两数N次方差的一般计算公式.docx

1、两数N次方差的一般计算公式两数N次方差的一般计算公式在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奧数学习中，通过 面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不 相邻两个数的N次方，发现同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计 算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。推导过程：一、 由二次方看首先，我们知道两个数的二次方的计算方法已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即2；这个数的相邻数的平方可以看图中 的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：5 * 2-

2、4 2=5 * (2-1) +4 * (2-1) =5+4=9几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加4 “ 2-32=4(2-1)+3(2-1)=4+3=7几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：(A+1 厂2-A2= (A+1) (2-1) *A (2-2) + (A+1 厂(2-2)林(2-1)对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到(A+l)2- (A-1)a2=(A+1)*(2-1)* (A-l)*(2-2)*2+(A+l)(2-2)*(A-1 厂(2-1)*2= (A+1)*(2-1)* (A-l)*

3、(2-2) + (A+1)72-2)*(A-1)*(2-1)*2几何上理解为: 长方向的A+1与(A+1)-(A-1)=2的面积、宽方向上A1与(A+1)-(A-1)=2的面积，两块 面积的和。同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：P“2-Q2=P“(2-1)*Q*(2-2)+P(2-2)*Q(2-l)*(P-Q)二、再看三次方的情况我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。设A的相邻数为A+1和A-1,则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如 右图：(A+1) 3-A 3= (A+1) (31) *A (3-3) + (A+l

4、) (3_2) *A (3-2) + (A+l) (33) *A (3-1)A 3-(AT 厂 3二“(3-1)* (A-1 厂(3-3)+A (3-2) *(A-1 厂(3-2)+2 (3-3) * (A-1) 73-1)几何上的理解是：长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的(AT)与高方向上的A厚度 为1的体积.长方向上的(21)与宽方向上的(A-1)厚度为1的体积，这三块体积之和。对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为(P-Q)的形成体枳的体积差，一 般公式为：P3ST3=P (3-1)*Q* (3-3) +p(3-2)Q (3-2) +P“ (3-3)水Q，(

5、3-1)*(P-Q)3.推广到四次方同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式:(A+l) 4A 4=(A+1) (4-1) *A (4-4) + (A+l) (4-2) *A (4-3) + (A+l) (4-3) *A (4-2) + (A+ 1) * (4-4) *A* (4-1)不相邻两数的四次方之差的一般公式：PH-Qt=P (4-1)*Q* (4-4) +P (4-2) *Q (4-3) +P* (4-3) *Q* (4-2) +P (4-4)*Q (4-1) * (P-Q)四、结论：两个数的n次方之差计算方法，综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出相邻两个数的n次方的差的一般公

6、式：P n 一 Q*n=P*(n-l)*Q*(n-n)+P*(n-2)*Ql+ P (n-3)*Q 2+ P(n-4)*Q 3+ + P(n-n)*Q(n-1)不相邻两个数的n次方的差的一般公式：P*n - Q*n=P* (n-l)*Q(n-n)+P*(n-2)*Ql+ P(n-3)*Q 2+ P(n-4)*Q“3+ + P* (n-n)*Q(n-l)*(P-Q)五、验证：(D相邻两数的N次方的差的计算验证3“4-2八4=81-16二6534-2八4=3“3*2八0 + 3*2*2*1 + 3*1*2*2 + 30*2*3=6566-56=46656-15625=310316*6-5*6=65

7、*50 + 6*4*5*1 + 6*3*5*2 + 62*5*3 + 6*1*5*4 + 6*0*5*5=31031(2)不相邻两数的N次方的计算验证105-55=10000-3125=96875105-55 10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*55*5*5*5*5=10000+5000十2500+1250+625*5=19375*5二9687516-9 飞二 1771561-531441=124012016-9飞=15*1+14水9+13*92+12*93+11水94+1*95*仃1-9)=161051+131769+107811+88209+

8、72171+59049*2=620060*2=1240120方差公式的应用刘君王永会方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值。然而由于统计初步列入中学数学时间 不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，故给学生一种错觉，好像学了方差 公式仅仅是为了统计计算而已，别无它用。为延伸教材内容，紧跟素质教育和新课程改革的 步伐，笔者就八个方面的应用介绍如下：若无为一组数据“，X2, X3 X,r的平均数，S?为这组数据的方差，则有S = -(x, -x)2 +(x2 一元)+(兀】一元) =丄打 +x+ -+x,l1)-nx1 n n由方差定义公式，显然有52 0,当且仅当x, =x2 =

9、=x,t时S2=O1.求值例1.已知实数X、y、z满足x + 3y = 6 x + 3y - 2xy + 2乙 =0 试求八七的值。解：-得：xy = z2 + 3 2 得：十+(3y)2 = 36 6与 将代入得：x2 +(3y)2 =18-6?,把x, 3y视为一组数据，由方差公式，得S2=lx2+(3y)2-2x(-)2 = l(18-6z2-lx62) = -3?22 2 2因为52 0,所以-3z2 0所以z=0,所以于=0所以x = 3y代入得x = 3, y = 1所以 x2v+z = 32 =92.解方程例 2.解方程4(仮+ 771 +Jz-2) = x+y + z + 9解

10、：设 4x = a, Jy -1 = b, Jz-2 = c,贝Ux = a2 9 y = b2 +1, z = c2 +2原方程可化为4(a+b + c) = a2 +b2 +c2 + 12 所以 a，+b2 +c2 =4(+Z? + c)- 12 由方差公式，得a、b、c的方差为：S2 =(a2 +h2 +c2) g(+b + c)2=- (a +b + c-6)29因为0 0所以(a+h + c-6)2 0所以a+h+c=6所以S=0,从而a =b = c = 2故x = 4, y = 5, z = 6,经检验x = 4, y = 5, z = 6是原方程的解。3.解方程组例3.解关于实

11、数x、y、z的方程组2% 4- 3 y + z = 13 V4x2 + 9y2 + z2 -2x + 5y + 3z = 82 解:由 得 2x + (3y + 3) = 16-z+,得(2x)2 +(3y + 3)2 = 一才 一4乙+104由方差公式，得2x, 3y + 3的方差为：S2 = +(2x)2 +(3), + 3)2 _ (2牙 + 3)，+ 3)2 = -(-?-4z+104)-1(16-z)22 2a= -U-4)243因为 S? 0,所以一-a-4)2 04所以(Z 4)2 =0所以z = 4f所以52 =0所以 2x = 3y+ 3把Z = 4, 2x = 3y + 3

12、 代入得 y=l,从而 x=3,所以x = 3, y = l, z = 44.证明不等式例 4.已知 x + y + z = a,求证：x2 +y2 +z2 -a2证明：设x2 +y2 +Z2 = vv*由方差公式，得X、y、Z的方差为S =*(，+ +z2)_g(x + y + z)訂= *(w_g/)因为s2 o,所以丄w丄/)no33所以 w , &Px2 +y2 +z2 -a23 35.证明等式例5.已知实数a、b, c满足（i = 6 b, c，= ab 9 ,求证：a=b证明：由已知得a+b = 6a2+b2 =36-2ab = 36-2（c2 +9） = 18-2c2由方差公式，

13、得实数a、b的方差为S2 =-（a2 +沪）一丄 + 仍2=丄（18 2疋）一丄 x62 = -c2 2 2 2 2因为52 0,所以-c2 0所以c = 0,所以S2 =0,则a=b6.求字母的取值范围例6.设实数a、b、c满足a2 -bc-Sa + 7 = 0 b2 + c + be - 6a + 6 = 0 则a的取值范围是 。解:+ 得b2+c2 =一/+14“一13-得(Z? + C)2 =(。一1)2由方差公式得b、c的方差为S2 =!(/?+c2)-l(h + c)22 2= l(_a2 +14a-13)-(a-l)22 23 7=-丁(a - 10“ +9)因为S? 0所以一-

14、(a2 -10a+ 9) 04所以2 -l(k/ + 90解得15aS97.求最值例7.实数x、y满足4*2_5卩+ 4，2 =5,设S = x2+y则丄 Smax解：设x2 +y2 = f 9由方差公式得x、y的方程Shf 2(字)2J(D丄+2十_ (x2+y2)-2xy44因为 5xy + 4y2 = 5所以 5xy = 4(x2 + b) - 54. , 4所以xy = -(x2+y2)- = -t-,代入得t-t + 2S2=4所以 3/-100所以r 0因为S2 0,所以一G/-6)2 0,所以d = 6,所以S2 =0所以b = c = 4故AABC是以a为底，以b. c为腰的等

15、腰三角形。练习:1.(4)已知ABC的三边纸b、c满足(1) abc； (2) 2b = a + c； (3) b是正整数; a2 +h2 +c2 =84,求 b 的值。2.已知x + y + z=l，求证：a:2 +y2 +z2 -3.实数 a、b. c. d 满足a+b + c + c/ = O9 a2 +b2 +c2 +d2 = 28 9 求 a 值范围。4.解方程组 o cX +y +空=3+ b + z、= 3设Xp x2, x3-x19都是正整数，且满足X + +“9 = 95 ,则5.x2 +x22 + - +x192的最大值为一6.设m、n、P为正实数，且nr +n2 = p2,求的最小值。7.求 y = Jl + sinx + Jl-sinx 的最大值。20 38.已知a、b、c为AABC的三边，若a+b + c = , a2 +b2 +c2 =试判断此2 2三角形的形状。参考答案:1.b = 52.略3.ln4 = 14.卩=1Z = 15.59477. 2