中考优等生培优竞赛专题第8讲几何模型三垂直模型.docx

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中考优等生培优竞赛专题第8讲几何模型三垂直模型

第8讲

三垂直模型

【模型概述】

出现3个直角，且3个直角的顶点共线时，角的边相交会形成相似（含全等）三角形。

【基本模型】

图1图2

【解读】

⑴图1和图2中，三个直角顶点B，C，D共线；

⑵当△ABC和△CDE三组对应边均不相等时，有△ABC∽△CDE；

⑶当△ABC和△CDE任意一组对应边相等时（如AC=CE），有△ABC≌△CDE；

⑷证明思路：

同角的余角相等

⑸解题时往往只含有两个甚至一个垂直关系，需通过作垂线构造出三垂直模型，从而构造出全等或相似三角形，利用全等和相似的性质求解角度和线段长等问题。

典型例题1-1

已知：

∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E。

⑴如图1，①线段CD和BE的数量关系是

②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明。

⑵如图2，结论②还成立吗？

如不成立，写出并证明AD，BE，DE之间的数量关系。

【小结】

典型例题1-2

如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD=2OA=6，AD：

AB=3：

1，则点C的坐标是（）

典型例题1-3

如图，抛物线

经过点A（-1,0），B（4,0），交y轴于点C。

⑴求抛物线的解析式；

⑵点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使

？

若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

⑶将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长。

【小结】

变式训练1-1

如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα=（）

变式训练1-2

如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，

（1）求C点的坐标；

（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP−DE的值；

（3）如图3,已知点F坐标为（−2,−2）,当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持∠GFH=90∘,FG与y轴负半轴交于点G（0,m）,FH与x轴正半轴交于点H（n,0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：

①m−n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。

变式训练1-3

如图，直线

交x轴于点A，交y轴于点B，另有过点B的直线与x轴交于点C，使得∠ABC=45°，求点C坐标。

扩展模型：

共线三等角模型：

当三垂直模型中3个直角变为相等的锐角或钝角时，仍会产生全等或相似三角形。

解读：

⑴图1和图2中，大小均为

的三个锐角（或钝角）顶点在同一直线你上。

⑵当三组对应边均不相等时，图1中有△ABC∽△ECD，图2中有△ABC∽△CDE（注意对应关系）

⑶当△ABC和△CDE的任意一组对应边相等时，有两三角形全等。

⑷证明思路：

三角形的外角和定理

⑸图1中，若C为AE的中点，连接BD，则有△ABC∽△ECD∽△CBD（可记为“中点三相似”）

⑹三垂直模型是共线三等角模型的特殊情况。

图1图2

典型例题2-1

如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD=1，BD=2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕EF，点E、F分别在AC和BC上，若BF=1.25，则CE=（　　）

典型例题2-2

如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点（不与B,C重合）,∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα=

.下列给出的结论中,正确的有（）

①△ADE∽△ACD；   

②当BD=6时，△ABC与△DCE全等；

③△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；

④0

【小结】

变式训练2-1

如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB.E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠a.

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图l,若∠BCA=90∘,∠a=90∘,则BE___CF;EF___|BE−AF|（填“>”,“<”或“=”）；

②如图

（2）,若0∘<∠BCA<180∘，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件___，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立。

（2）如图,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）.

变式训练2-2

如图,在△ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点（不与B,C重合）,∠ADE=∠B=∠α,DE交AB于点E,且tan∠α=

有以下的结论：

①△ADE∽△ACD；②当CD=9时,△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时,BD为12或

;④0

其中正确的结论是___（填入正确结论的序号）

中考真题

如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=___.

如图,直线l1∥l2∥l3,一等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上,∠ACB=90∘,AC交l2于点D,已知l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,这样AD:

CD=1:

3,则

的值为（）

如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为___.

如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数

、

的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（  ）

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：

BC=3：

2，点A（3,0），B（0,6），分别在x轴，y轴上，反比例函数

的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为________．

如图,在平面直角坐标系中,OA=AB,∠OAB=90∘,反比例函数

（x>0）的图象经过A,B两点。

若点A的坐标为（n,1），则k的值为___.

如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为（−1,1）,点B在x轴正半轴上,点D在第三象限的双曲线

上,过点C作CE∥x轴交双曲线于点E,连接BE,则△BCE的面积为（）

如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（−9,0），B（0,6）两点，过点C（2,0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．

（1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式；

（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；

（3）当∠CBE=∠ABO时，点E的坐标为________．

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形。

（1）求证：

梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60∘保持不变。

设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；

（3）在

（2）中当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由。

（1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形。

如图

（1）,已知：

在△ABC中,∠BAC=90∘，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D.E.证明：

DE=BD+CE.

（2）组员小刘想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?

如图

（2）,将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB=AC，D.A. E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角。

请问结论DE=BD+CE是否成立?

如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由。

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

如图（3），过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：

I是EG的中点。

请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：

（1）探究1:

如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90∘,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD,连接CD.求证：

△BCD的面积为

.（提示：

过点D作BC边上的高DE,可证△ABC≌△BDE）

（2）探究2:

如图2,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90∘,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD，连接CD.请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由。

（3）探究3:

如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD，连接CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程。

如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：

FA=1：

5．

（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．

①求四边形BHMM′的面积；

②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．

（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．

已知顶点为A抛物线

经过点

，点

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；

（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标。

二次函数一题多问

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．

（1）求此函数的关系式；

（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）求四边形ABCD的面积．

（4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BPC的周长。

（5）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大?

最大是多少?

（6）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使△CAN面积最大？

最大面积是多少？

（7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少？

（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在。

求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

（9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。

（10）在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。

（11）在抛物线上是否存在一点H，使S△BCH=S△ABC，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。

（12）在抛物线上是否存在一点Q，使S△AOQ=S△COQ,若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

（13）在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积,若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

（14）在抛物线上找一点F，做FM⊥X轴，交AC与点H，使AC平分△AFM的面积？

（15）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L点的坐标。

（16）作垂直于x轴的直线x=-1，交直线AC于点M,交抛物线于点N，以A,M,N,E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标。

（17）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？

若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

（18）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（19）点P是抛物线上一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在点P，使得△PAH与△OBC相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（20）若点P从点A出发向B运动，同时点Q从点O出发向C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.