16 利用三角函数测高 课时练习含答案解析.docx
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16利用三角函数测高课时练习含答案解析
北师大版数学九年级下册第一章第六节利用三角函数测高课时练习
一、单选题（共15题）
1．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A．2海里B．2sin55°海里
C．2cos55°海里D．2tan55°海里
答案：
C
解析：
解答：
如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，
∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．
故选C．
分析:
首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2cos55°海里
2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．30
海里B．30
海里C．60海里D．30
海里
答案：
A
解析：
解答:
过点P作PC⊥AB于点C．
在Rt△PAC中，∵PA=60海里，∠PAC=30°，
∴CP=
AP=30海里．
在Rt△PBC中，∵PC=30海里，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=
PC=30
海里．
即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30
海里．
故选：
A．
分析:
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线
3.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（ ）
A．4kmB．（2+
）kmC．2
kmD．（4-
）km
答案：
B
解析：
解答:
在CD上取一点E，使BD=DE，
可得：
∠EBD=45°，AD=DC，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE=∠CBE=22.5°，
∴BE=EC，
∵AB=2，
∴EC=BE=2，
∴BD=ED=
∴DC=2+
故选：
B．
分析:
根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案
4.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40
海里B．40
海里C．80海里D．40
海里
答案:
A
解析：
解答:
过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得出：
∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，
故CP=
AP=40（海里），
则PB=
=40
（海里）．
故选：
A．
分析:
过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案
5.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A．4kmB．2
kmC．2
kmD．（
+1）km
答案:
C
解析：
解答:
如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，
∴AD=
OA=2．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=2，
∴AB=
AD=2
即该船航行的距离（即AB的长）为2
km．
故选：
C．
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
6.如图，杭州市郊外一景区内有一条笔直的公路a经过两个景点A，B，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东60°方向，又位于景点B的北偏东30°方向，且景点A、B相距200m，则景点B、C相距的路程为（ ）
A．100
B．200C．100D．200
答案:
B
解析：
解答:
如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=30°，
∴∠CAB=∠C=30°，
∴BC=AB=200m，
即景点B、C相距的路程为200m．
故选B．
分析:
先根据方向角的定义得出∠CAB=30°，∠ABC=120°，由三角形内角和定理求出∠C=180°-∠CAB-∠ABC=30°，则∠CAB=∠C=30°，根据等角对等边求出BC=AB=200m
7.如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（ ）
A．2
kmB．3
kmC．
kmD．3km
答案:
B
解析：
解答：
过C作CE⊥BD于E，则CE=AB．
直角△CED中，∠ECD=30°，CD=6，
则CE=CD•cos30°=3
=AB．
所以AB=3
（km）．
故选B．
分析:
过C作CE⊥BD于E，根据题意及三角函数可求得CE的长，从而得到AB的长
8.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40
海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为（ ）海里．
A．40+40
B．80
C．40+20
D．80
答案:
A
解析：
解答:
根据题意得：
PA=40
海里，∠A=45°，∠B=30°，
∵在Rt△PAC中，AC=PC=PA•cos45°=40
×
=40（海里），
在Rt△PBC中，BC=
（海里），
∴AB=C+BC=40+40
（海里）．
故选A．
分析:
首先由题意可得：
PA=40
海里，∠A=45°，∠B=30°，然后分别在Rt△PAC中与Rt△PBC中，利用三角函数的知识分别求得AC与BC的长，继而求得答案
9.小军从A地沿北偏西60°方向走10m到B地，再从B地向正南方向走20m到C地，此时小军离A地（ ）
A．5
mB．10mC．15mD．10
m
答案:
D
解析：
解答:
如图所示：
在Rt△ABD和Rt△CDA中，
∵AD=AB•sin60°=5
（m）；
BD=AB•cos60°=5，
∴CD=15．
∴AC=
=10
（m）．
故选：
D．
分析:
根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可
10.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行
小时到达B处，那么tan∠BAP=（ ）
A．
B．
C．
D．
答案:
A
解析：
解答:
∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距50海里．
∴AP=50，
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行
小时到达B处，
∴∠APB=90°，BP=60×
=40，
∴tan∠BAP=
故选A．
分析:
根据题意作出图形后知道北偏东30°与北偏西60°成直角，利用正切的定义求值即可
11.在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（ ）
A．北偏东20°方向上B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上
答案:
B
解析：
解答:
如图，
∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1=90°-70°=20°，
∴∠2=∠1=20°，
即C点在B的北偏西20°的方向上．
故选B．
分析:
本题考查了解直角三角形有关方向角的问题：
在每点处画上东南西北，然后利用平行线的性质和解直角三角形求角．也考查了勾股定理的逆定理
12.海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75°方向上，航行12海里到达D点，这是测得小岛A在北偏东60°方向上．若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为（ ）
A．5B．6C．6
D．8
答案:
B
解析：
解答:
作AC⊥BD于点C．
∠ABD=90°-75°=15°，
∵∠ADC=90°-60°=30°，
∴∠BAD=∠ADC-∠ABD=30°-15°=15°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴BD=AD=12（海里），
在直角△ADC中，AC=
AD=
×12=6（海里）．
故a的最大值是6海里．
分析:
渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则C到航线的距离就是a的最大值，作AC⊥BD，根据方向角的定义即可求得AD的长度，然后在直角△ACD中，求得AC的长
13.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=（ ）米．
A．250B．500C．250
D．500
答案:
C
解析：
解答：
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-30°=60°．
又∵∠PBC=∠PAB+∠APB，
∴∠PAB=∠APB=30°．
∴PB=AB．
在直角△PBC中，PC=PB•sin60°=500×
=250
故选C．
分析:
容易判断△ABP是等腰三角形，AB=BP；在直角△BCP中，利用三角函数即可求得PC的长
14.温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时10
千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？
（ ）
A．5B．6C．8D．10
答案:
D
解析：
解答：
过点A作AD⊥BC于D，由题意得AB=300，∠ABD=30°，
则AD=
AB=150（km），
设台风中心距A点200km处，刚好处在BC上的E，F两点则，
在Rt△ADE中，AE=200，AD=150，
则DE=
=50
从而可得：
EF=2DE=100
，
故A镇受台风严重影响的时间为
=10（h）．
故选D．
分析:
首先过A作作AD⊥BC于D，求得AD的长；设台风中心距A点200km处，刚好处在BC上的E，F两点则，在直角三角形中，求得ED，DF的长，已知速度，则可以求得受影响的时间
15.如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（ ）
A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°
答案:
C
解析：
解答：
∵甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，两船的航行速度相同，
∴AO=BO，∠BOA=80°，∠OAD=30°
∴∠BAO=∠ABO=50°，
∴∠BAD=∠BAO-∠OAD=50°-30°=20°，
∴点B位于点A的南偏西20°的方向上，
故选C．
分析:
由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出∠BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO=BO，得出∠BAO=50°，以及求出∠BAD的度数，得出点B位于点A的方向
二、填空题（共5题）
16.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为__________km
答案:
解析：
解答:
如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB=
AD=2
km．
即该船航行的距离（即AB的长）为2
km．
故答案为2
km．
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
17.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行__________海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置
答案:
解析：
解答:
如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N．
易知：
∠MAN=90°=30°．
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，
∴AN=AM•cos∠MAN=100×
=
海里．
故该船继续航行
海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
故答案为
分析：
过M作东西方向的垂线，设垂足为N．由题易可得∠MAN=30°，在Rt△MAN中，根据锐角三角函数的定义求出AN的长即可
18.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成____________
答案:
（7
，-7）．
解析：
解答:
过点A作AC⊥x轴于C．
在直角△OAC中，∠AOC=90°-60°=30°，OA=14千米，
则AC=
OA=7千米，OC=7
千米．
因而小岛A所在位置的坐标是（7
，-7）．
故答案为：
（7
，-7）．
分析:
过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得小岛A的坐标
19.如图，有A、B两艘船在大海中航行，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻这两艘船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有另一艘船C，那么此时船C与船B的距离是_______海里．（结果保留根号）
答案：
20
解析：
解答：
过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°．
在Rt△ABD中，AD=BD=AB•sin∠BAD=20×
=10
（海里），
在Rt△BCD中，BC=BD
sin∠BCD
=
（海里），
故答案为20
海里．
分析:
首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可求得∠ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案
20.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为_________小时（用根号表示）．
答案：
解析：
解答：
如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=60海里，
∴CD=
AC=30海里．
在Rt△CBD中，
∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴BC=
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：
20
÷40=
（小时）．
故答案为
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
三、解答题（共5题）
21.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）
答案：
解析：
解答:
如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．
在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=
BC=
×1000=500米；
在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000米，
∴CF=
CD=500
米，
∴DA=BE+CF=（500+500
）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500
）米．
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
22.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；
答案:
解答：
（1）如图，作PC⊥AB于C，
在Rt△PAC中，∵PA=100，∠PAC=53°，
∴PC=PA•sin∠PAC=100×0.80=80，
在Rt△PBC中，∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=
PC=1.41×80≈113，
即B处与灯塔P的距离约为113海里；
（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．
（参考数据：
sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，
=1.41）
答案:
113海里
解析：
（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里，
∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里
分析：
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，直角三角形，锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线求出即可．
23.如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：
≈1.732）
答案：
17
解析：
解答：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，
AB=20×1=20（海里），
∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，
∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°-∠CAF=30°，
∴∠C=180°-∠CBA-∠CAB=30°，
∴∠C=∠CAB，
∴BC=BA=20（海里），
∠CBD=90°-∠CBE=60°，
∴CD=BC•sin∠CBD=20×
≈17（海里）．
分析:
过点C作CD⊥AB于点D，则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可
24.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．
答案：
见解答
解析：
解答：
如图：
过P作PM⊥AB于M，
则∠PMB=∠PMA=90°，
∵∠PBM=90°-45°=45°，∠PAM=90°-60°=30°，AP=20海里，
∴PM=
AP=10海里，AM=cos30°AP=10
海里，
∴∠BPM=∠PBM=45°，
∴PM=BM=10海里，
∴AB=AM+BM=（10+10
）海里，
∴BP=PM
=10
海里，
即小船到B码头的距离是10
海里，A、B两个码头间的距离是（10+10
）海里．
分析:
过P作PM⊥AB于M，求出∠PBM=45°，∠PAM=30°，求出PM，即可求出BM、BP
25.如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：
≈1.41，
≈1.73）
答案：
95
解析：
解答：
过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，
∴BD=AD•tan30°=
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=45°，
∴CD=AD=x．
∵BD+CD=BC，
∴
+x=150，
∴x=75（3-
）≈95．
即A点到河岸BC的距离约为95m．
分析:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解
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