传递过程原理作业题解17章docx.docx
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传递过程原理作业题解17章docx
第二章
1.对于在r平面内的不可压缩流体的流动，
r方向的速度分量为
ur
Acos/r2。
试
确定速度的
分量。
解：
柱坐标系的连续性方程为
对于不可压缩流体在
r平面的二维流动，
常数，uz
0,uz
0，故有
z
即
u
（rur）
（r
Acos）
Acos
r
r
r2
r2
将上式积分，可得
式中，
f（r）为积分常数，在已知条件下，任意一个
f（r）都能满足连续性方程。
令
f（r）0，可得到u
的最简单的表达式：
2．对于下述各种运动情况，
试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述，
并结合下述具
体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。
（1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动；
（2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动；
（3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动；
（4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动；
（5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。
解：
u0
（1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动
稳态：
0
，一维流动：
ux
0，uy
0
∴
uz
uz
0，
（uz）
0
z
即
z
z
（2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动
稳态：
0，二维流动：
uz0
∴
（ux）
（uy）
0，又
const，从而
ux
uy
0
x
y
x
y
（3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动
在此情况下，
（2）中const
（ux）（uy）
∴0
xy
（4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动
稳态：
0，轴向流动：
ur0，轴对称：
0
uz
0，
uz
0（不可压缩
const）
∴
z
z
（5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动
稳态0，沿球心对称0，0，不可压缩const
∴1
r
（r2ur
）0，即
d（r2ur）0
r2
dr
3．某粘性流体的速度场为
已知流体的动力粘度
0.144Pas，在点（2，4，－6）处的法向应力yy
100N/m
2，
试求该点处的压力和其它法向应力和剪应力。
解：
由题设
ux
5x2y，uy
3xyz，uz
8xz2
ux
，
uy
3
，uz
xz
x
10xy
y
xz
z
16
因
yy
p
2
uy
2
（
ux
uy
uz
）
y
3
x
y
z
故
p
2
uy
2
（
ux
uy
uz）
yy
y
y
3
x
z
在点（2，4，－6）处，有
所以
p2
ux
2
（ux
uy
uz）
xx
y
x
3
x
z
4.某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水平管道中作稳态层流流动，此正方形
截面的边界分别为xa和ya，有人推荐使用下式描述管道中的速度分布试问上述速度分布是否正确，即能否满足相关的微分方程和边界条件。
解：
在壁面处，即xa和ya时，uz0，故满足壁面不滑脱条件；在管道中
心，xy0时，可得
uz
a2
p
u
（1）
4
z
max
将所给速度分布式代入不可压缩流体连续性方程（2-20），因uxuy0可得
将不可压缩流体的运动方程（
2-45c）化简，可得
p
（
2uz
2uz
（2）
z
x
2
y
2）
将所给速度分布式分别对
x和y求偏导数，得
2uz
1
p
[1
y
2
]
（3）
x2
2
z
（
）
a
2uz
1
p
[1
x
2
]
（4）
y2
2
z
（
）
a
将式（3）和（4）代入式（
2）可知，仅当x2
y2
2a2时才满足运动方程。
因此所
给速度分布式不能完全满足运动方程。
5．某一流场的速度向量可以下式表述
试写出该流场随体加速度向量Du的表达式。
D
解：
第三章
1.如本题附图所示，两平行的水平平板间有两层互不相溶的不可压缩流体，这两层流
体的密度、动力粘度和厚度分别为1、1、h1和为2、2、h2，设两板静止，流体在常压
力梯度作用下发生层流运动，试求流体的速度分布。
解：
将直角坐标下的连续性方程和运动方程化简，可得
积分得ux
1
py2
C1y
C2
2
x
因此，两层流体的速度分布可分别表示为
ux1
1py2
C1yC2
（1）
2
1
x
ux2
2
1py2
D1yD2
（2）
2
x
由下列边界条件确定积分常数：
（1）yh1,ux10;
（2）yh2,ux20;
（3）y0,ux1ux2;
（4）y0,
dux1
dux2
1dy
2dy
将以上4个边界条件代入式
（1）与
（2），得
1ph12
C1hC2
0；
21
x
1
1ph22
D1hD2
0；
22
x
2
C2
D2；
1h22
1
h1
p
2h12
解得
C1
21
x1
1h2
2h1
最后得速度分布方程为
2.粘性流体沿垂直圆柱体的外表面以稳态的层流液膜向下流动，如本题附图所示。
试
求该流动的速度分布。
该液体的密度和粘度分别为
和
。
解：
由题给条件，有
0，uru0
，Xz
g
由柱坐标系连续性方程
简化得
uz
0
z
由柱坐标系N-S方程
简化得
g
1
（r
uz）
0
r
r
r
由于
uz
0，
uz
0（轴对称），故uz
uz（r），即
z
g
积分得
uz
r2
C1lnrC2
（1）
4
边界条件为
（1）
r
r0,uz
0
（2）rR,duz0dr
将边界条件代入式
（1），得
故速度分布为
3.半径为r0的无限长圆柱体以恒定角速度
体不可压缩，试从一般柱坐标系的运动方程出发，
布与压力分布的表达式。
解：
柱坐标系的运动方程为
在无限流体中绕自身轴作旋转运动。
设流
导出本流动问题的运动方程，并求速度分
ur
ur
uur
u2
ur
r方向:
ur
r
uz
z
r
r
Xr
1p
1
1
2ur
2u
2ur
（2-47a）
r
rrr
（rur）
2
2
r2
z2
r
u
u
u
u
uru
u
方向：
ur
r
uz
z
r
r
X
11
p
1
1
2u
2ur
2u
）
r
rrr
（ru）
r2
（2-47b
r
2
2
z2
uz
ur
uz
u
uz
uz
uz
z方向：
r
r
z
Xz
1p
1
（r
uz
1
2uz
2uz
（2-47c
）
z
r
）
2
2
z2
rr
r
由于该流动具有稳态、对称及一维特性，故有
z
0，uruz0
利用上述特点，运动方程（
2-47）简化为
由于流动为一维，上式可写成常微分方程
dp
u2
dr
r
d2u
1
du
dr2
r
dr
式
（2）的通解为
利用边界条件
可得
C10,C2r02
因此ur02
r
如果令r02
则u
2r
压力分布为
由
r
p
p0
可得
因此
p
p0
2
1
8
2
r
2
（1）
u
0
（2）
r2
Cp0
4.试求与速度势2x5xy3y4相对应的流函数，并求流场中点（－2，5）的
压力梯度（忽略质量力）。
解：
（1）流函数
∴
2y
5y2
5x2
3xC
2
2
（2）流场中点（－2，5）的压力梯度
忽略质量力，平面稳态流动的Euler方程为
写成向量形式为
∴点（－2，5）的压力梯度为
5.粘性流体在两块无限大平板之间作稳态层流流动，上板移动速度为U1，下板移动速度为U2，设两板距离为2h，试求流体速度分布式。
提示：
在建立坐标系时，将坐标原点取
在两平行板的中心。
解：
流体作稳态流动，速度与时间无关。
建立坐标系时，将坐标原点取在两平行板的中心，并设两板距离为2h。
运动方程可化简为
x方向
0
1p
d2ux
（1）
x
dy2
y方向
0
1
p
（2）
g
y
将式
（2）对y积分得
p
gy
f（x）
（3）
将式（3）对x求偏导数，得
由上式可知，p对x的偏导数与y无关。
x方向的运动方程（
1）可改为
d2ux
1
p
（4）
dy2
x
容易看出，上式右边仅与
x有关，左边仅与
y有关。
因此上式两边应等于同一个常数，即
积分上式得
ux
1py2
C1y
C2
（5）
x
2
边界条件为
（1）yh,ux
U1;
（2）y
h,ux
U2
将边界条件代入式（
5）得
C1
U1U2
，C2
U1U2
1ph2
2h
2
2x
于是速度分布式为
第四章
1.某粘性流体以速度u0稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内流体的剪应力不随y方向变化。
（1）试从适当边界条件出发，确定边界层内速度分布的表达式uxux（y）；
（2）试从卡门边界层积分动量方程出发，确定x的表达式。
解：
（1）由于边界层内
dux不随
y变化，dux为常数，速度分布为直线。
设
dy
dy
uxaby。
边界条件为
（1）y0,ux
0；
（2）y,uxu0
由此可得边界层内速度分布为
（2）将边界层积分动量方程写成
则
d
ux（1
ux）dy
d[（1
）d]
1d
s2
1
dx0u0
u0
dx
0
6dx
u0
故有
1
d
6dx
u0
即
d
6dx
u0
边界条件为
x
0,
0，积分上式得
2.不可压缩流体稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内速度分布为
式中，为边界层厚度，4.64xRex1/2。
试求边界层内y方向速度分布的表达式uy。
解：
二维稳态层流的连续性方程为
ux
uy
（1）
x
0
y
ux
3u0x1y3u0x1y3
3u0[y
（y）3]
（2）
x
4
43
4x
将式
（2）代入式（
1）积分，得
3.20℃的水以0.1m/s的流速流过一长为
3m、宽为1m的平板壁面。
试求（
1）距平板
前缘0.1m位置处沿法向距壁面
2mm点的流速ux、uy；
（2）局部曳力系数CDx及平均曳力
系数CD；（3）流体对平板壁面施加的总曳力。
设
Rex
5
510。
c
已知水的动力粘度为
100.5105Pas，密度为
998.2kg/m3。
解：
距平板前缘
0.1m处的雷诺数为：
流动在层流边界层范围之内。
（1）求y方向上距壁面
2mm处的ux,uy
已知x
0.1m，y
0.002m,由式（4-15）得
查表4-1，当
1.993时
f=0.6457,f=0.625,f=0.260
由式（4-25）得
由式（4-26）得
（2）局部曳力系数CDx及平均曳力系数CD
（3）流体对平板壁面施加的总曳力
3.某粘性流体以速度u0稳态流过平板壁面时形成层流边界层，已知在边界层内流体的速度分布可用下式描述
（1）采用适当边界条件，确定上式中的待定系数a,b和c，并求速度分布的表达式；
（2）试用边界层积分动量方程推导边界层厚度和平板阻力系数的计算式。
解：
（1）选择如下边界条件
（1）y
0,ux
0；
（2）y
ux
u0；
（3）y
ux
0
y
代入得
求解得
a0；b
u0；c
2
故
ux
u0sin（
y）
2
（2）
d
（u0
ux）uxdy
dux
dx0
dyy0
先将速度分布代入，求积分号内的项
代入得
移项得
CDx
u
4.79u
xRe
1/2
0.656Rex1/2
0
0x
5.已知不可压缩流体在一很长的平板壁面上形成的层流边界层中，壁面上的速度梯度
ux
。
设流动为稳态，试从普兰德边界层方程出发，证明壁面附近的速度分布可用
为k
y
y0
下式表示
式中，p/
x为沿板长方向的压力梯度，
y为由壁面算起的距离坐标。
证：
对于二维平板边界层，普兰德边界层方程为
ux
ux
uy
ux
1p
2ux
（1）
x
y
x
y2
由于板很长，可以认为
由连续性方程
uy
0
得
y
在平板壁面上，
uy
y0
0，因此由上式可知，在边界层内uy
0。
由此可将式
（1）简
化为
上式左端是y的函数，右端是
x的函数，二者要相等，必须使得
2ux
1
p
＝常数
y2
x
上式积分求解，得
由题意，当y
0时，
ux
k，故
y
又当y0时，由壁面不滑脱条件，ux
0，故
因此，速度分布为
证毕。
6.不可压缩流体以u0的速度流入宽为b、高为2h的矩形通道（b?
a），从进口开始
形成速度边界层。
已知边界层的厚度可近似按
5.48x/u0估算，式中x为沿流动方向
的距离。
试根据上述条件，导出计算流动进口段长度
Le的表达式。
解：
当
h（矩形高度的一半）时，边界层在通道的中心汇合，此时的流动距离
x即
为流动进口段长度
Le，故
解得
或
Le
0.033
h
Re
u0h
式中
Re
第五章
1.20℃的水在内径为
2m的直管内作湍流流动。
测得其速度分布为ux
100.8lny，
在离管内壁1/3m处的剪应力为103Pa，试求该处的涡流运动粘度及混合长。
已知20℃水的密度为
998.2kg/m3，动力粘度为1.005×10-3Pas。
解：
（1）涡流运动粘度
t
（
dux
（1）
yx
）
dy
dux
d
（10
0.8lny）
0.8
0.8
2.4s-1
（2）
dy
dy
y
0.333
式
（2）代入式
（1）并整理得
已知
/
1.005
103/998.2
1.007106
m2/s。
可见，离管内壁1/3处的粘性扩
散系数与涡流扩散系数相比，可以忽略不计。
（2）混合长
忽略粘性应力，则
其值约为管半径的
13.4％。
2.温度为
20℃的水流过内径为50mm的圆管。
测得每米管长流体的压降为
1500N/m2，试
证明此情况下流体的流动为湍流，并求
（1）层流底层外缘处水的流速、该处的
y向距离及涡流粘度；
（2）过渡区与湍流主体交界处流体的流速、该处的
y向距离及涡流粘度。
解：
由物性表查得
20℃水的物性：
＝
998.2kg/m3，
3
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