高中学年数学高考一轮复习第六章数列62等差数列.docx

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高中学年数学高考一轮复习第六章数列62等差数列

§6.2　等差数列

考纲解读

考点

内容解读

要求

五年高考统计

常考题型

预测热度

2013

2014

2015

2016

2017

1.等差数列的定义及运算

1.等差数列的证明

2.等差数列的通项公式

3.等差数列求和

C

20题

16分

8题

5分

填空题

解答题

★★★

2.等差数列的性质

利用等差数列有关性质解题

C

填空题

解答题

★★★

分析解读　　等差数列是高考的热点.中档题主要考查等差数列的基本运算,压轴题常考等差数列中的推理证明,对能力要求比较高.

五年高考

考点一　等差数列的定义及运算

1.（2016江苏,8,5分）已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是　　　　. 

答案　20

2.（2016浙江改编,8,5分）如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.（P≠Q表示点P与Q不重合）Sn为△AnBnBn+1的面积,则{Sn}是　　　　数列.（填“等差”或“等比”） 

答案　等差

3.（2014福建改编,3,5分）等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于　　　　. 

答案　12

4.（2013课标全国Ⅰ理改编,7,5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=　　　　. 

答案　5

5.（2017课标全国Ⅰ文,17,12分）记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.

（1）求{an}的通项公式;

（2）求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.

解析　

（1）设{an}的公比为q,由题设可得

解得q=-2,a1=-2.

故{an}的通项公式为an=（-2）n.

（2）由

（1）可得Sn==-+（-1）n·.

由于Sn+2+Sn+1=-+（-1）n·

=2=2Sn,

故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.

6.（2014江苏,20,16分）设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.

（1）若数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*）,证明:

{an}是“H数列”;

（2）设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值;

（3）证明:

对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn（n∈N*）成立.

解析　

（1）证明:

由已知,得当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.

所以{an}是“H数列”.

（2）由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+（m-1）d,于是（m-2）·d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1.从而d=-1.

当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H数列”.

因此d的值为-1.

（3）证明:

设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+（n-1）d=na1+（n-1）（d-a1）（n∈N*）.

令bn=na1,cn=（n-1）（d-a1）,则an=bn+cn（n∈N*）,

下证{bn}是“H数列”.

设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=a1（n∈N*）.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得Tn=bm.所以{bn}是“H数列”.

同理可证{cn}也是“H数列”.

所以,对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn（n∈N*）.

教师用书专用（7—10）

7.（2016课标全国Ⅰ,17,12分）已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.

（1）求{an}的通项公式;

（2）求{bn}的前n项和.

解析　

（1）当n=1时,a1b2+b2=b1,因为b1=1,b2=,所以a1=2,（3分）

所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.（5分）

（2）由

（1）和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,（7分）

因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.（9分）

记{bn}的前n项和为Sn,

则Sn==-.（12分）

8.（2016课标全国Ⅱ,17,12分）等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.

（1）求{an}的通项公式;

（2）设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.

解析　

（1）设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.

解得a1=1,d=.（3分）

所以{an}的通项公式为an=.（5分）

（2）由

（1）知,bn=.（6分）

当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;

当n=4,5时,2<<3,bn=2;

当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;

当n=9,10时,4<<5,bn=4.（10分）

所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.（12分）

9.（2014大纲全国,18,12分）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4.

（1）求{an}的通项公式;

（2）设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

解析　

（1）由a1=10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数.

又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,

于是10+3d≥0,10+4d≤0.

解得-≤d≤-.

因此d=-3.

数列{an}的通项公式为an=13-3n.（6分）

（2）bn==.（8分）

于是Tn=b1+b2+…+bn

=

==.（12分）

10.（2013山东理,20,12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）设数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+=λ（λ为常数）,令cn=b2n（n∈N*）,求数列{cn}的前n项和Rn.

解析　

（1）设等差数列{an}的公差为d.

由S4=4S2,a2n=2an+1得

解得a1=1,d=2.

因此an=2n-1,n∈N*.

（2）由题意知:

Tn=λ-,所以n≥2时,

bn=Tn-Tn-1=-+=.

故cn=b2n==（n-1）,n∈N*.

所以Rn=0×+1×+2×+3×+…+（n-1）×,

则Rn=0×+1×+2×+…+（n-2）×+（n-1）×,

两式相减得

Rn=+++…+-（n-1）×

=-（n-1）×

=-,

整理得Rn=.

所以数列{cn}的前n项和Rn=.

考点二　等差数列的性质

1.（2015广东,10,5分）在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=　　　　. 

答案　10

2.（2015重庆改编,2,5分）在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=　　　　. 

答案　0

3.（2014北京,12,5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=　　　　时,{an}的前n项和最大. 

答案　8

4.（2016天津理,18,13分）已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.

（1）设cn=-,n∈N*,求证:

数列{cn}是等差数列;

（2）设a1=d,Tn=（-1）k,n∈N*,求证:

<.

证明　

（1）由题意得=anan+1,有cn=-=an+1·an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d（an+2-an+1）=2d2,

所以{cn}是等差数列.

（2）Tn=（-+）+（-+）+…+（-+）

=2d（a2+a4+…+a2n）

=2d·=2d2n（n+1）.

所以===·<.

教师用书专用（5）

5.（2014四川,19,12分）设等差数列{an}的公差为d,点（an,bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.

（1）若a1=-2,点（a8,4b7）在函数f（x）的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;

（2）若a1=1,函数f（x）的图象在点（a2,b2）处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.

解析　

（1）由已知,得b7=,b8==4b7,有=4×=.

解得d=a8-a7=2.

所以,Sn=na1+d=-2n+n（n-1）=n2-3n.

（2）函数f（x）=2x在（a2,b2）处的切线方程为

y-=（ln2）（x-a2）,

它在x轴上的截距为a2-.

由题意,得a2-=2-,

解得a2=2.

所以d=a2-a1=1.

从而an=n,bn=2n.

所以Tn=+++…++,

2Tn=+++…+.

因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.

所以,Tn=.

三年模拟

A组　2016—2018年模拟·基础题组

考点一　等差数列的定义及运算

1.（2018江苏姜堰中学期中）已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,数列{an+an+1}是公差为2的等差数列,则S9=　　　　. 

答案　45

2.（苏教必5,二,2,变式）设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a1=2a8-3a4,则=　　　　. 

答案　

3.（2017江苏南京高淳质检）若Sn为等差数列{an}的前n项和,S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为　　　　. 

答案　±4

4.（2017江苏泰州姜堰摸底,8）等差数列{an}的前n项和记为Sn,且满足2n=,则数列{an}的公差d=　　　　. 

答案　8

5.（2017江苏苏州期末,8）设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2=7,S7=-7,则a7的值为　　　　. 

答案　-13

6.（2017江苏淮阴中学期中,6）已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S11=35+S6,则S17的值为　　　　. 

答案　119

7.（2016江苏镇江一模,10）Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=　　　　. 

答案　

8.（2016江苏扬州中学质检,20）已知数列{an}满足a1=x,a2=3x,Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2（n≥2,n∈N*）,Sn是数列{an}的前n项和.

（1）若数列{an}为等差数列.

（i）求数列的通项an;

（ii）若数列{bn}满足bn=,数列{cn}满足cn=t2bn+2-tbn+1-bn,试比较数列{bn}的前n项和Bn与{cn}的前n项和Cn的大小;

（2）若对任意n∈N*,an

解析　因为Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2（n≥2,n∈N*）,所以S3+S2+S1=14,即a3+2a2+3a1=14.又a1=x,a2=3x,所以a3=14-9x.

（1）（i）因为数列{an}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即6x=x+（14-9x）,解得x=1,即a1=1,a2=3,所以公差d=a2-a1=2.

所以an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1（n∈N*）.

（ii）因为an=