北师大版七年级下册第三章《变量之间的关系》全章教案概要.docx
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北师大版七年级下册第三章《变量之间的关系》全章教案概要
课题
第三章变量之间的关系
1、用表格表示的变量间关系
教
学
目
标
1．知识与技能：
经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感；在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子；学会用表格整理试验得出的数据，能从表格中获得变量之间关系的信息，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测。
2．过程与方法：
借助表格，表示因变量随自变量的变化情况。
3.情感态度与价值观：
初步理解并尝试用数学方法描述变量之间的关系，并能用自己的语言描述出来。
教学重、难点
1.重点：
能从表格中发现变量之间存在的关系，并能用自己的语言描述出来。
2.难点：
理解变量、自变量、因变量等概念。
教学过程
教学内容
可根据学生实际增减内容
第一环节：
进入变化的世界
活动内容:
以地壳随时间推移而运动为例，让学生关注到我们生活在变化的世界中,很多东西都在发生变化,请学生列举一些日常生活中常见的发生变化的事物。
如:
随年龄的增长，身高、体重都发生了变化；随着时间的变化汽车行驶的路程也在变化；烧一壶水10分钟水开了，时间和水温的变化；……
第二环节：
通过数据感受变化
活动内容:
1.儿童从出生到10岁的体重变化。
婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍。
（1）上述的哪些量在发生变化？
（2）某婴儿在出生时的体重是3.5千克，请把他在发育过程中的体重情况填入下表：
年龄
刚出生
6个月
1周岁
2周岁
6周岁
10周岁
体重/千克
（3）根据表中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随着年龄的增长而变化的。
2.利用实验器材——小车、木板、秒表、调节高度的装置，让学生参与到“小车下滑的时间”的实验中,并一起完成表格。
利用同一块木板，测量小车从不同的高度下滑的时间，然后将得到的数据填入下表：
高度/厘米
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
时间/秒
注：
1.支撑物的高度需根据具体试验情况调整，保持等差（d）增加即可。
2.参考木板与小车间的摩擦程度和木板的长度确定试验中支撑物的起止高度。
根据上表回答下列问题：
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？
（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少。
你是怎样估计的？
（5）随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？
哪些量始终不发生变化？
注：
第
（1）、（3）、（4）中的数据需根据具体试验中数据进行调整。
3.各小组选择在第一环节中举到的容易操作的试验内容，课后分组完成。
第三环节：
概念介绍
活动内容:
在“小车下滑的时间”中，
支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量（variable）。
其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。
支撑物的高度h是自变量（independentvariale），小车下滑的时间t是因变量（dependentvariale）。
在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板的长度）一直没有变化。
像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量（constant）。
在“儿童从出生到10岁的体重变化”中，儿童的体重随年龄的变化而变化。
年龄是自变量，体重是因变量。
借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
在表格里，通常把自变量放在上（或左）面，把因变量放在下（或右）面。
第四环节练习提高
活动内容:
1．议一议∶我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
（1）如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
（2）x和y哪个是自变量?
哪个是因变量?
（3）从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？
（4）你能根据此表格预测2019年时我国人口将会是多少吗？
2．某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置：
排数
1
2
3
4
座位数
60
64
68
72
（1）上述哪些量在变化？
自变量和因变量分别是什么？
（2）第5排、第6排各有多少个座位？
（3）第n排有多少个座位？
请说明你的理由。
第五环节课堂小结
活动内容:
师生互相交流总结本节所学的知识,如何从表格中获取信息；如何用表格表示变量之间的关系；如何对变化趋势进行预测。
第六环节布置作业
习题3.1：
问题解决4、5
教学反思
课题
2、用关系式表示的变量间关系
教
学
目
标
1．知识与技能：
经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感；能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系；能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值。
2．过程与方法：
如何将生活中的实际问题转化为数学问题；如何用数学方法解决实际生活中的问题。
3.情感态度与价值观：
培养学生动手的能力，探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力。
通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法。
教学重、难点
1.重点：
学会用关系式来表示变量之间的关系。
2.难点：
把变量、自变量、因变量等概念理解吃透，根据关系式找自变量与因变量之间的对应关系。
教学过程
教学内容
可根据学生实际增减内容
第一环节：
回顾与思考
在《小车下滑的时间》中：
支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化,支撑物的高度h是自变量，小车下滑的时间t是因变量。
第二环节：
观察思考
活动内容：
三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些？
①操作多媒体，演示“三角形面积的变化”
②问题探究：
（1）问题：
决定一个三角形面积的因素有哪些？
（2）课件演示：
（高一定）变化中的三角形（如图4-1）
第三环节：
诱导探究
活动内容：
提出思考问题：
如果△ABC底边BC上的高是6厘米。
当三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
在这个变化过程中，△ABC中的哪些因素在改变？
（1）这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果三角形的底边长为x（厘米），那么三角形的面积y（厘米2）可以表示为________________。
（3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从_____平方厘米变化到_____平方厘米.
第四环节：
学习新知
活动内容：
（1）同学们能根据要求填写下列的表格吗？
根据三角形的底边长为x（厘米），和三角形的面积y（厘米2）的关系式填表：
X（cm）
…
10
9
8
7
6
5
4
…
Y（cm2）
…
…
（2）通过填表、探究，同学们能说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？
第五环节：
巩固提高
活动内容：
组织、引导学生探究“问题变式”，鼓励学生归纳总结“问题变式”的学习体会，注意学生的学习过程对于学生在探索的过程中给予肯定性的评价。
1．师生互动：
课件演示可以任意改变形状的圆锥，通过拖动圆锥，观察圆锥的体积由哪些因素决定。
2．如图4-2所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化。
（1）在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是_____________。
（2）如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与r的关系式是____________。
（3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由______厘米3变化到______厘米3。
第六环节：
合作交流
活动内容：
议一议：
你知道什么是“低碳生活”吗？
“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式。
（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为_____________，其中的字母表示________________。
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1KW·h，二氧化碳排放量增加________________。
当耗电量从1KW·h增加到100KW·h时，二氧化碳排放量从________________增加到________________。
（3）小明家本月用电大约110KW·h、天然气20m3、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量。
第七环节：
随堂练习
1、在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用
来表示，根据这个关系式，当d的值分别是0,200,400,600,800,1000时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果。
2、仿照“议一议”中的
（2），你能说一说家用自来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变化的情况吗？
第八环节：
反思升华
1．本节主要是探索了图形中的变量关系。
2．能用关系式表示变量之间的关系。
3．能根据关系式求值。
第九环节：
课后作业
课本
1.直接做在书上的作业：
知识技能1、2。
2.做在作业本上的作业：
数学理解3.
3.需要实际调查的作业：
问题解决4（以报告单形式上交）
教学反思
课题
3、用图象表示的变量间关系（第1课时）
教
学
目
标
1．知识与技能：
能够从图象中分析变量之间的关系，明确图象上点所表示的意义，会利用图象找到准确的信息。
2．过程与方法：
培养学生的观察能力，根据图像预测能力，分析能力，动手操作能力，发展学生合作交流的能力和数学表达能力。
3.情感态度与价值观：
让学生体会数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学应用意识。
教学重、难点
1.重点：
能够从图象中分析变量之间的关系，会利用图象找到准确的信息。
2.难点：
进一步理解变量、自变量、因变量等概念。
教学过程
教学内容
可根据学生实际增减内容
第一环节：
情境引入
活动内容：
预习课本内容，感受图像表示的变量之间关系
1.某地某天的温度变化情况如下图示，观察下表回答下列问题：
（1）、上午9时的温度是；12时的温度是.
（2）、这一天时的温度最高，最高温度是；这一天时的温度最低，最低温度是.
（3）、这一天的温差是，从最高温度到最低温度经过了，
（4）、在什么时间范围内温度在上升？
在什么时间范围内温度在下降？
（5）、图中的A点表示的是什么？
B点呢？
（6）、你能预测次日凌晨1时的温度吗？
说说你的理由.
第二环节：
合作学习
活动内容：
1、提问：
通过课前预习的内容我们学到哪些新的知识？
教师归纳：
前图表示了温度随时间的变化而变化的情况，它是温度与时间之间关系的图象。
图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。
图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，
用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量。
2、合作探究：
你了解它吗—沙漠之舟
骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化。
（1）一天中，骆驼的体温的变化范围是什么？
它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
（2）从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？
（3）在什么时间范围内骆驼的体温在上升？
在什么时间范围内骆驼的体温在下降？
（4）你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗？
其他时刻呢？
（5）A点表示的是什么？
还有几时的温度与A点所表示的温度相同？
（6）你还知道那些关于骆驼的趣事？
与同伴进行交流。
第三环节：
运用巩固
活动内容：
随堂练习
海水受日月的引力而产生潮汐现象，早晨海水上涨叫做潮，黄昏海水上涨叫做汐，合称潮汐。
潮汐与人类的生活有着密切的联系。
下面是某港口从0时到12时的水深情况。
（1）大约什么时刻港口的水最深？
深度约是多少？
（2）大约什么时刻港口的水最浅？
深度约是多少？
（3）在什么时间范围内，港口水深在增加？
（4）在什么时间范围内，港口水深在减少？
（5）A，B两点分别表示什么？
还有几时水的深度与A点所表示的深度相同？
（6）说一说这个港口从0时到12时的水深是怎样变化的。
第四环节：
课堂小结
活动内容：
1．学生对本节课进行总结，谈谈自己的收获。
2．本节课给你留下的最深刻的印象是什么？
第五环节：
布置作业
习题1、2。
教学反思
课题
3、用图象表示的变量间关系（第2课时）
教
学
目
标
1．知识与技能：
能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解；能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示。
2．过程与方法：
根据图象得出事物的发展变化规律。
3.情感态度与价值观：
进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。
教学重、难点
1.重点：
能从图象分析变量之间的关系，能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示。
2.难点：
进一步理解变量、自变量、因变量等概念；并能熟练运用。
教学过程
教学内容
可根据学生实际增减内容
第一环节回顾思考
活动内容：
学生自己总结已经学习过的几种表示变量之间关系的方法。
1.列表法
下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的幅度变化，日销量（单位：
件）随之发生变化：
降价（元）
5
10
15
20
25
30
30
日销量（件）
718
787
845
895
937
973
1000
在这个表中反映了 个变量之间的关系， 是自变量， 是因变量。
2.关系式法
某出租车每小时耗油5千克，若ｔ小时耗油ｑ千克，则自变量是 ，因变量是 ，ｑ与t的关系式是 。
3.图象法
下图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的情况。
（1）大约什么时刻港口的水最深？
约是多少？
（2）A点表示什么？
（3）说说这个港口从0时到6时的水位是怎样变化的？
2
第二环节讲授新课
活动内容：
提出问题：
每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度,你会看这个表吗?
（学生先想一想，再进行小组讨论，互相补充完善，并派代表回答）
例汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？
它的最高时速是多少？
（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？
时速分别是多少？
（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。
各小组讨论相互补充,派代表回答问题，并解说从统计图中获取的信息及此统计图对于现实生活的实际意义（选2—3个小组代表讲解）
第三环节合作学习
活动内容：
1．柿子熟了，从树上落下来。
下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？
2.一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶。
过了一段时间,汽车到达下一个车站。
乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶。
下面哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？
（横轴表示时间,纵轴表示速度）
3．某同学从第一中学走回家，在路上他碰到两个同学，于是在文化宫玩了一会儿，然后再回家，图中哪一幅图能较好地刻画出这位同学离家所剩的路程与时间的变化情况：
①②③④
1．学生根据事件的数据，小组讨论,选择图象展示最合适过程。
2．小组成员选择（组内互相交流协商、教师给予适当帮助）
3．小组选派代表讲解，最终对被研究的问题做出决策。
第四环节练习提高
活动内容：
4．李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是加快马加鞭车速，在下图中给出的示意图中（s为距离，t为时间）符合以上情况的是（）
5．水滴进的玻璃容器如下图所示（水滴的速度是相同的），那么水的高度h是如何随着时间t变化的，请选择匹配的示意图与容器。
（A）——（）（B）——（）
（C）——（）（D）——（）
第五环节课堂小结
活动内容：
一、今天你有哪些收获？
二、总结：
1．通过速度随时间变化的情境，经历从图象中分析变量之间关系的过程，加深了对图象表示的理解。
2．不仅读懂了文字语言，而且还读懂图形语言。
3．最关键是搞清楚自变量、因变量，并且明白了它们的变化关系。
4．一些变量之间的关系可以用图象法来表示。
它形象、直观，便于探索趋势。
5．在观察图象时要注意它两轴上的名称与单位，识别变化时可抓住起点、终点、最高（最低）点等特殊位置。
师生互相交流总结图象的特点，怎样通过图象进行合理决策，使学生感受所学的知识就在身边。
第六环节教学反馈（5分钟100分）
根据图象回答下列问题
1．下图反映了哪两个变量之间的关系？
（20分）
2．点A，B分别表示什么？
（20分）
3．说一说速度是怎样随时间变化而变化的；（20分）
第七环节布置作业
课后习题。
教学反思
课题
第三章《变量之间的关系》复习课
教
学
目
标
1．知识与技能：
回顾总结表示变量之间的方法，学会用表示变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测。
2．过程与方法：
用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维。
发展有条理的思考和进行表达的能力。
3.情感态度与价值观：
能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识。
教学重、难点
1.重点：
能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，还能用表格、关系式、图象刻画一些具体情境中变量之间的关系。
2.难点：
学会用表示变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系。
教学过程
教学内容
可根据学生实际增减内容
第一环节：
知识梳理
1、举例说明常量、变量；
2、举例说明自变量和因变量；
3、表示变量之间关系的方法有哪些，各有什么特点。
第二环节：
典型例题
例1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：
所挂物体的质量/千克
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
12
12.5
13
13.5
14
14.5
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？
哪个是自变量？
哪个是因变量？
（2）弹簧不挂物体时的长度是多少？
如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？
（3）如果此时弹簧最大挂重量为15千克，你能预测当挂重为10千克时，弹簧的长度是多少？
说明：
用表格来表示变量之间关系，其优点是：
对于表中的自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到（如本题0千克与12cm这组对应值），其不足之处是：
表格只能列出部分自变量与因变量对应的值（如本例10千克与17cm这组对应值，表格中没有反映出来），难以反映变量之间变化的全貌。
例2．如图：
将边长为20cm的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。
（1）这个情境反映了哪两个变量之间的关系？
其中自变量是什么？
因变量是什么？
（2）在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是xcm，围成的无盖长方体的体积是ycm3,则y与x之间的关系式是__________________；
（3）若小正方形的边长是5cm，那么长方体的体积是多少cm3？
当x=2.5cm体积是多少cm3
（4）根据以上关系式填下表：
x/cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y/cm3
（5）当x在什么范围变化时，y随x的增大而增大，当x在什么范围变化时，y随x的增大而减小？
你又是根据哪种表示法得到的？
（6）请你估计x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？
说明：
用关系式表示变量之间关系，其优点是：
比较准确，有了关系式，可以由自变量的一个值，求出相应的因变量的值，反过来知道因变量的一个值，也可以求出相应的自变量的值。
（如本题5cm与500cm3这组对应值），其不足之处是：
关系式反应的两个变量之间的关系比较抽象，只有借助列出部分自变量与因变量对应值表才能看出变化的特点。
例3．小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书，下图反应了他们两人离开学校的路程与时间的关系。
根据图形尝试解决你们提出的问题。
（1）小红与小兰谁先出发？
谁先达到？
（2）描述小兰离学校的路程与时间的变化关系。
（3）小兰前20分钟的速度和最后10分钟的速度是多少？
怎样从图像上直观地反映速度的大小？
（4）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？
说明：
用图象表示变量之间关系，其优点是：
能形象直观反映事物变化的全过程、变化趋势和某些性质，其不足之处是：
表示出来的图象是近似的、局部的，观察由图象确定的因变量的值，往往不够准确。
例4．一辆汽车以每小时50千米的速度行驶了t小时，行驶的路程为s千米.
（1）这个情境中，有哪些变量？
其中自变量是什么？
因变量是什么？
（2）你能用哪种方式表示路程与时间之间的关系？
具体做一做。
（3）该汽车行驶2.5小时的路程是多少千米？
（4）一段公路全长350千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？
说明：
用关系式、表格、图象三种不同的方法表示一个问题中的两个变量之间的关系，进一步体会三种表示方法的优点和不足；体会三种不同方法互相取长补短来共同研究，这也是今后我们学习函数的重要的方法
例5．分析下面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境.
说明：
通过本题培养学生的思维的灵活性和合理的想象能力、语言的表达能力，进一步体会用图像来反映两个变量之间的关系。
（1）可以把x和y分别代表时间和距离，那么这个图可以描述为：
小华骑车从学校回家，一段后，停下来修车，然后又开始往家走，直到回家；
（2）可以把x和y分别代表时间和速度，那么这个图可以描述为：
一辆汽车，减速行驶一段时间后，匀速行驶了一段时间，然后逐渐减速，到了目的地停下来.
（3）可以把x和y分别代表时间和蓄水量，那么这个图可以描述为：
一个水池先
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