两数N次方差的一般计算公式.docx

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两数N次方差的一般计算公式

两数N次方差的一般计算公式

在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奧数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。

就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。

推导过程：

一、由二次方看

首先，我们知道两个数的二次方的计算方法

已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。

解答：

如图，一个数A的平方如图中有色部分，即"2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：

5*2-42=5**（2-1）+4*（2-1）=5+4=9

几何上可以理解为：

图中白色框的一边5与另一边4相加

4“2-3"2=4"（2-1）+3"（2-1）=4+3=7

几何上可以理解为：

图中绿色框的一边3与另一边4的相加

所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：

（A+1厂2-A"2=（A+1）"（2-1）*A"（2-2）+（A+1厂（2-2）林‘（2-1）

对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到

（A+l）^2-（A-1）a2=（A+1）*（2-1）*（A-l）*（2-2）*2+（A+l）"（2-2）*（A-1厂（2-1）*2

=[（A+1）*（2-1）*（A-l）*（2-2）+（A+1）72-2）*（A-1）*（2-1）]*2

几何上理解为:

长方向的A+1与[（A+1）-（A-1）]=2的面积、宽方向上A1与[（A+1）-（A-1）]=2的面积，两块面积的和。

同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：

P“2-Q'2=[P“（2-1）*Q*（2-2）+P"（2-2）*Q^（2-l）]*（P-Q）

二、再看三次方的情况

我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：

已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。

设A的相邻数为A+1和A-1,则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图：

（A+1）3-A3=（A+1）（3~1）*A（3-3）+（A+l）（3_2）*A（3-2）+（A+l）（3~3）*A（3-1）

A°3-（AT厂3二“（3-1）*（A-1厂（3-3）+A"（3-2）*（A-1厂（3-2）+2（3-3）*（A-1）73-1）

几何上的理解是：

长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（AT）与高方向上的A厚度为1的体积.长方向上的（21）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。

对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体枳的体积差，一般公式为：

P"3ST3=[P‘（3-1）*Q*（3-3）+p・（3-2）Q（3-2）+P“（3-3）水Q，（3-1）]*（P-Q）

3.推广到四次方

同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式:

（A+l）4~A4=（A+1）（4-1）*A（4-4）+（A+l）（4-2）*A（4-3）+（A+l）（4-3）*A（4-2）+（A+1）*（4-4）*A*（4-1）

不相邻两数的四次方之差的一般公式：

PH-Qt=[P‘（4-1）*Q*（4-4）+P"（4-2）*Q^（4-3）+P*（4-3）*Q*（4-2）+P"（4-4）*Q‘（4-1）]*（P-Q）

四、结论：

两个数的n次方之差计算方法，

综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出

相邻两个数的n次方的差的一般公式：

Pn一Q*n=P*（n-l）*Q*（n-n）+P*（n-2）*Q'l+P"（n-3）*Q2+P"（n-4）*Q3++P"（n-

n）*Q^（n-1）

不相邻两个数的n次方的差的一般公式：

P*n-Q*n=[P*（n-l）*Q"（n-n）+P*（n-2）*Q"l+P"（n-3）*Q2+P"（n-4）*Q“3++P*（n-n）*

Q"（n-l）]*（P-Q）

五、验证：

（D相邻两数的N次方的差的计算验证

3“4-2八4=81-16二65

3"4-2八4=3“3*2八0+3*2*2*1+3*1*2*2+3^0*2*3=65

6^6-5^6=46656-15625=31031

6*6-5*6=65*50+6*4*5*1+6*3*5*2+6'2*5*3+6*1*5*4+6*0*5*5=31031

（2）不相邻两数的N次方的计算验证

10^5-5^5=10000-3125=96875

105-55[10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5^5*5*5*5]*5

=[10000+5000十2500+1250+625]*5=19375*5二96875

1「6-9飞二1771561-531441=1240120

1「6-9飞=[1「5*1+1「4水9+1「3*9"2+1「2*9"3+1「1水9"4+1*9"5]*仃1-9）

=[161051+131769+107811+88209+72171+59049]*2

=620060*2=1240120

方差公式的应用

刘君王永会

方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值。

然而由于统计初步列入中学数学时间不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，故给学生一种错觉，好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已，别无它用。

为延伸教材内容，紧跟素质教育和新课程改革的步伐，笔者就八个方面的应用介绍如下：

若无为一组数据“，X2,X3X,r的平均数，S?

为这组数据的方差，则有

S’=-[（x,-x）2+（x2一元）'+…+（兀】一元）']=丄[打+x^+-+x,l1）-nx1]nn

由方差定义公式，显然有52>0,当且仅当x,=x2=•=x,t时S2=O

1.求值

例1.已知实数X、y、z满足

x+3y=6<1>

<

x+3y-2xy+2乙’=0<2>

试求八七的值。

解：

<1>-<2>得：

xy=z2+3<3>

<1>2得：

十+（3y）2=36—6与<4>

将<3>代入<4>得：

x2+（3y）2=18-6?

把x,3y视为一组数据，由方差公式，得

S2=l[x2+（3y）2-2x（^-^）2]=l（18-6z2-lx62）=-3?

2222

因为52>0,所以-3z2>0

所以z=0,所以于=0

所以x=3y代入<1>得x=3,y=1

所以x2v+z=32=9

2.解方程

例2.解方程4（仮+77^1+Jz-2）=x+y+z+9

解：

设4x=a,Jy-1=b,Jz-2=c,贝U

x=a29y=b2+1,z=c2+2

原方程可化为

4（a+b+c）=a2+b2+c2+12所以a，+b2+c2=4（"+Z?

+c）-12由方差公式，得a、b、c的方差为：

S2=^[（a2+h2+c2）—g（"+b+c）2]

=-—（a+b+c-6）2

9

因为0>0

所以（a+h+c-6）2<0

所以a+h+c=6

所以S‘=0,从而a=b=c=2

故x=4,y=5,z=6,经检验x=4,y=5,z=6是原方程的解。

3.解方程组

例3.解关于实数x、y、z的方程组

2%4-3y+z=13<1>

V

4x2+9y2+z2-2x+\5y+3z=82<2>

解:

由<1>得2x+（3y+3）=16-z

<1>+<2>,得（2x）2+（3y+3）2=一才一4乙+104

由方差公式，得2x,3y+3的方差为：

S2=+[（2x）2+（3）,+3）2_£（2牙+3），+3）2]

=-[（-?

-4z+104）-1（16-z）2]

22

a

=--U-4）2

4

3

因为S?

>0,所以一-a-4）2>0

4

所以（Z—4）2=0

所以z=4f所以52=0

所以2x=3y+3

把Z=4,2x=3y+3代入<1>得y=l,从而x=3,所以x=3,y=l,z=4

4.证明不等式

例4.已知x+y+z=a,求证：

x2+y2+z2>-a2

证明：

设x2+y2+Z2=vv*由方差公式，得X、y、Z的方差为

S'=*[（，+〉'+z2）_g（x+y+z）訂=*（w_g/）

因为s2>o,所以丄w—丄/）no

33

所以w>,&Px2+y2+z2>-a2

33

5.证明等式

例5.已知实数a、b,c满足（i=6—b,c，=ab—9,求证：

a=b

证明：

由已知得a+b=6

a2+b2=36-2ab=36-2（c2+9）=18-2c2

由方差公式，得实数a、b的方差为

S2=-[（a2+沪）一丄@+仍2]=丄[（18—2疋）一丄x62]=-c22222

因为52>0,所以-c2>0

所以c=0,所以S2=0,则a=b

6.求字母的取值范围

例6.设实数a、b、c满足

\a2-bc-Sa+7=0<1>

[b2+c‘+be-6a+6=0<2>

则a的取值范围是。

解:

<1>+<2>得

b2+c2=一/+14“一13

<2>-<1>得（Z?

+C）2=（。

一1）2

由方差公式得b、c的方差为

S2=!

[（/?

+c2）-l（h+c）2]

22

=l[（_a2+14a-13）--（a-l）2]

22

37

=-丁（a~-10“+9）

因为S?

>0

所以一-（a2-10a+9）>0

4

所以«2-l（k/+9<0

解得15aS9

7.求最值

例7.实数x、y满足4*2_5卩+4＞，2=5,设S=x2+y\则丄Smax

解：

设x2+y2=f9由方差公式得x、y的方程

S—hf2（字）2]

J[（D丄+2十

_（x2+y2）-2xy

4

①

4

因为—5xy^+4y2=5

所以5xy=4（x2+b）-5

4.,4

所以xy=-（x2+y2）-\=-t-\,代入⑪得

t--t+2

S2=—

4

所以3/-10<0

所以r

10

T

3

io

8.判断三角形形状

例8.设AABC的三边红b、c满足：

Z?

+c=8,bc=a2-\2a+52.试问AABC是什么三角形（按边分类）？

并证明你的结论。

解：

A4BC为等腰三角形，证明如下：

由已知得b2+c2=64-2bc=-2«2+24r/-40

由方差公式得b、c的方差为

S2=l[（/72+C2）-l（h+C）2]

22

=-[（-2a2+24a-40）--x82]

22

=—（°—6）2>0

因为S2>0,所以一G/-6）2>0,所以d=6,所以S2=0

所以b=c=4

故AABC是以a为底，以b.c为腰的等腰三角形。

练习:

1.

（4）

已知△ABC的三边纸b、c满足

（1）a>b>c；

（2）2b=a+c；（3）b是正整数;a2+h2+c2=84,求b的值。

2.

已知x+y+z=l，求证：

a:

2+y2+z2>-

3.

实数a、b.c.d满足a+b+c+c/=\O9a2+b2+c2+d2=289求a值范围。

4.

解方程组<

x+y+z,=3

2*>oc

X+y+空=3

+b+z、=3

设Xpx2,x3--x19都是正整数，且满足X]+£+…+“9=95,则

5.

x}2+x22+-+x192的最大值为一

6.设m、n、P为正实数，且nr+n2=p2,求的最小值。

7.求y=Jl+sinx+Jl-sinx的最大值。

2^03

8.已知a、b、c为AABC的三边，若a+b+c=,a2+b2+c2=试判断此

22

三角形的形状。

参考答案:

1.b=5

2.略

3.l

\=1

4.卩=1

Z=1

5.5947

7.2