為(,f()，(,f()，則f()，f()二者中較小者為最小值，較大者為最大值。(3)最大值與最小值的求法，除可利用二次函數來求外，尚可利用下列的方法：利用 (算術平均數)(幾何平均數)例：二正數x，y，若xy=24，求2x+3y之最小值。 2x+3y 2x+3y2=24 故最小值為24利用a+ba+b例：設x為實數，求x+2

3、+x-5之最小值。x+2+x-5=x+2+5-x(x+2)+(5-x) =7x+2+x-57 故最小值為7利用一元二次方程式D0例：設k為實數，方程式x2-(k-1)x+(k2-1)=0有實根，求k之最大值與最小值。方程式有實根 D0 -(k-1)2-41(k2-1)0(k-1)(k-1-4k-4)0 (k-1)(3k+5)0 1k-，故 k之最大值為1，最小值為-。分式型：當分子為定值，分母最大時分式的值為最小；分母最小時分式的值為最大。例：設x為實數，求y= 之最大值。 x2+2x+4=(x2+2x+1)+3=(x+1)2+33當x=-1時，x2+2x+4有最小值3，此時y有最大值=4。利

4、用配方例：設x，y為實數，A=x2+y2+4x-6y+20，求A之最小值。A=x2+y2+4x-6y+20=(x2+4x+4)+(y2-6y+9)+7=(x+2)2+(y-3)2+77A之最小值7。貳、例題例1.y=2x2+2x-3，試求此二次函數之最小值？ 【答：】解：例2.二次函數y=-3x2+ax+b，當x=3時，有最大值4，則a=？b=？解： 【答：18、-23】例3.二次函數y=ax2+bx+c，當x=3時，有最小值-2，且圖形通過 (0，7)，則a=？b=？c=？ 【答：1、-6、7】解：例4.二次函數y=x2-6x+10，當1時，試求y之最大值與最小值？ 【答：5、1】解：例5.

5、二次函數y=x2-2x+4，當2時，試求y之最大值與最小值？ 【答：7、4】解：例6.x為正整數，則二次函數y=2x2-5x+10之最小值為？ 【答：7】解：例7.晴晴向上拋擲一球，經t秒後距離地面s公尺，且有s=30t-5t2之關係式，試問此球擲出後，距離地面最高可達多少公尺？解： 【答：45公尺】例8.A、B為數線上兩點，座標分別為7、2，試在座標上求一點P，使得為最小？ 【答：】解：例9.設a：b=1：2且b：c=3：4，試求ab-bc+ac+c之最大值？解： 【答：】例10.某人以長100公尺的鐵絲網，在河邊圍一長方形之菜園，河邊當作一直線不圍，試求所能圍成的最大菜園面積？解： 【答：

6、1250平方公尺】例11.x0、y0，2x+y=6，試求xy之最大值？ 【答：】解：例12.a0、b0，試求之最小值？ 【答：2】解：例13.y=|x-4|+|x-3|，試求y之最小值？ 【答：1】解：例14.y=|x|+|x-1|+|x-2|，試求y之最小值？ 【答：2】解：例15.y=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|，試求y之最小值？ 【答：4】解：例16.y=2x2+3mx+2m之最小值為M，則M之最大值為？ 【答：】解：參、習題1.二次函數y=(a-1)x2+5x+a2的圖形通過(-1，0)，(1)當函數有最大值時，則a=？ (2)當函數有最小值時，則a=？解：2.二次函數y=a

7、x2+12x+b在x=時有最小值10，則a=？b=？解：3.f (x)=ax2+bx+2，若f (-1)=0、f (3)=-4，則f (x)之最大值為？解：4.二次函數y= x2-4x+5，當0時，試求y之最大值與最小值？解：5.二次函數y=x2-2x+5，當2時，試求y之最大值與最小值？解：6.x0，試求x+之最小值？解：7.a0、b0，試求(a+b)()之最小值？解：8. y=|x-1|+|x-2|+|x-3|，試求y之最小值？解：9.牧人游牧，到了一大塊草原，今有100公尺長的鐵絲網，欲圍成一矩形，試求此矩形之最大面積？解：10.農夫在固定的柑園裡種40顆柑樹，每顆年產量600個柑子。若在此園裡，每少種一顆柑樹，則每顆柑樹每年多產20個柑子。試問這個柑園，應少種幾顆？其年產量才能最大。解：肆、習題解答 1. -3、2 2. 4、19 3. 4. 5、1 5. 8、5 6. 2 7. 4 8. 9. 625平方公尺 10. 5顆