次射击恰好第2次命中目标的概率为（C）.
（A）3p（1-p）2;（B）6p（1-p）2;
（C）3p2（1-p）2;（D）6p2（1-p）2.
三、解答题
1.写出下列随机实验样本空间：
（1）同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；
（2）10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（4）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度.
解1
（1）{3,4,5,,18}；
（2）{3,4,5,,10}；
（3）查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，
{00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111};
（4）{（x,y,z）|x>0,y>0,z>0,x+y+z=1}其中x,y,z分别表示三段之长.
2.设A,B,C为三事件，用A,B,C运算关系表示下列事件：
（1）A发生,B和C不发生；
（2）A与B都发生,而C不发生；
（3）A,B,C均发生；（4）A,B,C至少一个不发生；
（5）A,B,C都不发生；（6）A,B,C最多一个发生；
（7）A,B,C中不多于二个发生；（8）A,B,C中至少二个发生.
解
（1）ABC或A－（AB+AC）或A－（B+C）；
（2）ABC或AB－ABC或AB－C；（3）
ABC；（4）A+B+C；（5）ABC或A+B+C；
（6）ABC+ABC+ABC+ABC；（7）ABC；（8）AB+AC+BC.
3.下面各式说明什么包含关系？
（1）
AB=A
；
（2）
A+B=A；（3）
A+B+C=A
解
（1）A⊂B；
（2）A⊃B；（3）A⊃B+C
4.设Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={2,3,4},B={3,4,5},C={5,6,7}具体写出下列各事件：
（1）
AB，
（2）
A+B，（3）
AB，（4）
ABC，（5）A（B+C）.
解
（1）{5}；
（2）{1,3,4,5,6,7,8,9,10}；（3）{2,3,4,5}；
（4）{1,5,6,7,8,9,10}；（5）{1,2,5,6,7,8,9,10}.
5.从数字1,2,3，…，10中任意取3个数字，
（1）求最小的数字为5的概率;
记“最小的数字为5”为事件A
10
∵10个数字中任选3个为一组：
选法有C3种，且每种选法等可能.
5
又事件A相当于：
有一个数字为5，其余2个数字大于5。
这种组合的种数有1⨯C2
1⨯C21
∴P（A）=5=.
1012
（2）求最大的数字为5的概率。
4
10
记“最大的数字为5”为事件B，同上10个数字中任选3个，选法有C3种，且每种选法等可能，又事件B相当于：
有一个数字为5，其余2数字小于5，选法有1⨯C2种
1⨯C21
P（B）=4=.
1020
6.
从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则A表“4只人不配对”
4
∵从10只中任取4只，取法有⎛ç10⎫⎪种，每种取法等可能。
⎝⎭
4
要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。
取法有⎛ç5⎫⎪⨯24
⎝⎭
C4⋅248
∴P（A）=5=
1021
P（A）=1-P（A）=1-
8=13.
2121
7.试证P（AB+AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）.
。
8.已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）两只都是正品；
（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。
解
（1）
C2
p=8=
10
28;
45
（2）
C21
p=2=
1045
（3）
C1C1
p=82=
10
16;
45
（4）
p4=1-p2
=1-
1=44.
4545
9.把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。
解所求概率
p=6!
⨯5!
=1.
10!
42
10.某学生宿舍有8名学生，问
（1）8人生日都在星期天的概率是多少？
（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？
（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？
1⎛1⎫8
解
（1）
p1=78=ç7⎪;
⎝⎭
68⎛6⎫8
1⎛1⎫8
（2）
p2=78=ç7⎪;（3）p3=1-78=1-ç7⎪.
⎝⎭⎝⎭
11.从0~9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求：
（1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p；
（2）取的至少有3个电话号码相同的概率q.
解
（1）
（2）
C1C2A2
p=1049=0.432；
104
C1C3A1+C1
q=104910=0.037.
104
12.随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求
（1）每个班各分一名优秀生的概率p
（2）3名优秀生在同一个班的概率q.
解基本事件总数有
15！
种
5！
5！
5！
（1）每个班各分一名优秀生有3!
种,对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分
法总数为
12！
种,所以共有
3！
12！
3！
12！
.所以p=4！
4！
4！
=25.
4！
4！
4！
种分法
4！
4！
4！
15！
91
5！
5！
5！
（2）3名优秀生分配到同一个班,分法有3种,对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中
3⨯12！
分法总数为
12！
共有3⨯12！
所以q=2！
5！
5！
=6.
2！
5！
5！
种
2！
5！
5！
15！
91
5！
5！
5！
13.在单位园内随机地取一点Q，试求以Q为中点的弦长超过1的概率.
解:
在单位园内任取一点Q，并记Q点的坐标为（x，y），由题意得样本空间
Ω={（x,y）x2+y2<1}，记事件A为“以Q为中心的弦长超过1”，则事件
⎧⎪（）（2
）⎛1⎫2⎫⎪
⎧（）2
23⎫
A=⎨x,y1-x+y
>
ç⎪
2
⎬，即A=⎨x,yx+y
<4⎬
⎪⎩
由几何概率计算公式得
⎝⎭⎪⎭
⎩⎭
⨯3
P（A）=4=3.
⨯14
14.设A，B是两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7.问
（1）在什么条件下P（AB）取到最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下P（AB）取到最小值，最小值是多少？
解：
由P（A）=0.6，P（B）=0.7即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理，
P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.6+0.7=1.3>1与P（A∪B）≤1矛盾）.
从而由加法定理得
P（AB）=P（A）+P（B）－P（A∪B）（*）
（1）从0≤P（AB）≤P（A）知，当AB=A，即A∩B时P（AB）取到最大值，最大值为P（AB）=P（A）=0.6，
（2）从（*）式知，当A∪B=Ω时，P（AB）取最小值，最小值为
P（AB）=0.6+0.7－1=0.3.
15.设A，B是两事件,证明:
P AB+AB =P
A）+P（B）-2P（AB）
证P（AB+AB）=P（AB）+P（AB）-P（ABAB）=P（A-B）+P（B-A）
=P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）.
16.某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业.某学生通过口试概率为80%，通
过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？
解A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则P（A）=0.8,P（B）=0.65,P（A+B）=0.75
P（AB）=P（A）+P（B）−P（A+B）=0.8+0.65−0.75=0.70
即该学生这门课结业的可能性为70%.
17.某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率.
解设A，B，C分别表示读甲，乙，丙报纸
P（A+B+C）
=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
=0.2+0.16+0.14-0.08-0.05-0.04+0.02=0.35.
18.已知P（A）=P（B）=P（C）=1,P（AB）=0,P（AC）=P（BC）=1
416
，求事件A,B,C全不发
生的概率.
解P（ABC）=P（A+B+C）=1-P（A+B+C）
=1-[P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）]=1-⎡3-1⎤=3
⎢⎣48⎥⎦8.
19.某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率.
解令A=“任取一件是合格品”，B=“任取一件是一等品”
P（AB）=P（A）P（B|A）=（1-0.04）⨯0.75=0.72.
20.在100个次品中有10个次品，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率.
解Ai=“第i次取到正品”i
=1，2，3，4.
P（A1A2A3A4）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（A4|A1A2A3）
=10⨯
9⨯8⨯90=0.00069
100999897
21.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？
记H表拨号不超过三次而能接通,Ai表第i次拨号能接通.
注意：
第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码.
H=A1+A1A2+A1A2A3
∴P（H）=P（A1）+P（A1）P（A2|A1）+P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）
=1+
9⨯1+
9⨯8⨯1=3.
10109109810
22.若P（A）>0,P（B）>0，且P（A|B）>P（A），证明P（B|A）>P（B）.
证因为
P（A|B）>P（A）,则
P（AB）>P（A）⇒P（AB）>P（A）P（B）P（B）
所以P（B|A）=P（AB）>P（A）P（B）=P（B）.
P（A）P（A）
23.证明事件A与B互不相容，且0P（A）。
1-P（B）
证P（A|B）=P（AB）=
P（B）
P（A）.。
1-P（B）
24.设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3
箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任
取一件产品，求取得正品的概率.
解设A=｛取得的产品为正品｝，
Bi,i=1,2,3分别为甲、乙、丙三厂的产品
P（B1）=0.5
，P（B2）=0.3，
P（B3）=0.2，
P（A|B1）=0.9，
P（A|B2）=0.8,P（A|B3）=0.7
3
所以P（A）=∑
i=1
P（B）P（A
B）=0.83.
25.某一工厂有A,B,C三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总
产量的25%、35%、40%，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5%、4%、2%，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是A,B,C车间生产的概率.
解A、B、C分别表示A、B、C三车间生产的螺钉，D=“表示次品螺钉”
P（A）=25%
P（D|A）=5%
P（B）=35%
P（D|B）=4%
P（C）=45%
P（D|C）=2%
P（AD）=P（A）P（DA）
PD
P（A）P（DA）
25⨯525
=P（A）P（DA）+P（B）P（DB）+P（C）P（DC）=25⨯5+35⨯4+40⨯2=69
同理P（B|D）=28
69
；P（C|D）=16.
69
26.已知男人中有5%的色盲患者，女人中有0.25%的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解B=｛从人群中任取一人是男性｝，A=｛色盲患者｝
因为P（B）=P（B）=0.5
P（A|B）=5%，P（A|B）=0.25%
P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.5⨯0.05+0.5⨯0.0025=0.02625
所以P（B|A）=P（B）
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