中考优等生培优竞赛专题第8讲几何模型三垂直模型.docx

1、中考优等生培优竞赛专题 第8讲 几何模型三垂直模型第8讲 三垂直模型【模型概述】出现3个直角，且3个直角的顶点共线时，角的边相交会形成相似（含全等）三角形。【基本模型】 图1 图2【解读】图1和图2中，三个直角顶点B，C，D共线；当ABC和CDE三组对应边均不相等时，有ABCCDE；当ABC和CDE任意一组对应边相等时（如AC=CE），有ABCCDE；证明思路： 同角的余角相等解题时往往只含有两个甚至一个垂直关系，需通过作垂线构造出三垂直模型，从而构造出全等或相似三角形，利用全等和相似的性质求解角度和线段长等问题。典型例题1-1已知：ACB=90，AC=BC，ADCM，BECM，垂足分别为D，

2、E。如图1，线段CD和BE的数量关系是请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明。如图2，结论还成立吗？如不成立，写出并证明AD，BE，DE之间的数量关系。【小结】典型例题1-2如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）典型例题1-3如图，抛物线经过点A（-1,0），B（4,0），交y轴于点C。求抛物线的解析式；点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。将直线BC绕点B顺时针旋转45，与抛物线交于另一点E，求BE的长。 【小结】变式训练1-1如图,已知直线l1l2l

3、3l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sin=( )变式训练1-2如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC，(1)求C点的坐标；(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰RtAPD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值；(3)如图3,已知点F坐标为(2,2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作RtFGH,始终保持GFH=90,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0)，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：mn

4、为定值；m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。变式训练1-3如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，另有过点B的直线与x轴交于点C，使得ABC=45，求点C坐标。扩展模型：共线三等角模型：当三垂直模型中3个直角变为相等的锐角或钝角时，仍会产生全等或相似三角形。解读：图1和图2中，大小均为的三个锐角（或钝角）顶点在同一直线你上。当三组对应边均不相等时，图1中有ABCECD，图2中有ABCCDE（注意对应关系）当ABC和CDE的任意一组对应边相等时，有两三角形全等。证明思路：三角形的外角和定理图1中，若C为AE的中点，连接BD，则有ABCECDCBD（可记为“中点三相

5、似”）三垂直模型是共线三等角模型的特殊情况。 图1 图2典型例题2-1如图，D是等边ABC边AB上的一点，且AD=1，BD=2，现将ABC折叠，使点C与D重合，折痕EF，点E、F分别在AC和BC上，若BF=1.25，则CE=（）典型例题2-2如图,在ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),ADE=B=,DE交AC于点E,且cos=.下列给出的结论中,正确的有()ADEACD；当BD=6时，ABC与DCE全等；DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；0”,“”或“=”)；如图(2),若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件_，使中的两个结论仍然成立，并证明

6、两个结论成立。(2)如图,若直线CD经过BCA的外部,=BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).变式训练2-2如图,在ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B,C重合),ADE=B=,DE交AB于点E,且tan=,有以下的结论：ADEACD；当CD=9时,ACD与DBE全等；BDE为直角三角形时,BD为12或;00)的图象经过A,B两点。若点A的坐标为(n,1)，则k的值为_.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(1,1),点B在x轴正半轴上,点D在第三象限的双曲线上,过点C作CEx轴交双曲线于点E,连接BE,则BCE的面积

7、为( )如图，一次函数y=kx+b(k0)的图象与x轴，y轴分别交于A(9,0)，B(0,6)两点，过点C(2,0)作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分（1）求一次函数y=kx+b(k0)的表达式；（2）若ACE的面积为11，求点E的坐标；（3）当CBE=ABO时，点E的坐标为_如图,在梯形ABCD中,ADBC，BC=4，点M是AD的中点，MBC是等边三角形。(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且MPQ=60保持不变。设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；(3)在(2)中当y取最小值时，判断PQC的形状，并说明理由。(1)某学习小

8、组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形。如图(1),已知：在ABC中,BAC=90，AB=AC，直线l经过点A，BD直线l，CE直线l，垂足分别为点D. E. 证明：DE=BD+CE.(2)组员小刘想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图(2),将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D. A.E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角。请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由。(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图(3)，过ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和

9、正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点。请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：(1)探究1:如图1,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD,连接CD.求证：BCD的面积为.(提示：过点D作BC边上的高DE,可证ABCBDE)(2)探究2:如图2,在一般的RtABC中,ACB=90,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连接CD.请用含a的式子表示BCD的面积，并说明理由。(3)探究3:如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，

10、连接CD.试探究用含a的式子表示BCD的面积，要有探究过程。如图1，在ABCD中，DHAB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5（1）如图2，作FGAD于点G，交DH于点M，将DGM沿DC方向平移，得到CGM，连接MB求四边形BHMM的面积；直线EF上有一动点N，求DNM周长的最小值（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QKAB，过CD边上的动点P作PKEF，并与QK交于点K，将PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K恰好落在直线AB上，求线段CP的长已知顶点为A抛物线经过点，点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点

11、M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若OPM=MAF，求POE的面积；（3）如图2，点Q是折线ABC上一点，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将QEN沿QE翻折得到QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标。 二次函数一题多问如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D（1）求此函数的关系式； （2）判断ACD的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD的面积（4）在对称轴上找一点P，使BCP的周长最小，求出P点坐标及BPC的周长。（5）在AC下方的抛物线上有一点N,过

12、点N作直线ly轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大? 最大是多少?（6）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使CAN面积最大？最大面积是多少？（7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少？（8）在y轴上是否存在一点E，使ADE为直角三角形，若存在。求出点E的坐标；若不存在，说明理由。（9）在y轴上是否存在一点F，使ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。（10）在抛物线上是否存在一点N,使SABN=SABC，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。（11）在抛物线上是否存在一点H，使SBCH=SABC，若

13、存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。 (12) 在抛物线上是否存在一点Q，使SAOQ=SCOQ, 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。(13) 在抛物线上是否存在一点E，使BE平分ABC的面积, 若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。（14）在抛物线上找一点F，做FMX轴，交AC与点H，使AC平分AFM的面积？（15）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L点的坐标。（16）作垂直于x轴的直线x=-1，交直线AC于点M,交抛物线于点N，以A,M,N,E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标。（17）在抛物线上能不能找到一点P，使POC=PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由（18）在线段AC上是否存在点M，使AOM与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由（19）点P是抛物线上一个动点，作PHx轴于H，是否存在点P，使得PAH与OBC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由（20）若点P从点A出发向B运动，同时点Q从点O出发向C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.