函数的奇偶性教案.docx

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函数的奇偶性教案

函数的奇偶性教案

　　教学目标

　　1．从形与数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念．

　　2．通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想方法．

　　3．培养学生从特殊到一般的概括能力．

　　教学重点与难点

　　函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定．

　　教学过程设计

　　师：

同学们，“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映．让我们看看下列各函数有什么共性？

　　（幻灯．翻折片．）

　　观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性（图1）．

　　生：

函数f（x）=x2是定义域为全体实数的抛物线；函数f（x）=|x|－1是定义域为全体

　　图象关于y轴对称．

　　师：

那么究竟什么叫关于y轴对称？

　　师：

（幻灯演示）将f（x）=x2在y轴右侧的图象，沿y轴折过来，我们发现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是正确的．既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？

　　（幻灯演示）我们在函数f（x）=x2位于y轴右侧的图象上任取一点（x，f（x）），通过沿

　　标有什么关系？

　　对应的函数值相等．

　　师：

看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？

　　生：

如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数．

　　（当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补充．）

　　师：

下面我们来分析一下这个定义．定义中“任意一个x∈D，都有f（－x）=f（x）成立”说明了什么？

　　生：

这说明f（－x）与f（x）都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的．

　　师：

定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？

　　生：

定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件．

　　师：

那么定义的实质是什么呢？

同学们能不能用自己的语言来表述一下偶函数的定义．

　　生：

当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等．

　　师：

下面我们看几个习题．

　　（幻灯）

　　1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）f（x）=x2，x∈[－1，2]；

　　生：

函数f（x）=x2，x∈[－1，2]不是偶函数．因为它的定义域关于原点不对称．

　　于原点对称．

　　（对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x2，进而化简成f（x）=x2，从而得出该函数是偶函数的错误结论．）

　　（多重复合幻灯）

　　2．判断下列图象（图2）是否是偶函数的图象？

　　师：

首先，我们取几对相反数检验一下（复片1）．当自变量取±1这对相反数时，对应的函数值f

（1）与f（－1）恰好相等；当自变量取±3这对相反数时，对应的函数值f（3）与f（－3）也恰好相等；当自变量取±4时，也得到了相同的结果．类似的相反数还可以举出很多对．由此，是否就能判断该图象是偶函数的图象呢？

　　（有的学生认为能判断，有的学生认为不能，当学生发表完意见后，教师总结．）

　　师：

当自变量取±2这对相反数时，我们观察到f

（2）与f（－2）并不相等，这就违背了偶函数定义中，自变量取值的任意性，即不能使函数定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），所以该图象不是偶函数的图象．

　　同学们，让我们再来观察一组函数的图象，看看它们之间有什么共性？

　　（幻灯．旋转片）

　　观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

　　生：

各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称．

　　师：

那么究竟什么叫做关于原点对称呢？

　　师：

（幻灯演示）将f（x）=x3在第一象限内的图象，绕着原点旋转180°，我们发现它与f（x）=x3在第三象限内的图象重合了．这说明我们刚才的观察结果是正确的．那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢？

　　生：

一对关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．即：

当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反数．

　　师：

我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？

　　生：

如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．

　　师：

定义中“任意一个x∈D，都有f（－x）=f（x）成立”说明了什么？

　　生：

这说明f（－x）与f（x）都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的．

　　师：

由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．那么这个定义的实质是什么呢？

　　生：

当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数．

　　师：

我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶的函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？

　　生：

有．函数f（x）=0，x∈R就是一个．

　　师：

那么这样的函数有多少个呢？

　　生：

只有函数f（x）=0，x∈R一个．

　　师：

再想一想．函数的三要素是什么呢？

　　生：

函数的三要素是对应法则、定义域和值域．

　　师：

对．可见三要素不同的函数就是不同的函数．

　　生：

既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式都为f（x）=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：

f（x）=0，x∈[－3，－1]∪[1，3]；f（x）=0，x∈[－5，－2]∪[－2，－5]等等．

　　师：

所以函数按奇偶性可分为四类：

奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数．

　　例1判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=lg（4＋x）＋lg（4－x）；

　　分析：

先验证函数定义域的对称性，再考察f（－x）是否等于f（x）或－f（x）．

　　解

（1）f（x）的定义域是｛x|4＋x＞0且4－x＞0｝=｛x|－4＜x＜4｝，它具有对称性．

　　因为f（－x）=lg（4－x）＋lg（4＋x）=f（x），

　　所以f（x）是偶函数，不是奇函数．

（2）解法一：

当x＞0时，－x＜0，于是

　　当x＜0时，－x＞0，于是

　　综上可知，在R-∪R+上，g（x）是奇函数．

　　这两条曲线（图4）关于原点对称，因此函数g（x）在R-∪R+上是奇函数．

　　例2设F（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，F（x）的解析式是ex，求F（x）在R上的表达式．

　　解任取x∈（－∞，0），设P（x，y）是函数F（x）图象上的一个点．由于F（x）是奇函数,

－y＝e-x→y＝－e-x．

　　上式就是点P（x，y）的坐标满足的关系式，即x＜0时F（x）的解析式．

　　当x=0时，F（－0）=－F（0），即F（0）=0．所以奇函数

　　（今后遇到函数奇偶性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，“定义法”是基本方法．）

　　练习（幻灯）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．

　　1．f（x）=x2＋3，x∈[－10，20]；

　　2．f（x）=x3＋x，x∈[－2，2）；

　　3．f（x）=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]；

　　5．f（x）=|x－2|＋|x＋2|；

　　6．f（x）=|x－2|－|x＋2|；

　　7．f（x）=5；

　　生：

1．f（x）=x2＋3，x∈[－10，20）的定义域关于原点不对称，因此是非奇非偶函数．

　　2．f（x）=x3＋x，x∈[－2，2）的定义域关于原点也不对称，因此是非奇非偶函数．

　　3．f（x）=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]是既奇且偶函数．这是因为f（－x）=f（x）且f（－x）=－f（x），定义域关于原点也对称，所以是既奇且偶函数．

　　点也对称，所以是奇函数．

　　5．f（x）=|x－2|＋|x＋2|是偶函数．这是因为f（－x）=|－x－2|＋|－x＋2|=|x＋2|＋|x－2|=f（x），且x∈R，所以是偶函数．

　　6．f（x）=|x－2|－|x＋2|是奇函数．这是因为f（－x）=|－x－2|－|－x＋2|=|x＋2|－|x－2|=－（|x－2|－|x＋2|）=－f（x），且x∈R，所以是奇函数．

　　7．f（x）=5是偶函数．这是因为f（－x）=5=f（x），且x∈R，所以是偶函数．

　　=lg1=0，即f（－x）=－f（x），且x∈R，所以是奇函数．

　　师：

函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的单调性加以区分．我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以理解，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件．

　　作业

　　课本P52练习第2题，P59习题五第8，9，10题．其中第10题加一问“为什么？

”

　　补充题：

　　1．设f（x）在R上是奇函数，当x＞0时，f（x）=x（1－x）．试问：

当x＜0时，f（x）的表达式是什么？

　　（解当x＜0时，－x＞0，所以f（－x）=－x（1＋x）．又因为f（x）是奇函数，所以f（x）=

　　－f（－x）=－[－x（1＋x）]=x（1＋x）．）

　　2．若奇函数f（x）在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在[－7，－3]上是（）．

　　A．增函数且最小值为－5

　　B．增函数且最大值为－5

　　C．减函数且最小值为－5

　　D．减函数且最大值为－5

　　（答B．）

　　课堂教学设计说明

　　我们可以根据定义来判断一个函数的奇偶性，也可以根据一个函数的图象关于原点或y轴对称的特征来判断它的奇偶性．反过来，我们若已知一个函数的奇偶性，也可以推断它在整个定义域内的图象和性质．可见，在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系．所以，我没有一上来就给出定义，而先给出一组图形，让学生们在观察中寻找它们的共性，目的是让学生先有个直观上的认识．为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述，先提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，再提示学生“具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？

”然后，引导学生表述定义，目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能力．最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解．