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数模期考
2014年上学期衡阳师范学院数学与计算科学系2012级数学与应用数学专业
《数学建模》期末考试
课程名称：
数学建模
论文题目：
银行还贷方式的数学模型
系别：
数计系年级：
专业班：
学生姓名
学号
开课时间：
2014年上学期
成绩
教师授课
宫兆刚
银行还贷方式的数学模型
摘要
关于银行两种还款方式（即等额本息还款法和等本不等息递减还款法）的争议由来已久，比如说一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，且银行一般推荐利息较多的等额本息还款法，因此有人认为银行在隐瞒信息，赚取不合理的利益。
对于问题一，要讨论两种房贷还款方式是否有好坏之分，必须通过这两种还款方式的定义分别建立其数学模型，再通过合理的案例（即200000元、20年的房贷），运用MATLAB软件进行图表分析，得出每种还款方式的特点，即两者利息差额的确有一万余元，但等额本息还款法每月还款总额一定，操作简单；而等本不等息还款法呈开始还款数额高且逐年递减的趋势。
以此来证明两者方式各有优缺点，并无绝对的优劣之分。
对于问题二，要在问题一的基础上找出两种还款方式的本质区别，通过上述案例再次借助MATLAB程序作两种方式每年还款总额及利息的差额图表，进行图表分析，对比两种还款方式，得出等本不等息递减还款法在还款初期年还款总额比等额本息还款法的年还款总额高，但后来逐年递减，逐渐低于等额本息还款法的年还款总额的结论。
然后针对还款人的不同特点对其提出合理建议，找出每种方法的适宜人群。
文章图表结合，以求清晰明了，为了更好地切合实际，文章将给出模型的改进与扩展，以供参考。
关键词：
还款方式数学模型图表分析
目录
一、问题重述……………………………………………………………（3）
二、问题分析……………………………………………………………（3）
三、模型的假设…………………………………………………………（3）
四、定义与符号说明……………………………………………………（4）
五、模型的建立与求解…………………………………………………（4）
5.1等额本息还款法的数学模型…………………………………（4）
5.2等额不等息递减还款法的数学模型…………………………（6）
5.3两种还款方式的比较…………………………………………（8）
六、对模型的评价………………………………………………………（10）
6.1模型的优点……………………………………………………（10）
6.2模型的缺点……………………………………………………（10）
6.3模型的改进与推广……………………………………………（10）
七、参考文献……………………………………………………………（10）
八、附录…………………………………………………………………（11）
8.1求解等额本息还款法的数学模型的MATLAB程序……………（11）
8.2求解等本不等息递减还款法的数学模型的MATLAB程序……（11）
8.3两种还款方式图形比较的MATLAB程序………………………（12）
一、问题重述
目前银行一共提供两种还款方式，即等额本息还款法和等本不等息递减还款法（又叫等额本金还款法），且一般推荐提供等额本息还款法,关于这两种还款方式的争议由来已久，有人举例说一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元。
显然，这两种还款方式的利息存在差异,然而关于这两种还款方式是否有好坏之分以及银行是否在隐瞒信息，都还有待进一步的考证，为了解决还款人心中的疑惑，要求至少需要解决一下两个问题：
1.通过建立数学模型说明这两种还款方式是否真的有好坏之分
2.为不同的借款人提出合理并且适合他们的建议
二、问题分析
显然，不管是等额本息还款法还是等本不等息递减还款法，银行一定是希望通过贷款的手段获取一定的利益，而还款人关心的问题是用哪种还款方式还款是可以接受的，哪种还款方式能最大程度的保证自身的利益不受损。
等额本息还款法，即每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并等额本息还款法,逐月结清。
由于每月的还款额相等，因此，在贷款初期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；在贷款末期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较多。
等本不等息递减还款法（即等额本金还款法），即在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数也越来越少。
对于借款人来说，这两种还款方式当然是各有利弊，题目要求要对这两种还款方式分别建立数学模型，以便针对借款人的实际情况提出合理的建议。
所以，我们可以根据以上说明建立数学模型，并且通过对比来验证这两种还款方式是否有好坏之分。
三、模型假设
1.假设借款人只选择其中一种还款方式
2.假设借款人在还款期间没有再次贷款
3.假设还款期间银行的利率不变
4.假设等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式利率相等
5.假设还款期间借款人收入稳定并且有能力以任何一种还款方式还款
6.假设还款人以年为周期还款
7.以下部分数据经过四舍五入
四、定义与符号说明
贷款本金
年利率
还款总期数
每年还款额
等本不等息递减还款法第
年应还款本息总额
等额本息还款法第
年所欠银行贷款
等额本息还款法第
年产生的利息
等本不等息递减还款法第
年产生的利息
五、模型的建立与求解
5.1等额本息还款法的数学模型
等额本息还款法，即每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并等额本息还款法,逐月结清。
为了简化数学模型，我们主要考察借款人每年的利息以及还款总额。
我们可以根据它的定义建立以下数学模型。
第一年产生的利息：
第一年所欠银行贷款：
第二年产生的利息：
第二年所欠银行贷款：
…
第
年产生的利息：
第
年所欠银行贷款：
由于第
年正好还完贷款，于是有
即每年还款额
为了更直观的表达等额本金还款法每年还款额以及还款总额，我们以20万元、20年的房贷为例，取中国建设银行最新贷款年利率6.55%，下表为借款人每年还款额以及还款总额：
表一：
等额本金还款法年还款额对照表
贷款年限（年）
当年利息
当年还款总额
1
13100
18223
2
12764
18223
3
12407
18223
4
12026
18223
5
11620
18223
6
11187
18223
7
10727
18223
8
10235
18223
9
9712
18223
10
9155
18223
11
8561
18223
12
7928
18223
13
7254
18223
14
6535
18223
15
5769
18223
16
4954
18223
17
4085
18223
18
3158
18223
19
2172
18223
20
1120
18223
总计
164470
364470
图一
5.2等本不等息递减还款法的数学模型
等本不等息递减还款法，也叫等额本金还款法，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。
我们可以根据它的定义建立以下数学模型。
首先，每年归还等额本金
第一年产生的利息：
第一年应还款本息总额：
第二年产生的利息：
第二年应还款本息总额：
…
第
年产生的利息：
第
年应还款本息总额：
为了更直观的表达等本不等息递减还款法每年还款额以及还款总额，我们以某借款人A的20万元、20年的房贷为例，取中国建设银行最新贷款年利率6.55%。
下表为借款人每年还款额以及还款总额：
表二：
等本不等息递减还款法年还款额对照表
贷款年限（年）
当年利息
当年还款总额
1
13100
23100
2
12445
22445
3
11790
21790
4
11135
21135
5
10480
20480
6
19825
19825
7
9170
19170
8
8515
18515
9
7860
17860
10
7205
17205
11
6550
16550
12
5895
15895
13
5240
15240
14
4585
14585
15
3930
13930
16
3275
13275
17
2620
12620
18
1965
11965
19
1310
11310
20
655
10655
总计
137550
337550
图二
5.3两种还款方式的比较
由以上说明我们知道，等额本息还款法特点是每年还款总额相等，而等本不等息递减还款法（即等额本金还款法）的特点是前期支付的还款总额较高，并且逐年递减。
诚然，对于20万元、20年的房贷，两种还款方式的确相差一万余元，但是等额本息还款法操作相对简单，便于还款人更加合理地安排生活开支和理财，建议收入稳定，且预计后期没有重大开支（如子女的教育基金，重大的医疗开支等）的人群，比如刚刚参加工作的年轻人选择；等本不等息递减还款法（即等额本金还款法）还贷最初几年压力较大，以后压力逐年递减，适宜初期就有一定的经济基础的人群，比如贷款初期有一定存款的中老年人。
为了更加清晰明了地说明等额本息还款法与等本不等息递减还款法（即等额本金还款法）之间的区别，仍然以20万元、20年的房贷、6.55%的年利率为例，以下是这两种还款方式的利息差和还款总额差的对照表及对照图：
表三:
两种还款方式利息及年还款额对照表
贷款年限（年）
1
0
-4877
2
319
-4222
3
617
-3567
4
891
-2912
5
1140
-2257
6
1362
-1602
7
1557
-947
8
1721
-292
9
1852
363
10
1950
1018
11
2011
1673
12
2033
2328
13
2014
2983
14
1950
3638
15
1839
4293
16
1679
4948
17
1465
5603
18
1193
6258
19
862
6913
20
465
7568
总计
26970
26970
图三
六、模型的评价与推广
6.1模型的优点
（1）图表结合，简单明了
（2）运用典型的例子，采用最新的数据，使模型形象化
（3）运用了MATLAB、EXCEL等数学软件，使数据真实可信
6.2模型的缺点
（1）没有考虑银行利率的动荡
（2）没有考虑通货膨胀或通货紧缩的因素
（3）没有考虑国家政策的变化
6.3模型的改进与推广
（1）除等额本息还款法和等本不等息递减还款法之外，银行还提供了其他的还款方式，例如：
双周供还款法：
这种还款法还款额约为原月供的一半左右，银行每两周扣款一次，罚息较高，这就要求还款人有固定且较高的收入，并且由于还款周期短，还款人需要有足够的时间和精力。
按期付息还本还款法：
即还款人与银行协商，为贷款本金和利息归还制定不同的还款时间周期，适宜房地产投资者。
此外，银行还提供了固定利率、递增法等等供不同的还款人选择，还款人可以根据自身情况选择合适的还款方式。
（2）还款人可选择几种还款方式结合实用。
七、参考文献
[1]中国建设银行官网,人工客服，
[2]XX百科，等额本息还款法，
[3]XX百科，等额本金还款法，
[4]XX文库，个人购房按揭贷款的还款方案探讨，
[5]郑洲顺，科学计算与数学建模，上海：
复旦大学出版社，2011
八、附件
8.1求解等额本息还款法的数学模型的MATLAB程序
r=200000;
a=0.0655;
t=20;
x=r*a*（1+a）^t/（（1+a）^t-1）
forn=1:
20
b（n）=a*（r*（1+a）^（n-1）-（x*（（1+a）^（n-1）-1））/a）
end
b（n）
n=1:
1:
20;
b（n）=a*（r*（1+a）.^（n-1）-（x*（（1+a）.^（n-1）-1））/a）
x=r*a*（1+a）^t/（（1+a）^t-1）
plot（n,b（n）,'*',n,x,'ro'）
title（'A以等额本息还款法当年利息及当年还款总额散点图'）
xlabel（'还款年数'）
ylabel（'还款总额（利息）'）
8.2求解等本不等息递减还款法的数学模型的MATLAB程序
r=200000;
a=0.0655;
t=20;
forn=1:
20
b（n）=a*（r-r*（n-1）/t）
x（n）=r/t+a*（r-r*（n-1）/t）
end
x
n=1:
1:
20
x（n）=r/t+a*（r-r*（n-1）/t）
b（n）=a*（r-r*（n-1）/t）
plot（n,x（n）,'*',n,b（n）,'ro'）
title（'A以等本不等息递减还款法当年利息及当年还款总额散点图'）
xlabel（'还款年数'）
ylabel（'还款总额（利息）'）
8.3两种还款方式图形比较的MATLAB程序
r=200000;
a=0.0655;
t=20;
n=1:
1:
20
x1（n）=r/t+a*（r-r*（n-1）/t）
b1（n）=a*（r-r*（n-1）/t）
b2（n）=a*（r*（1+a）.^（n-1）-（x*（（1+a）.^（n-1）-1））/a）;
x2=a*r*（1+a）^t/（（1+a）^t-1）
bb（n）=b2（n）-b1（n）
xx（n）=x2-x1（n）
plot（n,x1（n）,'*',n,b1（n）,'ro',n,x2,'*',n,b2（n）,'ro'）
title（'两种还款方式当年利息及当年还款总额比较散点图'）
xlabel（'还款年数'）
ylabel（'还款总额（利息）'）
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