第一章随机事件及其概率习题可编辑修改word版.docx

1、第一章随机事件及其概率习题可编辑修改word版第一章 随机事件及其概率习 题 一 一、填空题1设样本空间 = x | 0 x 2 ，事件 A = x | 1 x 1, B = x | 1 x 3，则 A B2 4 2= x | 0 x 1 x | 3 x 2 ,4 2AB = x | 4 x 2 x |1 x 2 . 2.连续射击一目标， Ai 表示第i 次射中，直到射中为止的试验样本空间 ，则 =A1； A1 A2； ； A1 A2 An-1 An； .3.一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为 1、2、3、4 概率为 1 .124.一批( N 个)产品中有

2、 M 个次品、从这批产品中任取 n 个，其中恰有个 m 个次品的概率是 C m C n-m / C n .M n- M N5.某地铁车站, 每 5 分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过 3 分钟的概率为 0.6 .6.在区间（ 0, 1） 中随机地取两个数， 则事件“ 两数之和小于 65” 的概率为0.68 .7已知 P(A)=0.4, P(B)=0.3,(1) 当 A,B 互不相容时, P(AB)= 0.7; P(AB)= 0 .(2) 当 BA 时, P(A+B)= 0.4 ; P(AB)= 0.3 ； 8. 若 P( A) = , P(B) = , P(

3、AB) = , P( A + B) =1- ; P( AB) = - ; P( A + B) =1- + .9.事件 A, B, C 两两独立, 满足 ABC = ，P( A) = P(B) = P(C) 0, 则下列等式成立的是( B). ( A) P( A | C) + P( A | C) = 1; (B) P( A B | C) = P( A | C) + P(B | C) - P( AB | C);(C) P( A | C) + P( A | C) = 1; (D) P( A B | C) = P( A | C)P(B | C).12.设 A, B 是任意两事件, 且 A B, P(B

4、) 0 , 则下列选项必然成立的是（B）.( A)(C)P( A) P( A | B); (D)P( A) P( A | B);P( A) P( A | B).13.设 A, B 是任意二事件,且 P(B) 0 , P( A | B) = 1 ,则必有（ C ）.(A)P( A + B) P( A) ; (B)P( A + B) P(B) ;(C)P( A + B) = P( A) ; (D)P( A + B) = P(B) 14.袋中有 5 个球，其中 2 个白球和 3 个黑球，又有 5 个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为（D）. ( A)1 ; (B) 2 ; (

5、C) 1 ; (D) 2 .4 4 5 515. 设0 P( A) 1, 0 P(B) 1, P( A | B) + P( A | B ) = 1,则（D）.(A)事件 A和B 互不相容； (B) 事件 A和B 互相对立；(C) 事件 A和B 互不独立； (D) 事件 A和B 相互独立.16. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为 p (0 p 0, y 0, z 0, x + y + z = 1 其中 x, y, z 分别表示三段之长.2.设 A, B, C 为三事件，用 A, B, C 运算关系表示下列事件：（1） A 发生, B 和C 不发生； （2） A 与 B 都发生,

6、而C 不发生；（3） A, B, C 均发生； （4） A, B, C 至少一个不发生；（5） A, B, C 都不发生； （6） A, B, C 最多一个发生；（7） A, B, C 中不多于二个发生； （8） A, B, C 中至少二个发生.解 （1） ABC 或 A (AB+AC)或 A (B+C)；（2） ABC 或 ABABC 或 ABC；（3）ABC ；（4） A + B + C ；（5） ABC 或 A + B + C ；（6） ABC + ABC + ABC + ABC ；（7） ABC ；（8） AB + AC + BC .3.下面各式说明什么包含关系？(1)AB = A；

7、(2)A + B = A ； (3)A + B + C = A解 （1） A B ； （2） A B ； （3） A B + C4. 设 = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, A = 2,3,4, B = 3,4,5, C = 5,6,7 具体写出下列各事件： (1)AB ， (2)A + B ， (3)A B ， (4)ABC ， (5) A(B + C) .解 （1）5； (2) 1,3,4,5,6,7,8,9,10； (3) 2,3,4,5；(4) 1,5,6,7,8,9,10； (5) 1,2,5,6,7,8,9,10.5. 从数字 1,2,3，10 中任意取 3 个数字，（

8、1）求最小的数字为 5 的概率;记“最小的数字为 5”为事件 A10 10 个数字中任选 3 个为一组：选法有C3 种，且每种选法等可能.5又事件 A 相当于：有一个数字为 5，其余 2 个数字大于 5。这种组合的种数有1 C 21 C 2 1 P( A) = 5 = .10 12（2）求最大的数字为 5 的概率。410记“最大的数字为 5”为事件 B，同上 10 个数字中任选 3 个，选法有C3 种，且每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一个数字为 5，其余 2 数字小于 5，选法有1 C 2 种1 C 2 1P(B) = 4 = .10 206.从 5 双不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋

9、子中至少有 2 只配成一双的概率是多少？ 记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对”则 A 表“4 只人不配对”4 从 10 只中任取 4 只，取法有10 种，每种取法等可能。 4要4 只都不配对，可在5 双中任取4 双，再在4 双中的每一双里任取一只。取法有 5 24 C 4 24 8 P( A) = 5 =10 21P( A) = 1 - P( A) = 1 -8 = 13 .21 21 7.试证 P（AB + AB）= P（A）+ P（B）- 2P（AB）.。8.已知 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样， 求下列事件的概率。（1）两只都是正品 ；（

10、2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。解 （1）C 2p = 8 =1028 ;45(2)C 2 1p = 2 =10 45(3)C 1C 1p = 8 2 =1016 ;45(4)p4 = 1 - p2= 1 -1 = 44 .45 459.把 10 本书任意放在书架上，求其中指定的 5 本书放在一起的概率。解 所求概率p = 6! 5! = 1 .10! 4210.某学生宿舍有 8 名学生，问（1）8 人生日都在星期天的概率是多少？（2）8 人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8 人生日不都在星期天的概率是多少？1 1 8解 (1)p1 = 78 = 7

11、 ; 68 6 81 1 8(2)p2 = 78 = 7 ; (3) p3 = 1- 78 = 1- 7 . 11.从 0 9 中任取 4 个数构成电话号码（可重复取）求：（1）有 2 个电话号码相同，另 2 个电话号码不同的概率 p ；（2）取的至少有 3 个电话号码相同的概率 q .解 (1)(2)C 1 C 2 A2p = 10 4 9 = 0.432 ；104C 1 C 3 A1 + C 1q = 10 4 9 10 = 0.037.10412.随机地将 15 名新生平均分配到三个班中，这 15 名新生有 3 名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率 p （2）3 名优秀生在同一个

12、班的概率 q .解 基本事件总数有15！ 种5！5！5！(1)每个班各分一名优秀生有 3! 种, 对每一分法,12 名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为12！ 种, 所以共有3！12！3！12！. 所以 p = 4！4！4！= 25 . 4！4！4！种分法4！4！4！15！ 915！5！5！(2)3 名优秀生分配到同一个班, 分法有3 种, 对每一分法,12 名非优秀生分配到三个班中3 12！分法总数为12！ , 共有 3 12！ , 所以 q = 2！5！5！= 6 . 2！5！5！种2！5！5！15！ 915！5！5！13.在单位园内随机地取一点 Q，试求以 Q 为中点的弦长超过 1 的

13、概率.解: 在单位园内任取一点 Q，并记 Q 点的坐标为(x，y)，由题意得样本空间 = (x, y) x2 + y2 2 ，即 A = x, y x + y1 与 P (AB)1 矛盾）.从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (AB) (*)（1）从 0P(AB)P(A)知，当 AB=A，即 AB 时 P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（2）从(*)式知，当 AB= 时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.71=0.3 .15.设 A，B 是两事件,证明: P AB + AB = PA) + P(B) - 2P( AB) 证 P（A

14、B + AB）= P（AB) + P( AB) - P( ABAB) = P( A - B) + P(B - A)= P( A) - P( AB) + P(B) - P( AB) = P( A) + P(B) - 2P( AB) .16.某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为 80%，通过笔试的概率为 65%，至少通过两者之一的概率为 75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)=0.8+0.650.75=0.70即

15、该学生这门课结业的可能性为 70%.17.某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有 20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报， 其中 8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有 2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率.解 设A，B，C分别表示读甲，乙，丙报纸P( A + B + C)= P( A) + P(B) + P(C) - P( AB) - P( AC) - P(BC) + P( ABC)= 0.2 + 0.16 + 0.14 - 0.08 - 0.05 - 0.04 + 0.02 = 0.35 .18. 已知 P( A) = P(B) = P(C) = 1 ,

16、P( AB) = 0, P( AC) = P(BC) = 14 16，求事件 A, B, C 全不发生的概率.解 P( A B C) = P( A + B + C) = 1 - P( A + B + C)= 1 - P( A) + P(B) + P(C) - P( AB) - P( AC) - P(BC) + P( ABC) = 1 - 3 - 1 = 3 4 8 8 .19.某厂的产品中有 4%的废品，在 100 件合格品在有 75 件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率.解 令 A =“任取一件是合格品”，B =“任取一件是一等品”P( AB) = P( A)P(B | A) =

17、(1 - 0.04) 0.75 = 0.72 .20.在 100 个次品中有 10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第 4 次才取到正品的概率.解 Ai =“第i 次取到正品” i=1，2，3，4. P( A1 A2 A3 A4 ) = P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )P( A4 | A1 A2 A3 )= 10 9 8 90 = 0.00069100 99 98 9721.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？记 H 表拨号不超过三次而能接通, Ai 表第 i 次拨号能接通.注意：第一次

18、拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码. H = A1 + A1 A2 + A1 A2 A3 P(H ) = P( A1 ) + P( A1 )P( A2 | A1 ) + P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )= 1 +9 1 +9 8 1 = 3 .10 10 9 10 9 8 1022. 若 P( A) 0, P(B) 0 ，且 P( A | B) P( A) ，证明 P(B | A) P(B) .证 因为P( A | B) P( A), 则P( AB) P( A) P( AB) P( A)P(B) P(B)所 以 P(B | A) = P( AB) P( A)

19、P(B) = P(B) .P( A) P( A)23.证明事件 A 与 B 互不相容，且 0 P(B) 1,则 P（A | B）=P（A） 。1 - P（B）证 P（A | B) = P( AB) =P(B)P( A) . 。1 - P(B)24.设一仓库中有 10 箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有 5 箱、3箱、2 箱，三厂产品的废品率依次为 0.1、0.2、0.3，从这 10 箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.解 设 A =取得的产品为正品，Bi , i = 1, 2, 3 分别为甲、乙、丙三厂的产品P(B1 ) = 0.5， P(B2 ) = 0.

20、3 ，P(B3 ) = 0.2 ，P( A | B1 ) = 0 .9 ，P( A | B2 ) = 0 .8 , P( A | B3 ) = 0.73所 以 P（A）= i =1P(B )P(AB ) = 0.83.25.某一工厂有 A, B, C 三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的 25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的 5 %、4 %、2 %， 如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是 A, B, C 车间生产的概率.解 A、B、C 分别表示 A、B、C 三车间生产的螺钉， D =“表示次品螺钉”P（A）= 25%P（D

21、| A）= 5%P（B）= 35%P（D | B）= 4%P（C）= 45%P（D | C）= 2%P(A D)= P(A)P(D A)P DP(A)P(D A)25 5 25= P(A)P(D A)+ P(B)P(D B)+ P(C )P(D C ) = 25 5 + 35 4 + 40 2 = 69同理 P（B | D）= 2869； P（C | D）= 16 .6926.已知男人中有 5 %的色盲患者，女人中有 0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 B =从人群中任取一人是男性， A =色盲患者因为 P（B）= P(B)= 0.5P( A | B) = 5%，P( A | B) = 0.25% P( A) = P(B)P( A | B) + P(B)P( A | B) = 0.5 0.05 + 0.5 0.0025 = 0.02625所以 P(B | A) = P(B)