材料力学习题的答案解析.docx
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材料力学习题的答案解析
第二章轴向拉伸与压缩
2-1试求图示直杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力,并画出轴
力图。
F1=18kN
(b)
F3=25kN3
力。
解:
2-2图示中部对称开槽直杆,试求横截面1-1和2-2上的正应
1.轴力
M1I2-,4kN
*—r.*—
12
20
1F2=3kN
F4=10kN
2
3
15
18
Fn
F
14kN
2.应力
Fn
14
103
11
MPa
175MPa
A11
20
4
Fn
14
103
22
MPa
350MPa
A22
20
104
由截面法可求得,杆各横截面上的轴力为
2-3图示桅杆起重机,起重杆AB的横截面是外径为20mm、径为18mm的圆环,钢丝绳BC的横截面面积为
BC横截面上的应力。
AB和钢丝绳
o
10mm2。
试求起重杆
解:
1.轴力
取节点
Fx0:
B为研究对象,受力如图所示,
FnbcFnabcos30Fcos45
2-4图示由铜和钢两种材料组成的等直杆,铜和钢的弹性模量
分别为E1100GPa和E2210GPa。
若杆的总伸长为
Al0.126mm,试求载荷F和杆横截面上的应力。
2铜1钢
//
f
1
40.-
400
600
解:
1•横截面上的应力
由题意有
I1
FhFI2
l2
E1AE2A
由此得到杆横截面上的应力为
l
hI2
E1E2
h
E1
l2
E2
0.126
600400
100103210103
MPa
15.9MPa
Fy0:
由此解得:
2.应力
起重杆横截面上的应力为
FNAB
AB
Fnabsin30Fsin45
Fnab2.83kN,
2.83103
Aab2。
2
4
钢丝绳横截面上的应力为
3
1.04103
10
Fnbc
bc“
fnbc
——MPa
182
1.04kN
47.4MPa
MPa104MPa
2.载荷
2
Fa15.9—402N20kN
4
2-5图示阶梯形钢杆,材料的弹性模量E200GPa,试求杆横截面上的最大正应力和杆的总伸长。
解:
1.最大正应力
由于杆各横截面上的轴力相同,故杆横截面上的最大正应力发生
在BC段的任一横截面上,即
40103MPa127.3MPa
2
202
Fn
max
Abc
2.杆的总伸长
11ab
1BC
FlABFlBC
EAabEAbc
FlAB
Ed:
B
4
FIbc
dBc
4
4F1AB1BC
E.2.2
EdaBdBC
440103
3
200103
400
402
800
—2mm0.57mm
202
2-6图示电子秤的传感器为一空心圆筒形结构,圆筒材料的弹性模量E200GPa。
在秤某一沿圆筒轴向作用的重物时,测得筒壁产生的轴向线应变49.8106。
试求此重物的重量Go
解:
圆筒横截面上的轴力为
FnG
由克定律
G
eea
可以得到此重物的重量为
GEA
1
:
]
777
80
4=►
49.8106200103—80280922N
4
20kN
第三章材料的力学性质
拉压杆的强度计算
3-1图示水压机,若两根立柱材料的许用应力为[]80MPa,
试校核立柱的强度。
J$i/
解:
立柱横截面上的正应力为
6001032
8024
MPa
59.7MPa[]
所以立柱满足强度条件。
3-2图示油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。
已知油缸径
D350mm,油压p1MPa。
若螺栓材料的许用应力[]40MPa,
试求螺栓的径。
解:
由于压的作用,油缸盖与缸体将有分开的趋势,依靠六个螺栓将它们固定在一起。
油缸盖受到的压力为
D2
P一
4
6个螺栓均匀分布,每个螺栓承受的轴向力为
F1D2
P-
66
由于
Fn
由螺栓的强度条件
Fn
A
D2
P一
4
d2
4
pD2
加=[]
可得螺栓的直径应为
d-6[P]D
640
350mm22.6mm
3-3图示铰接结构由杆AB和AC组成,杆AC的长度为杆AB长度的两倍,横截面面积均为A200mm2。
两杆的材料相同,许用
3-4承受轴力Fn160kN作用的等截面直杆,若任一截面上的切应力不超过80MPa,试求此杆的最小横截面面积。
解:
由切应力强度条件
昙7
max
2
可以得到
Fn
160
1032
A>
mm1000mm
2[]
2
80
解:
由Fx0:
Fnacsin30Fnabsin450
可以得到:
Fnac
-2FnabFnab
即AC杆比AB杆危险,故
fnac
[]A160
200N32kN
Fnab
1
_Fnac
162kN
由Fy0:
Fnabcos45
Fnaccos30F0
可求得结构的许用载荷为[F]43.7kN
解:
3-5试求图示等直杆AB各段的轴力。
2F
FbI
Fb
为一次超静定问题。
设支座反力分别为Fa和Fb
由截面法求得各段轴力分别为
FnacFa,FncdFa2F,
Fndb
Fb
①
静力平衡方程为
Fy0:
Fa2FF
Fb0
②
变形协调方程为
11AC
1CD
1DB
0
③
物理方程为
.FNACa
1」
Fncd
2a
Fndba
④
1AC
1CD
1DB
EA
EA
EA
由①②③④联立解得:
FA
7f,
Fb
5f
4
4
故各段的轴力分别为:
Fnac
7f
f
NCD
FF
Fndb
5f。
444
图示结构的横梁AB可视为刚体,杆1、2和3的横截面面
[]。
试求许用载荷
3-6
解:
为一次超静定问题。
由对称性可知,FNADFNBF,
静力平衡条件:
Fy0:
变形协调条件:
1AD1BF。
Fnce
Fnad
FnceFnbf
[F]。
Fnbf
EA
EA
FNAD
2FNCE
③
FNAD
Fnbf2Fnce
2f
由①②③解得:
1AD
FNAD1
1CE
FNCE21
5
由AD、BF杆强度条件
许用载荷为
5
[F][]A
2
AD
BF
2F5
<[],可得该结构的
A
3-7图示铰接形结构,各杆的材料均为铸铁,其许用压应力与
许用拉应力的比值为[c][t]3,各杆的横截面面积均为该结构的许用载荷[F]。
A。
试求
3-8图示横担结构,小车可在梁AC上移动。
已知小车上作用的载荷F15kN,斜杆AB为圆截面钢杆,钢的许用应力[]170MPa。
若载荷F通过小车对梁AC的作用可简化为一集中力,
Fn
Fn
(b)
解:
0.8m
A
Fnab
解:
B点受力如图(a)所示,由平衡条件可得:
由对称性可知,AD、BD、AC、BC四杆受拉,由拉杆的强度条件
F2
t——w[t]
A
Fw2[t]A
D点受力如图(b)所示,由平衡条件可得:
Fn
CD杆受压,压力为F,
cFw[c]3[
A
Fw3[t]A
可得
可得
由①②可得结构的许用载荷为
Word文档
Fn
拉力均为
由压杆的强度条件
t]
[F]2[t]A。
由几何关系,有sin
取AC杆为研究对象
MC0:
由此可知:
当x
Fnab
FNABmax
fnabsin
1.9m时,
F
sin
可得
FNABmax
ABmax2
d24
4FNABmax
d>J
\[]
0.8
0.821.92
1.9Fx0
0.388
kN38.66kN
0.388
3
438.6610—
mm17mm
170
3-9图示联接销钉。
已知F100kN,销钉的直径d30mm,
3-10图示凸缘联轴节传递的力偶矩为Me200Nm,凸缘之
材料的许用切应力[]60MPa。
试校核销钉的剪切强度,若强度不够,应改用多大直径的销钉。
间用四个对称分布在D。
80mm圆周上的螺栓联接,螺栓的径
解:
1.校核销钉的剪切强度
F22Fd24d2
I
•销钉的剪切强度不够。
2100103
302
MPa
2.设计销钉的直径
F2
由剪切强度条件2三[],可得
d2,4
'3
210010mm
60
70.7MPa[]
32.6mm
强度。
解:
可得
设每个螺栓承受的剪力为
fq号
Fq
螺栓的切应力
Me
Fq2D0
TTdZ
4
2Med2D。
截面n-n
Fq,则由
4Me
Me
2D。
2200
2103MPa15.9MPa[]
10280
螺栓满足剪切强度条件。
3-11图示矩形截面木拉杆的接头。
已知轴向拉力F50kN,截面的宽度b250mm,木材顺纹的许用挤压应力[bs]10MPa,顺纹的许用切应力[]1MPa。
试求接头处所需的尺寸I和a。
3-12图示螺栓接头。
已知F40kN,螺栓的许用切应力
do
[]130MPa,许用挤压应力[bs]300MPa。
试求螺栓所需的直径
解:
F
bs—W
[bs]
ab
可得
F
50
103
a>
mm20mm
b[bs]
250
10
解:
1.由挤压强度条件
2.由剪切强度条件
由螺栓的剪切强度条件
F2
一2三[]
d24
可得
2F
可得
F
—<
bl
d>t—\[]\
2.由螺栓的挤压强度条件
F
bsd20w
240103
mm14mm130
[bs]
可得
F
b[]
50103
mm200mm
2501
40103
mm6.7mm
20300
综合1、
F
>
20[bs]
2,螺栓所需的直径为d>14mm。
3-13图示结构的AB杆为刚性杆,BE与铜杆CD吊起。
已知CD杆的长度为1m铜的弹性模量250mm2,钢的弹性模量力以及BE杆的伸长。
E1100GPa;
E2
A处为铰接,AB杆由钢杆
,横截面面积为500mm2,
BE杆的长度为2m,横截面面积为
200GPa。
试求CD杆和BE杆中的应
Fncd
F△Ibe
Fnbe
△Icd
3-14由两种材料粘结成的阶梯形杆如图所示,上端固定,下端
与地面留有空隙0.08mm。
铜杆的A140cm2,E1100GPa,
116.5106C1;钢杆的A220cm2,E2200GPa,
212.5106C1,在两段交界处作用有力F。
试求:
(1)F为多大时空隙消失;
⑵
⑶
解:
为一次超静定冋题。
静力平衡条件:
MA0:
I
变形协调方程:
FNBEE2A2
FnbeFncd
FNBE
即:
即:
由①②解得:
各杆中的应力:
钢杆伸长:
Ibe
Fnbe
1BE
22Fncd
Fncd1200〔.5
21CD
1
解:
E2A2_
EiA
Fncd
100
BE
CD
BE
E1A1
200_250
100500100kN
103
MPa
250
100103
MPa
IbeBEIbe
E2
1•由
400MPa
200MPa
200103
2103
mm4mm
F500kN时,各段的应力;
各段的应力。
F11可得
E1A1
E1A10.08100_103_40
1103
11F500kN时,
2.当
故为一次超静定问题。
(1)静力平衡方程
102N32kN
空隙已消失,并在下端产生支反力,如图所示,
Fy0:
F1F2F0
即F1F2500103
变形协调方程:
FiliF2I2
即:
100
EiAE2A2
Fiii03.2
32320-08i0340i02200i0320i02
F22i03
即:
Fi
2F232
由①②解得:
Fi344kN,R2I56kN
344i03
MPa86MPa
40i02
I56i03
2MPa78MPa
20I0
3.当F
500kN且温度再上升20C时,仍为一次超静定问题,此时
静力平衡方程仍为①式,而变形协调方程为
即:
Fili
EiAi
E2A2
ii03
I00i0340i02
I6.5I0620
Fi
Fi
tli2t12
3
F22I0
200i0920
ii03I2.5
3
2F2300i03
io4
io6202io30.08
Fi233.3kN,R2
3
233.3i03—MPa58.3MPa
40i02
266.7i032—MPaI33.4MPa
20i02
第五章梁的基础问题
5-1
试用截面法求图示梁中
nn横截面上的剪力和弯矩。
5-2试用截面法求图示梁中1-1横截面和2-2横截面上的剪力
和弯矩。
设1-1横截面和2-2横截面无限接近于载荷作用位置。
*B
F2=6kN
q=4kN/m
Fq
8kN
6kN
(b)
FAy
A
nwzpmC
-I-2m--2m■:
4kN/m
n
□
卫
2m
O,
6kN
Fq
解:
(a)将梁从n-n横截面处截开,横截面的形心为O,取右半部分为研
究对象,设n-n横截面上的剪力弯距方向如图所示。
Fy0:
Fq
860,
Fq
14kN
Mo0:
M
8163
0,
M
26kNm
(b)对整个梁
Mb0:
FAy
4461
0,
FAy
6kN
将梁从n-n横截面处截开,横截面的形心为O,取左半部分为研究对象,设n-n横截面上的剪力弯距方向如图所示。
Fy0:
642Fq0Fq2kN
Mo0:
62421M0M4kNm
(a)
1)(卜
Q1FQ2
F/2
解:
1)(1
Fq1
Fq2
F/2
FAy
Me/l
(a)以整个梁为研究对象,求得支反力:
由截面法,研究对象,
分别以
1-1横截面的左半部分和
2-2
FBy2
横截面的右半部分为
求得:
FQ2
F
2
F
2
M1
Fl
4
Fl
4
(b)以整个梁为研究对象,求得支反力:
由截面法,研究对象,
分别以1-1
横截面的左半部分和
FAy
2-2
Me
l
横截面的右半部分为
FBy
Me
l
求得:
Fq1
Fq2
Me
l
Me
l
M1
Me
2
Me
(b)
解:
1.求支反力
Me0:
Fy0:
2•列力方程
Fq(x)
M(x)
3•作力图
5-3试写出图示梁的力方程,并画出剪力图和弯矩图。
(a)
7
FQ(kN)
FAy
FAy
612
FBy
kN
10
10
7x
3(6
kN
12
x)
kN
kN
FAy7kN
FBy3kN
解:
1.求支反力
Mb0:
Fy0:
12
l门
FAy
l-ql2
ql—0
2
2
FAy
FByq
lql0,
2•列力方程
Fq(x)
qx0x
l
qllx
3l2
M(x)
qx22
0xl
ql(3l2x)
lx3l2
3•作力图
0
2ql
(a)
5-4试画出图示梁的剪力图和弯矩图。
Al
(b)qa2_
q
ium
Jill.
3
叭AB
\C
a…a
a…a
解:
2F
-1/2
——1/2
(d)
F=20kN
qIq=30kN/m
arrtpk目Im
Fcy=40kNFEy=40kN
*1m—1m—1m—1m«
解:
30
M(kN•m)
1515
5-5试用Fq、M与q之间的微分关系判断图示梁的力图形态,出力图,并求出|FQ|max和MImax。
(a)
(b)
解:
qa
2
Fq图:
AC段:
q为常数,且q向上凸的抛物线。
M图:
CB段:
q为常数,且q向下凹的抛物线。
0,Fq图从左到右为向下的斜直线,
0,Fq图从左到右为向上的斜直线,
M图为
M图为
在C截面处,Fq图连续,M图光滑。
解:
1.求支反力
2
5qa
3
qa
3
2
MB0:
FAy3aq2a2aqa0,FAy
Fy0:
FAyFByq2a0,FBy
2•判断力图形态并作力图
Fq图:
AC段:
q为常数,且q0,Fq图从左到右为向下的斜直线,M图为
5
向上凸的抛物线,在距A端5a截面处,M取极大值。
3
M图:
CB段:
q0,Fq图为水平直线,且Fq0,M图从左到右为向下的
斜直线。
在C截面处,Fq图连续,M图光滑。
(C)
(d)
[P=qa
Mm=8kNmq=6kN/m
解:
1.求支反力
MB0:
FAy3aq2a2aqa2a0,FAy2qa
Fy0:
FAyFByq2aqa0,FByqa
2•判断力图形态并作力图
Fq图:
AC段:
q为常数,且q0,Fq图从左到右为向下的斜直线,M图为
向上凸的抛物线。
C截面处,有集中力F作用,Fq图突变,
M图不光滑。
M图:
CD段:
q为常数,且q0,Fq图从左到右为向下的斜直线,M图为
向上凸的抛物线。
DB段:
q0,Fq图为水平直线,且Fq0;M图从左到右为向下的斜直线。
解:
1.求支反力
12
MB0:
FAy686420,FAy9.3kN
y2
Fy0:
FAyFBy640,FBy14.7kN
2•判断力图形态并作力图
Fq图:
AD段,q0,为水平直线;
DB段,q0,从左到右为向下的斜直线。
M图:
AC段,q0,且Fq0,从左到右为向上的斜直线;
C截面处,有集中力偶Me作用,有突变;
CD段,q0,且Fq0,从左到右为向上的斜直线,且与AC
段平行;
DB段,q0,为向上凸的抛物线;
在距B端2.45m截面处,Fq0,M取极大值。
5-6图示起吊一根单位长度重量为q(kN/m)的等截面钢筋混
凝土梁,要想在起吊中使梁产生的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等,应将起吊点A、B放在何处
5-7图示简支梁受移动载荷F的作用。
试求梁的弯矩最大时载
荷F的位置。
解:
示,
即
la
q
a?
)?
04
—
-►I
a2
由此求得上述方程的非负解为
21
al0.207l
2
ql/2
ql/2
解:
设载荷F移动到距A支座为x位置,梁的弯距图如图(b)所示梁的最大弯矩发生在载荷F所在截面,其值为
1、求支反力
2
qliaqi
——a——
2、做
3、求
由
Mb0:
FAylF(l
M图,并求Mmax
Mmaxx
Mmax最大时的位置
dMmax
dx
由此求得
lx
x)0,FAy|F
Fl2x0l
1
x-
2
即:
当移动载荷F位于梁的中点时梁的最大弯矩Mmax达到最大。
5-8长度I250mm、横截面宽度b25mm、高度h0.8mm的薄钢尺,由于两端外力偶矩的作用而弯成中心角为60的圆弧。
已
知钢的弹性模量E210GPa,试求钢尺横截面上的最大正应力。
解:
根据题意
I
EI
5-9图示矩形截面简支梁。
和切应力。
8kN
试求1-1横截面上a、b两点的正应力
1000j
1000
1200
1
1
FAy
150
75
10—
可以得到
故钢尺横截面上的最大正应力为
max
Mymax
210103-
3
250
351.9MPa
0.8
一MPa
解:
1.求
Mb
1-1横截面上的剪力和弯矩
FAy2.2
截面上的剪力和弯矩为:
2.求1-1横截面上
a、
Iz
7515034
mm
12
M1
Iz
1ya
Fq11Sz
bIz
M11yb
Iz
40106
11
0,
FAy—kNy11
40
40
—kN,
M11—kNm
11
11
81
b两点的应力
21.1
150
2
21.1106
106mm4
40
MPa6.0MPa
40103754015040
11
22
6
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