高中学年数学高考一轮复习第六章数列62等差数列.docx

1、高中学年数学高考一轮复习第六章数列62等差数列6.2等差数列考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.等差数列的定义及运算1.等差数列的证明2.等差数列的通项公式3.等差数列求和C20题16分8题5分填空题解答题2.等差数列的性质利用等差数列有关性质解题C 填空题解答题分析解读等差数列是高考的热点.中档题主要考查等差数列的基本运算,压轴题常考等差数列中的推理证明,对能力要求比较高.五年高考考点一等差数列的定义及运算1.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是.答案202.(20

2、16浙江改编,8,5分)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)Sn为AnBnBn+1的面积,则Sn是数列.(填“等差”或“等比”)答案等差3.(2014福建改编,3,5分)等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于.答案124.(2013课标全国理改编,7,5分)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=.答案55.(2017课标全国文,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和

3、.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析(1)设an的公比为q,由题设可得解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.6.(2014江苏,20,16分)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称an是“H数列”.(1)若数列an的前n项和Sn=2n(nN*),证明:an是“H数列”;(2)设an是等差数列,其首项a1=1,公差d0.

4、若an是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*)成立.解析(1)证明:由已知,得当n1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H数列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为an是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d0,所以m-20,故m=1.从而d=-1.当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,nN*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2

5、-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以an是“H数列”.因此d的值为-1.(3)证明:设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(nN*).令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(nN*),下证bn是“H数列”.设bn的前n项和为Tn,则Tn=a1(nN*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得Tn=bm.所以bn是“H数列”.同理可证cn也是“H数列”.所以,对任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*).教师用书专用(710)7.(2016课标全国,17,12分)已知an是

6、公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.解析(1)当n=1时,a1b2+b2=b1,因为b1=1,b2=,所以a1=2,(3分)所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(5分)(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,(7分)因此bn是首项为1,公比为的等比数列.(9分)记bn的前n项和为Sn,则Sn=-.(12分)8.(2016课标全国,17,12分)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求数列bn的前

7、10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.解析(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.(3分)所以an的通项公式为an=.(5分)(2)由(1)知,bn=.(6分)当n=1,2,3时,12,bn=1;当n=4,5时,23,bn=2;当n=6,7,8时,34,bn=3;当n=9,10时,40,a7+a100,则当n=时,an的前n项和最大.答案84.(2016天津理,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=-,nN*,求证:数列cn是等差数列;

8、(2)设a1=d,Tn=(-1)k,nN*,求证:.证明(1)由题意得=anan+1,有cn=-=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列.(2)Tn=(-+)+(-+)+(-+)=2d(a2+a4+a2n)=2d=2d2n(n+1).所以=.教师用书专用(5)5.(2014四川,19,12分)设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(nN*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列an的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)

9、处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.解析(1)由已知,得b7=,b8=4b7,有=4=.解得d=a8-a7=2.所以,Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-=(ln 2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意,得a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n.所以Tn=+,2Tn=+.因此,2Tn-Tn=1+-=2-=.所以,Tn=.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一等差数列的定义及运算1.(2018江苏姜堰中学期中)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1

10、,a2=2,数列an+an+1是公差为2的等差数列,则S9=.答案452.(苏教必5,二,2,变式)设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,若a1=2a8-3a4,则=.答案3.(2017江苏南京高淳质检)若Sn为等差数列an的前n项和,S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为.答案44.(2017江苏泰州姜堰摸底,8)等差数列an的前n项和记为Sn,且满足2n=,则数列an的公差d=.答案85.(2017江苏苏州期末,8)设Sn是等差数列an的前n项和,若a2=7,S7=-7,则a7的值为.答案-136.(2017江苏淮阴中学期中,6)已知Sn是等差数列an的前n项和,且

11、S11=35+S6,则S17的值为.答案1197.(2016江苏镇江一模,10)Sn是等差数列an的前n项和,若=,则=.答案8.(2016江苏扬州中学质检,20)已知数列an满足a1=x,a2=3x,Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n2,nN*),Sn是数列an的前n项和.(1)若数列an为等差数列.(i)求数列的通项an;(ii)若数列bn满足bn=,数列cn满足cn=t2bn+2-tbn+1-bn,试比较数列bn的前n项和Bn与cn的前n项和Cn的大小;(2)若对任意nN*,anan+1恒成立,求实数x的取值范围.解析因为Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n2,nN*),所以S3+S2+S1=14,即a3+2a2+3a1=14.又a1=x,a2=3x,所以a3=14-9x.(1)(i)因为数列an为等差数列,所以2a2=a1+a3,即6x=x+(14-9x),解得x=1,即a1=1,a2=3,所以公差d=a2-a1=2.所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1(nN*).(ii)因为an=