高考数学 命题角度63 利用导数研究函数的零点方程的根大题狂练 文.docx

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高考数学命题角度63利用导数研究函数的零点方程的根大题狂练文

命题角度3：

利用导数研究函数的零点、方程的根

1.已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.

【答案】

（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）当时，方程有实数根.

【解析】试题分析：

（1）函数求导，从而得单调区间；

（2）方程有实数根，即函数存在零点，分类讨论函数的单调性，从而得有零点时参数的范围.

（2）由题得，.

依题意，方程有实数根，

即函数存在零点.

又.

令，得.

当时，.

即函数在区间上单调递减，

而，.

所以函数存在零点；

当时，，随的变化情况如下表：

所以为函数的极小值，也是最小值.

当，即时，函数没有零点；

当，即时，注意到，

，

所以函数存在零点.

综上所述，当时，方程有实数根.

点睛：

已知函数有零点求参数常用的方法和思路：

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；

（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.

2.已知函数，.

（1）若直线是曲线与曲线的公切线，求；

（2）设，若有两个零点，求的取值范围.

【答案】

（1）或；

（2）.

试题解析：

对函数求导，得，对函数求导，得。

设直线与切于点，与切于.

则在点处的切线方程为：

，即.

在点处的切线方程为：

，即.

这两条直线为同一条直线，所以有

由

（1）有，代入

（2）中，有

，则或.

当时，切线方程为，所以,

当时，切线方程为，所以.

（2）。

求导：

，

显然在上为减函数，存在一个，使得，

且时，，时，，

所以为的极大值点。

由题意，则要求.

由，有，所以，

故.

令，且。

，在上为增函数，又，

要求，则要求，又在上为增函数，

所以由，得。

综上，

【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：

（1）已知切点求斜率,即求该点处的导数；

（2）己知斜率求切点即解方程；（3）巳知切线过某点（不是切点）求切点,设出切点利用求解.

3.已知函数.

（1）求在区间上的最值；

（2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）最大值是10+a，最小值是（Ⅱ）．

【解析】试题分析：

（1）求导数，分析函数的单调性，可求函数的最大小值；

（2）利用导数的几何意义，转化为方程有3根，再利用函数的单调性，根据函数变化情况写出对应的约束条件即可求解.

（Ⅱ）设切点，

则，

整理得，由题知此方程应有3个解．

令，

∴，

由解得或，由解得，

即函数在，上单调递增，在上单调递减．

要使得有3个根，则，且，

解得，即a的取值范围为．

4.已知函数．

（1）当为何值时，轴为曲线的切线；

（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．

【答案】

（1）当时，轴是曲线的切线

（2）当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．

【解析】【试题分析】

（1）先对函数求导，再运用导数的几何意义建立方程组求出；

（2）先确定函数的解析表达式的情形，再运用分类整合思想分或和分类讨论函数的零点的个数问题，进而求出对应的参数的取值范围：

（1）设曲线与轴相切于点，则，即，

解得：

，

因此，当时，轴是曲线的切线；

（2）当时，，从而，

∴在无零点，

当时，若，则，，故是的零点；若，则，，故不是的零点，当时，，所以只需考虑在的零点个数，

（Ⅰ）若或，则在无零点，故在单调，而，

所以当时，在有一个零点；当时，在无零点；

③若，即，由于，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点．

综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；

当时，有三个零点．

点睛：

导数是研究函数的单调性、极值最值的重要而有效工具。

本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。

求解第一问时，先对已知函数解析式进行求导，再运用导数的几何意义建立方程组求出解析式中的参数进而获解；解答本题的第二问时，先确定函数的解析式，再运用分类整合思想分类讨论函数的零点的个数问题以及对应的参数的范围，从而体现了分类整合思想在解决问题中的综合运用。

5.已知函数，（为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论函数的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析:

（1）对函数进行求导,根据基本不等式得出的范围,按照的最小值是否在定义域内分两类讨论,:

①当，在上单调递增，所以没有极值点；②当，转化为方程正数解的个数;

（2）函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，转化为由两个不同的根，通过参变分离,构造新的函数,求导判断单调性与最值,求出参数的范围.

试题解析:

（Ⅰ），

∵，∴，

①当，即时，对恒成立，在上单调递增，所以没有极值点；

（Ⅱ）令，得，即，

∵，∴，

令（），

，

∵，∴时，，为减函数；

时，，为增函数，∴，

当时，，当时，，

∵函数图象与函数图象有两个不同交点，∴实数的取值范围为．

6.设函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：

是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】

（1）见解析

（2）不存在，使得.

【解析】【试题分析】

（1）先对函数求导，再运用导数与函数的单调性的关系分析讨论函数的符号，进而运用分类整合思想对实数进行分三类进行讨论并判定其单调性，求出单调区间；

（2）先假设满足题设条件的参数存在，再借助题设条件，推得，即，亦即

进而转化为判定函数在上是单调递增的问题，然后借助导数与函数单调性的关系运用反证法进行分析推证，从而作出判断：

解：

（Ⅰ）定义域为，

，

令，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因为.

所以,

又由

（1）知，，于是，

若存在，使得，则，即，

亦即（）

再由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，

而，所以，这与（）式矛盾，

故不存在，使得.

点睛：

本题以函数参数的函数解析式为背景，设立了两个问题旨在考查导数工具在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。

求解第一问时，先对函数求导，再运用导数与函数的单调性的关系及分类整合思想分类求其单调区间；解答第二问时，先假设满足题设条件的参数存在，然后借助题设中的条件建立方程再构造函数运用导数与函数单调性的关系及反证法进行分析推证从而使得问题获解。

7.已知函数满足：

①；②；③在内能取到最大值.

（1）求实数的值；

（2）设函数，若对，使得，求实数的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）求出的表达式，得到的导数，得到在内必有解，求出的最大值，从而求出的值即可；

（2）设出和的值域，求出的值域，通过讨论的范围，求出的值域，根据集合的包含关系，解关于的不等式，求出的范围即可.

试题解析：

（1）当时，有，由条件②得，再由条件①得.故，.

由条件③得在在内有最大值，方程，即在内必有解，故，且解为.又最大值为，所以，即，所以.

（2）设在内的值域为，在内的值域为，由条件可知.

由

（1）知，当时，，，故在内为减函数，所以.

对求导得.

若，则当时，，为减函数，所以.

由，得，故必有.

若，则当时，，为增函数，所以.由，得，故必有.

若，则，此时不成立.

综上可知，的取值范围是.

8.已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在区间上有两个零点，求的取值范围.

【答案】

（1）详解见解析；

（2）

【解析】试题分析：

（1）首先求得函数的导函数，然后分类讨论求得函数的单调区间即可；

（2）结合

（1）的结论，利用导函数与原函数的关系整理可得的取值范围是.

试题解析：

（1）的定义域为，，

令可得或.下面分三种情况.

当时，可得，由得，由得，

此时的单调递增区间为，单调递减区间为.

当时，由得或，由得，

此时的单调递增区间为，单调递减区间为.

当时，，在区间上单调递增.

由

（1）得，当时，在处取得最小值，且在区间内先减后增，又，

，要使得在区间上有两个零点，

必须有且，由此可得.

当时，，显然在区间上不存在两个零点.

当时，由

（1）得在区间内先减后增，

又，，

故此时在区间上不存在两个零点.

当时，由

（1）得在区间内先增，先减，后增.

又,，

故此时在区间上不存在两个零点.

当时，由

（1）得在区间上单调递增，

在区间上不存在两个零点.

综上，的取值范围是.

9.已知函数（其中为自然对数的底数）

（1）设过点的直线与曲线相切于点，求的值；

（2）函数的的导函数为，若在上恰有两个零点，求的取值范围.

【答案】

（1）;

（2）.

【解析】【试题分析】

（1）依据题设条件导数的几何意义分析求解；

（2）先对函数令求导，再运用导数与函数的单调性之间的关系判断单调性，然后求出最小值，建立不等式进行分析求解：

（2）令，

所以，

设，

则，

因为函数在上单增，

若在上恰有两个零点，

则在有一个零点，

所以，

∴在上递减，在上递增，

所以在上有最小值，

因为（），

设（），则，

令，得，

当时，，递增，

当时，，递减，

所以，

∴恒成立，

若有两个零点，则有，，，

由，，得，

综上，实数的取值范围是.

10.已知函数.

（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；

（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围.

【答案】

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围，

（2）结合三次函数图像确定的取值范围：

当,且时，方程在上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数的满足的条件：

，最后解不等式可得实数的取值范围.

试题解析：

（1）因为，

由或,由，

所以在上单调递增，在上单调递减，

欲使在上为单调函数，则.

因为，且，

因而，

所以，即，

综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是.