学年高中数学第一单元基本初等函数Ⅱ学案打包16套新人教B版必修4.docx
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学年高中数学第一单元基本初等函数Ⅱ学案打包16套新人教B版必修4
1.1.1 角的概念的推广
学习目标
1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.
知识点一 角的相关概念
思考 我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？
正角、负角、零角是怎样规定的？
梳理
（1）角的概念：
角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形.
（2）角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按照______________而成的角
负角
按照______________而成的角
零角
当射线________，称它形成了一个零角
（3）角的运算：
各角和的旋转量等于________________.
知识点二 终边相同的角
思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
思考2 如何表示与60°终边相同的角？
梳理 终边相同角的表示
设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，集合S的每一个元素都与α终边相同，当k＝0时，对应元素为α.
知识点三 象限角
思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的正半轴重合，旋转该角，则其终边（除端点外）可能落在什么位置？
梳理 在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.
象限角：
角的________在第几象限，就把这个角叫做第几象限角.
轴线角：
终边落在____________的角.
类型一 任意角概念的理解
例1
（1）给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.
（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.
反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.
跟踪训练1 写出下列说法所表示的角.
（1）顺时针拧螺丝2圈；
（2）将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.
类型二 终边相同的角
命题角度1 求与已知角终边相同的角
例2 在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；（3）[360°，720°）的角.
反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.
跟踪训练2 写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.
命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
例3 写出终边在直线y＝－x上的角的集合.
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
跟踪训练3 写出终边在直线y＝x上的角的集合.
类型三 象限角的判定
例4 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
（1）－150°；
（2）650°；（3）－950°15′.
引申探究
确定（n∈N＋）的终边所在的象限.
反思与感悟 判断象限角的步骤
（1）当0°≤α<360°时，直接写出结果.
（2）当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β（k∈Z，0°≤β<360°），转化为判断角β所属的象限.
跟踪训练4 下列各角分别是第几象限角？
请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
（1）60°；
（2）－21°.
1.下列说法正确的是（ ）
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角一定不是负角
D.小于90°的角都是锐角
2.与－457°角终边相同的角的集合是（ ）
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
3.2017°是第________象限角.
4.与－1692°终边相同的最大负角是________.
5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意：
（1）α为任意角.
（2）k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋（－α）.
（3）相等的角终边一定相同.终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.
（4）k∈Z这一条件不能少.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点．
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
梳理
（1）一条射线 端点 旋转
（2）逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有旋转
（3）各角旋转量的和
知识点二
思考1 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．
思考2 60°＋k·360°（k∈Z）．
知识点三
思考 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
梳理 终边 坐标轴上
题型探究
例1
（1）①
（2）－120°
跟踪训练1 解
（1）顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.
（2）拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.
例2 解 与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°（k∈Z），
（1）由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得
k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
（2）由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得
－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
（3）由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
跟踪训练2 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1910°＜360°（k∈Z），
∴3≤k＜6（k∈Z），故取k＝4,5,6.
当k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.
例3 解 终边在y＝－x（x<0）上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝－x（x≥0）上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边落在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
跟踪训练3 解 终边在y＝x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝x（x<0）上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
例4 解
（1）因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
（2）因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
（3）因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
引申探究
解 一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．
跟踪训练4 解
（1）60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋（－1）×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
（2）－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.
当堂训练
1．B 2.C 3.三 4.－252°
5．解 终边落在x轴上的角的集合
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}．
∴终边落在坐标轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·90°或β＝（2k＋1）·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确地转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
知识点一 角度制与弧度制
思考1 在初中几何研究过角的度量，当时是使用角度制来度量角的，那么1°的角是如何规定的？
思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的？
思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
梳理
（1）角度制
①定义：
用________作单位来度量角的制度.
②1度的角：
把圆周________等分，则其中1份所对的圆心角是1度.
（2）弧度制
①定义：
以________为单位来度量角的制度.
②1弧度的角：
长度等于________的圆弧所对的圆心角.
③弧度数的计算公式：
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，则α＝________.
知识点二 角度制与弧度制的换算
思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
梳理
（1）角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝______rad
2πrad＝______
180°＝______rad
πrad＝______
1°＝rad≈________rad
1rad＝°≈________
（2）一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
60°
120°
150°
180°
360°
弧度
π
2π
知识点三 扇形的弧长及面积公式
思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
类型一 角度与弧度的互化
例1 将下列角度与弧度进行互化.
（1）20°；
（2）－15°；（3）；（4）－.
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可.
跟踪训练1
（1）把112°30′化成弧度；
（2）把－化成度.
类型二 用弧度制表示终边相同的角
例2 已知角α＝2010°.
（1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z,0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限的角；
（2）在区间[－5π，0）上找出与α终边相同的角.
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α（k∈Z）时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练2
（1）把－1480°写成α＋2kπ（k∈Z）的形式，其中0≤α≤2π；
（2）在[0°，720°]内找出与角终边相同的角.
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用
例3
（1）若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为（ ）
A.πB.C.D.
（2）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A.2B.C.2sin1D.
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：
一是S＝lr＝αr2，二是l＝αr，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算.
跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.
1.下列说法中，错误的是（ ）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的，1rad的角是周角的
C.1rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
2.时针经过一小时，转过了（ ）
A.radB.－rad
C.radD.－rad
3.若θ＝－5，则角θ的终边在（ ）
A.第四象限B.第三象限
C.第二象限D.第一象限
4.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形圆心角的弧度数是（ ）
A.1B.4C.1或4D.2或4
5.已知⊙O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________.
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：
每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝πrad”这一关系式.
易知：
度数×rad＝弧度数，弧度数×°＝度数.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1°的角．
思考2 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
思考3 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
梳理
（1）①度 ②360
（2）①弧度
②半径长 ③
知识点二
思考 利用1°＝rad和1rad＝（）°进行弧度与角度的换算．
梳理
（1）2π 360° π 180° 0.01745 57.30°
（2）45° 90° 135° 270° 0
知识点三
思考 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则：
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αr
扇形的面积
S＝
S＝lr＝αr2
题型探究
例1 解
（1）20°＝＝.
（2）－15°＝－＝－.
（3）＝×180°＝105°.
（4）－＝－×180°＝－396°.
跟踪训练1 解
（1）112°30′＝°＝×＝.
（2）－＝－°＝－75°.
例2 解
（1）2010°＝2010×＝
＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
（2）与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ（k∈Z），又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－；
当k＝－2时，γ＝－；
当k＝－1时，γ＝－.
跟踪训练2 解
（1）∵－1480°＝
－1480×＝－，
而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，
∴α＝.∴－1480°＝＋2×（－5）π.
（2）∵＝×（）°＝72°，
∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°（k∈Z），
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°.
例3
（1）A
（2）D
跟踪训练3 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式
S＝lR，得1＝（4－2R）·R，
∴R＝1，∴l＝2，
∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2rad.
当堂训练
1．D 2.B 3.D 4.C 5.－
1.2.1 三角函数的定义
学习目标
1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
知识点一 任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P（x，y），|OP|＝r.
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考2 对确定的锐角α，sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
梳理 如图，设P（x，y）是α终边上不同于坐标原点的任意一点，设OP＝r（r≠0）.
（1）定义
叫做角α的______，记作______，即cosα＝；
叫做角α的________，记作________，即sinα＝；
叫做角α的________，记作________，即tanα＝.
依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠2kπ±（k∈Z）时，它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数.
（2）有时我们还用到下面三个函数
角α的正割：
secα＝________＝；
角α的余割：
cscα＝________＝；
角α的余切：
cotα＝________＝.
这就是说，secα，cscα，cotα分别是α的余弦、正弦和正切的倒数.
由上述定义可知，当α的终边在y轴上，即α＝kπ±（k∈Z）时，tanα，secα没有意义；当α的终边在x轴上，即α＝kπ（k∈Z）时，cotα，cscα没有意义.
知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域
思考 对于任意角α，sinα，cosα，tanα都有意义吗？
梳理 三角函数的定义域
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
梳理 三角函数值在各象限内的符号，如图所示.
记忆口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值
例1 已知θ终边上一点P（x,3）（x≠0），且cosθ＝x，求sinθ，tanθ.
反思与感悟
（1）已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.
②在α的终边上任选一点P（x，y），设P到原点的距离为r（r>0），则sinα＝，cosα＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P（－3a,4a）（a≠0），求2sinα＋cosα的值.
命题角度2 已知角α的终边所在直线求三角函数值
例2 已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα，secα，cscα，cotα的值.
反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标（a，b），则对应角的三角函数值分别为sinα＝，cosα＝，tanα＝.
跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值.
类型二 三角函数值符号的判断
例3
（1）确定下列各三角函数值的符号.
①sin182°；②cos（－43°）；③tan.
（2）若α是第二象限角，则点P（sinα，cosα）在（ ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
跟踪训练3
（1）判断下列各式的符号.
①sin145°cos（－210°）；②sin3·cos4·tan5.
（2）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则α是第________象限角.
类型三 三角函数的定义域
例4 求下列函数的定义域.
（1）y＝；
（2）y＝＋.
反思与感悟 求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：
（1）分母不为零.
（2）偶次根号下大于等于零.（3）在真数位置时大于零.（4）在底数位置时大于零且不等于1.
跟踪训练4 求函数f（x）＝的定义域.
1.已知角α的终边经过点（－4,3），则cosα等于（ ）
A.B.C.－D.－
2.已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在（ ）
A.第二、四象限
B.第一、三象限
C.第一、三象限或x轴上
D.第二、四象限或x轴上
3.若点P（3，y）是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα＝，则tanα等
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